静力学题及答案

1、静力学1-3试画出图示各Z构中构件AB的受力图(a)FayFbyFcx1-8在四连杆机构的ABCD的钱链B和C上分别作用有力Fi和F2,机构在图示位置平衡。试求二力Fi和F2之间的关系。解：杆AB,BC,CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1（解析法）假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示:由共点力系平衡方程，对B点有：Fx0F2Fbccos4500对C点有：Fx0FbcF1cos3000解以上二个方程可得：26F1F21.63F23解法2（几何法）分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由

2、几何关系可知：F2Fbccos450对C点由几何关系可知：FbcF1cos300解以上两式可得：F11-63F22-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶Ml试求A和C点处的约束力。解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）Fa .10asin(Fa0.354Ma450) M 0其中：tan1，-一。对BC杆有:3FbM “Fa 0.354。A,aC两点约束力的方向如图所示。

3、2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm（乍用在BC上力偶的力偶矩M=1N-m,试求彳用在OA上力偶的力偶矩大小M和AB所受的力FAB各杆重量不计。解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：M 0对AB杆有：FB FA 对OA杆有：M 0求解以上三式可得：M1Fb BC sin300 M2 0M1 Fa OA 03N m, Fab FO FC 5N，方向如图所示。2-6等边三角形板ABC边长为a,今沿其边作用大小均为F的力F1,F2,F3,方向如图a,b所示。

4、试分别求其最简简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为13Fi -Fi Fj ,221、3F2 % F3/ VFj先将力系向A点简化得（红色的）：FrFi愿Fj,MaFak2方向如左图所示。由于FrMa,可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢不变,其作用线距A点的距离dW3a,位置如左图所示。42-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：FR2Fi其作用线距A点的距离dW3a,位置如右图所示。4简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为1,斜绳与铅垂方向

5、成角。试求固定端的约束力。法1解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：Fx0PsinFbx0Fy0FByPPcos0选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：Fx0FaxFBx0Fy0MA0FAyFByMaFBy求解以上五个方程,可得五个未知量FAx,FAy,FBx,FBy,MA分别为:FaxFbxFAyFByPsin(与图示方向相反)P(1cos)(与图示方向相同)MaP(1cos)l(逆时针方向)法2 解：设滑轮半径为R。Fx 0 XFy 0M A 0选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方

6、程：FAxPsin0FAyPPcos0MAP(lR)Pcos(lR)Psintan2求解以上三个方程，可得Fax,FAy,MA分别为:FAXPsin(与图示方向相反)FAyP(1cos)(与图示方向相同)MaP(1cos)l(逆时针方向)2-18均质杆AB重G长l,放在宽度为a的光滑槽内，杆的如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：B端作用着铅垂向下的力F,aNDcosG-cosFlcos2Fy0NDcosGF0求解以上两个方程即可求得两个未知量ND,，其中:1r2(FG)a；arccos3(2FG)l未知量不一定是力。2-27如图所示，已知杆A

7、B长为住正好靠在光滑的墙上。图中平面I,重为P,A端用一球较固定于地面上，B端用绳索CB拉AOB与Oyz夹角为，绳与轴Ox的平行线夹角为已知a0.7m,c0.4m,tan45o,P200N。试求绳子的拉力及墙的约束力。解：列平衡方程:选卞fAB为研究对象，受力如下图所示。My-1P-ctan2FbccosFBCsinctan0Fbc60.6NMx,FB 100N-1LL.PaFBcFBCsin2由Fy0和Fz0可求出FAy，FAZo平衡方程Mx0可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个?FF作用在平面2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为钱链。已知力BDEH内，并

8、与对角线BD成45o角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解：杆1,2,3,4,5,6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCDM DE 0F2 cos450 0为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：M Ao0F6 cos450aF cos450 cos450a 0拉)M BH0F4 cos450aF6 cos450 a 0压)M AD 0F1a F6 cos450 a F sin 450 a 0压)MCD0F1aF3aF sin 450a0拉)M bc0F3aF5aF4 cos450a0F6F 2fF4 TF (FiF50但求解代数方程组

