数值分析-第五版-考试总结

1、 12/12第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。近似值的误差e*（xe近似值的误差限*x近似值相对误差er*（e近似值相对误差限r函数值的误差限*近似值x*=(a第二章：插值法1.多项式插值P其中： a2.拉格朗日插值Ln次插值基函数：l引入记号：余项：R3.牛顿插值多项式：Pn阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f余项：R4.牛顿前插公式（令x=xPn阶差分：余项：R5.泰勒插值多项式：Pn阶重节点的均差：f6.埃尔米特三次插值：P其中，A的标定为：P7.分段线性插值：I第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1.Sx属于 n维空间S2.X数：xxx3.带权内积和

2、带权正交：f,f4.最佳逼近的分类（X数的不同、是否离散）：最优一致（-X数）逼近多项式P*f最佳平方（2-X数）逼近多项式P*f最小二乘拟合（离散点）P*f-5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：-1奇偶性：P递推关系：n+17切比雪夫多项式：递推关系：T正交性：-1Tnx在-1xTn+1x在a,x首项xn的系数：8.最佳平方逼近：f法方程：j=0正交函数族的最佳平方逼近：a9.最小二乘法：法方程：j=0正交多项式的最小二乘拟合:a第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m的多项式成立，m+1a2.插值型求积公式IR

3、3.求积公式代数精度为m时的余项R4.牛顿-柯特斯公式：将a,b划分为n等份构造出I5.梯形公式：当n=1时，CT=6.辛普森公式：当n=2时，CS7.复合求积公式：h=复合梯形公式：T复合辛普森公式：S8.高斯求积公式（求待定参数xk和A（1）求高斯点（xk）：令 n+1x=(x-x0)(x-x1)(x-x（2）求待定参数Ak：ab(x)f(x)dx9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为x=1的勒让德多项式10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为x=1第五章 解线性方程组的直接方法1.矩阵的从属X数：AAA2.条件数：condcond第六章 解线性方程组的迭代法1.迭代法：AMxx2.迭代法收

4、敛：limk3.迭代法收敛的充分必要条件：B1，4.渐进收敛速度：RB=-ln5.雅可比迭代法：AADxx6.高斯-塞德尔迭代法：AAMxx7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。a8.弱对角占优矩阵：若此矩阵也为不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。a其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否则为不可约矩阵。P9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。AAMMxLfx10.最速下降法：A是对称正定矩阵A令：x使下式最小：则：d其中：p故而：x11.共轭梯度法：（1）令x0=0，计算（2）对k=0 xrp（3）若r(k)第七章

5、 非线性方程与方程组的数值解法1.二分法：1）计算f(x)在有根区间a, 2）计算区间中点值f 3）判断fa+2.不动点迭代法：fxx3.不动点迭代法收敛：lim4. (x)在a,aL5.不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为：x6.局部收敛：存在x*的某个邻域内的任意的x0，迭代法产生的序列收敛到7.不动点迭代法局部收敛：其中x*为(x)的不动点，8. P阶收敛：当k时，迭代误差ek=9.牛顿（m重根）法:x10.简化的牛顿法：x11.牛顿下山法：x从=1开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：f12.弦截法：x第八章 矩阵特征值计算1.格什戈林圆盘：以aii为圆心，以r

6、i为半径r2. A的每个特征值必属于某个圆盘之中：-3. A有m个圆盘组成一个连通的并集S，S与和余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的4.幂法：设A的特征值满足条件：任取非零向量v0，构造向量序列，假设：v则：vlim5.收敛速度： 6.幂法改进：uvlimlim7.加速方法（原点平移法）：构造矩阵B，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。Br=8.若wTw=1，称矩阵Hw10.设x , y为两个不等的n维向量，x2=y2，H11.豪斯霍尔德约化定理：xH=ywH12.吉文斯变换：x12.矩阵的QR分解：1）设A非奇异，则存在正交矩阵P，使PA=R，其中R为上三角矩阵。2）设A非奇异，则存在正交矩阵P与上三角矩阵R，使A=QR，当R对角元素为正分解唯一。13.豪斯霍尔德约化矩阵为某森伯格矩阵：U14. QR方法：1）计算某森伯格矩阵的全部特征值；2）计算对称三对角矩阵的全部特征值