9、非常麻烦。类似本题保证一个方程求解一个未知量，避免本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴求解联立方程2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M1500Ncm。已知棒料重P400N,直径D25cm。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数fs。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：Fx0Fy0Mo 0Fipcos450N20F2psin450Ni0(FiF2)dM0补充方程：FifsN1F2fsN五个方程，五个未知量Fi，Ni，F2，N2，fs,可得方程:2Mf.22pDfS2M0解得fS10.223,fS24.491

10、。当fS24.491时有:p(1fS2)NiS2A02(1f22)即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数fS0.2232-33均质杆AB长40cm,其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设BC15cm,AD25cm,平衡时角的最小值为45。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数人。解：当450时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：FxFyMaFNTsin00FSTcosp000TcosACCsinTsinACcosAB.psin2附加方程：FSfSFN四个方程，四个未知量FN，FS，T，fs,可求得fs0.646o2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A,B

11、为支点，如图所示。若ABBCAC,A和B于斜面间的静摩擦因数分别为fs1和fs2，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程FNbaPcosMa0MB0Fx0FNaaPcosFba一Psin2aPsin2Psina2.3a2、30如果棱柱不滑动,则满足补充方程FAfs1FNA时处于极限平衡状态。FbGFnb解以上五个方程,tan可求解五个未知量3(fsifs2)FA,FNA,FB,FNB,其中：当物体不翻倒时600fs2fsi23即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式,(2)棱柱才能保持平衡。3-10AB,AC和DE

12、三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。设ADDB,DHHE,BCDE,杆重不计。解:假设杆AB , DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示,取杆DE为研究对象,M h 0FBy 2aFBy 0受力如图所示,FDy a F列平衡方程：a 0FDy取杆AB为研究对象,FyMaMbFdx a F受力如图所示,F AyF AyFDyF2a 0 Fdx列平衡方程:FBy 0(与假设方向相反2FFDxFBxFbx 2a 0FAyAFaxFax2a(与假设方向相反Fdx a 0(与假设方向相反F DyfaxfdxF By解得

13、FAC,命题得证。3-12AB，AC，AD和BC四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。接触面和各校链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Mc0FDbFx0FDbF取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Ma0FBbFx0FBxF构成的组合体为研究对象，受力如图所示,杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD列平衡方程：bbbME0(FBFD)2F(2x)FAC20注意：销钉A和C联接三个物体。A及B的约束力。3-14两块相同的长方板由钱链C彼此相连接，且由钱链A及B固定，如图所示，

14、在每一平板内都作用一力偶矩为M的力偶。如ab,忽略板重，试求钱链支座解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：MA0Ma（Fb）MM0即FB必过A点，同理可得FA必过B点。也就是FA和FB是大小相等,方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Mc0FAsin450aFAcos450bM0解得：FAW2M（方向如图所示）ab3-20如图所示结构由横梁AB,BC和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1,2,3所受的力。解：支撑杆1,2,3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以

15、向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方程：MB0F3sin450a2qaaM0一M一F3炎（一2qa）（受压）a选支撑卞f销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程:Fx0F1F3cos4500F12qa（受压）aFy 0F2F3sin4500F2（2qa）（受拉）aFAy尸Ma讨Fax卜之芳/选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：FX0FAXF3cos4500FAX（M2qa）（与假设方向相反）aFy0FAyF2F3sin450P4qa0FAyP4qaMA0MaF2aP2a4qa2aF3sin4503aM0Ma4qa22PaM（逆时针）3-21二

16、层三校拱由AB，BC，DG和EG四部分组成，彼此间用钱链连接，所受载荷如图所示。试求支座A,B的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程:M a 0 FBy 2a F 2a 0 FBy F MB 0 FAy 2a F 2a 0 FAyFFx 0 Fax FBx F 0由题可知杆DG为二力杆，选 GE为研究对象,受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得:FE取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:FBXMC 0FBX a FBy a代入公式（1）可得：0FE sin 45 aFAX3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用

17、不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N,AB3r,AC2r。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。取杆AB为研究旗仔即砌力7?为如图所示。列平衡方程:MA 0Fx 0 3r oN1 3r P cos600 02FAx N1sin 600 0NFAxFy 0取圆柱C为研究对象,FAy N1cos600 P 0受力如图所示。列平衡方程：FAy6.93( N)6(N)12.5(N)Fx 0N1cos300 Tcos300 0 T注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 销钉的作用力。6.93(N)A处的约束力不是杆 AB对3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为钱链连接，C端靠在

18、粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数解：fs0.353。试求平衡时角的范围。取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程:Ma 0FN 2Lsin2P Lcos 02FN2 tan取杆BC为研究对象,受力如图所示。(2)Mb 0FN L sin列平衡方程:LP cos2L cosFS PFAyBPFNFAxP补充方程：FsFl将(1)式和(2)式代入有：tan3-30如图所示机构中，已知两轮半径量R10cm，各重P9N，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数fs0.2,滚动摩擦系数0.1cmo今在BC杆中点加一垂直力F。试求：平衡时F的最大值Fmax；当FFmax时，两轮

19、在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Fx0FSDFSE0F ,以及B和C处的约束力FbFy0FNDFNEF2P0由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力1和FAC ,由三力平衡汇交，可确定约束力tan二，一FB和FAC的万向如图所不，其中：3,杆AC受压。FacFAC的作用线与水平面交于0M D 0FB的作用线与水平面交于0F点，列平衡方程G点，列平衡方程: , 4_4minP,R R 3P fP 4fsP ,1 fs ,1 3fJ s s取轮A为研究对象，受力如图所示，设MA0FSDRMDMF0(FNDP)R取轮B为研究对

20、象，受力如图所示，设MB0MEFSERMG0ME(PFNE)Rtan0解以上六个方程，可得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark351 o Current Document 13FNDP-FFNEP3F4,4, HYPERLINK l bookmark860 o Current Document 11FSDFSEFMdMe-FR4,4若结构保持平衡，则必须同时满足：MDFNDMEFNEFSDfsFNDFSEfsFNE?即:因此平衡时F的最大值Fmax0.36,此时:FSD FSE 0.091(N)MD M E 0.91(N cm)3-35试用简捷的方法计算图中

21、所示桁架1,2,3杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：OM C 0Fx 0F1sinF3 Fh0Fy 0F2F1 cosFg03-38如图所示桁架中, 试求杆BC的内力。ABCDEG为正八角形的一半,S I F2Fl 14.58（kN）（受拉）F331.3 （受拉）F2 41中（受压）AD, ae，gc，gb各杆相交但不连接。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:Fx 0 FFcd0FCDF （受压）FbcFcgFcdFx0FBCCOS45FCDFCGcos

22、0Fy0Fbcsin450FCGsin012tan其中：22,解以上两个方程可得：Fbc0.586F（受压）3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:Ma0FB2aF2aF3a0FB2.5F用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：Me0FbaFaF23a0F27F（受拉）6一，、Fx02FFiF20Fi-F（受拉）4-1力铅垂地作用于杆AO,AO6BO,CO15DO1。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力FM的大小。解：.选定由杆OAOC,DE组成的系统为研究对象

23、，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为F，FMO.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下：4-4如图所示长为l的均质杆AB,其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。解：4a.选卞fAB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。为广义.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数坐标。由几何关系可知：h杆的质心坐标可表不为:atanzCatanlcos23.在平衡位置，不

24、破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度l . sin 2C的虚位移：azCsin.由虚位移原理W(Fi)0有:对任意0有:PZca2 sin-sin )2a_2 sin即杆AB平衡时：l .一 sin 2arcsin(P.P12 a 3P,作用在杆上的主动力为重力。解：4b1.选卞fAB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为2.该系统的位置可通过杆坐标。由几何关系可知：AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义zARsin杆的质心坐标可表不为:zCsinl一cos23.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆C的虚位移：AB顺时针旋转一个微小的角度4.由虚位移原理zCs

25、in2W(Fi)R-cosl.一sin2有:PZcR2-cossin-sin)2对任意0有:即平衡时sin角满足：2Rcosl.sin23lsin4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P,弹簧原长为2,试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解:.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力F1，F2,且F1F2,将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有F1，F2,以及重力P。.该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：ZaZbasin.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为： TOC o 1-5 h z zczazbacos

26、l2asin一弹簧的长度2,在微小虚位移下:lacos一2.由虚位移原理W(Fi)0有:PzcF2l(PacosF2acos)0F2k(2asin)其中22,代入上式整理可得：a2Pcoska(2sincos)0 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 22由于a0,对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为：,2Pcoska(2sincos)24-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动较链支座，C点为钱链，作用于梁上的力F15kn，F24knE3kN，以及力偶矩为m2kNm的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移xA

27、0, yA 0,0,如上图所示。解除A端的约束，代之以 FAx,FAy,M A ,并将其视为主动力，此外系统还受到主动力F Ax xA 0FAy yA Fiyi0y3M由几何关系可得各点的虚位移如下：对任意xA0可得:FAy4(kN )，方向如图所示。F1,F2,F3,M的作用。系统有三个自由度, 广义坐标。选定A点的位移xA, yA和梁AC的转角 为1.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0，如图所示。由虚位移原理W(Fi)0 有:对任意 x A0可得： FAx 02.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0，如下图所示。由虚位移原理W(Fi) 0 有:y3yAi3 yA3F2F31-M ) Ya

28、30 xa0,Ya0,xa0,Ya0,Y213 yC(FAyF1YiYcYc13 代入式：Ya13由虚位移原理W(Fi)0有：(2)MaFiyiF2y2F3ym有几何关系可得各点的虚位移如下：y12y3yc3y2代入(2)式：(MA2F1F23F3M)0对任意可得：Ma7(kNm),逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：q60o角；以及力偶，其力偶矩为 解：2kNm；力Fi4kN；力F212kN,其方向与水平成M18kNm。试求支座处的约束力。将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷F3,大小为6q。.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力FB,并将其视为主动力，系统还受到主动力F1,

29、F2,F3,M的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDBR能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角 为广义坐标。给定虚位移FB rB cos 45 0 MF2(1)各点的虚位移如下：rB6.2y29代入(1)式整理可得：,由虚位移原理y2 cos 150 0y3W(Fi)0 有F3 y 03(6Fb9 、 3M-F2 3F3)对任意0可得：FB18.6(kN),方向如图所示。.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以FAx，FAy，MA,并将其视为主动力，系统还受到主动力F1，F2，F3，M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移XA，yA和梁AC的转角为广义坐标。2a.求F

30、Ax在不破坏约束的前提下给定一上图所示。由虚位移原理 HYPERLINK l bookmark135 o Current Document FAxxA各点的虚位移如下：XiX2代入(2)式整理可得：(FAxF1对任意XA0可得：组虚位移XA0,yA0,W(Fi)。有：F1x1F2x2cos1200XA0.5F2)xA0FAX2(kN),方向如图所示。0,此时整个结构平移，如(2)2b.求FAy在不破坏约束的前提下给定一组虚位移XA0,yA0,0,此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理FAyYaF3yF2y2cos300各点的虚位移如下：11Y2Y3yc二Ya22W(F

31、i)0有M0代入(3)式整理可得:Y216Ya TOC o 1-5 h z (FAy2F3-4-F26M)yA0对任意VA0可得：FAy3.8(kN),方向如图所示。2c.求MA在不破坏约束的前提下给定一组虚位移xA0，yA0,0,此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理W(Fi)0有： HYPERLINK l bookmark337 o Current Document MAF1x1F2x2cos12000(4)各点的虚位移如下：X13X2XC6代入(4)式整理可得：(MA3F13F2)0对任意0可得：MA24(kNm),顺时针方向。4-8设桁架有水平力Fi及铅垂力F2作

32、用其上，且ADDCCEBEDKKE,30o。试求杆1,2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为a。.求杆1受力去掉杆1,代之以力P1,系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有dAD，kAK,且：rDa,rK.3a滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转rerErDa对刚性杆CD和杆CE,由于rDCD,rECE,因此rc。由虚位移原理W(Fi)0有:(F1P1)rDcos600P1rEcos6000代入各点的虚位移整理可得：(F12

33、P1)a04/P12一对任意0可得：2(受压)。.求杆2受力去掉杆2,代之以力P2,系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有rKAK,且：rK、3a同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转rEBE,且:rEa杆AD绕A点转动rD所示，且：rErDaAD,由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图cos 120 00rDrEa同理可知rc。由虚位移原理F1rDcos1200代入各点的虚位移整理可得：(F12、3P2)aW(Fi)0有：P2rDcos1500P2rK0对任意C口P20可得：、3F16(受压)。

34、.求杆3受力ADK绕A点转动,去掉杆3,代之以力P3,系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形rDrDAD,rKAK,且：rK、.3a同理可知B点不动，rErErDBE，且：arc00有:F1rD cos 60 0代入各点的虚位移整理可得：(Fi 2 J3P3) aP3rE cos 150 0 P3 rK cos 120 00P _2n P 3对任意 0可得：6 (受拉)。4-12杆长2b,重量不计，其一端作用铅垂常力 F ,另一端在水平滑道上运动，中点连接弹 簧，如图所示。弹簧刚度系数为 k,当y 0时为原长。不计滑块的重量和

35、摩擦，试求平衡 位置y,讨论此平衡位置的稳定性。解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取位置的势能为：V V 弹 V F0为零势能位置，则系统在任意12k(b b cos ) F (2b 2b cos )2Lkb2(1 cos )2 2Fb (1 cos )2由平衡条件d 可得:b kb (1 cos ) 2 F sin有：sin 0 和 kb(1 cos ) 2F 0即： 0 和 cos 1 2Fkb2也就是：y 0和y 2 Jf (kb F)两个平衡位置。k ，为判断平衡的稳定性，取势能 V的二阶导数:

36、d 2V(kb 2F )b cos2kb cos 2由虚位移原理W(Fi)d0时,当cosd2V2Fb时是不稳定平衡。d2V由上式可知:.当 cos.当 COS工时,kb4-F (kb F) k文且kb kb之且kb kbf时，驾 o即y - JFTkbF)是稳定平衡位置；d 2kf时，dV o即y 2 JFRbFT是不稳定平衡位置。dk4-15半径为r的半圆住在另一半径为 R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动 的滚动扰动的稳定性。解:取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为Co半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个 半圆心连线与y轴夹角 为广义坐标。作用在 半圆柱上的主动力为重力，系统为

37、保守系统， 如图所示，其中h 工。由于半圆柱作纯滚3动，有：r R(1)取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位 置的势能为：V mgz c代入(1)式有：mg ( Rr) cos也 cos( 3)mg (r) cos由平衡条件V-0可得ddV dmg(R4r13R sin( 一R r _ cos()sin 0为平衡位置。势能 V的二阶导数:d 2Vd 24(R r) , R r 、,mg ( R r) cos( ) cos 3 rr由上式可得当R (31)r ,40是稳定的。努力学习吧!动力学运动方程：y 1 tan ,其中 kt。将运动方程对时间求导并将300代入得41k1 6证明：质点做

38、曲线运动，所以质点的加速度为：a a at ncos上包，所以:aanvv avy将vy2一vc，an设质点的速度为v ,由图可知代入上式可得3 v a c11kv y2 HYPERLINK l bookmark436 o Current Document coscos21k2 sin8.31k2a y 3 HYPERLINK l bookmark472 o Current Document cos9证毕1-7证明：因为an所以:证毕an3a sin解：设初始时，绳索AB的长度为L，时刻t时的长度 为S,则有关系式： HYPERLINK l bookmark420 o Current Docu

39、ment s L v0t,并且 s212 x2将上面两式对时间求导得：sv0, 2ss 2xx由此解得：x 也(a)x(a)式可写成：xxv0s ,将该式对时间求导得: HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark426 o Current Document xx x sv0 v0(b) HYPERLINK l bookmark345 o Current Document 222 2将(a)式代入(b)式可得：ax x v0 x丝_(负号说明滑块 A的加速度向上) HYPERLINK l bookmark42

40、4 o Current Document x3x x取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有:ma F FN mg将该式在x，y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:mx mg F cosmy F sinFN其中：cos2. 2Vo1将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:V212112Fm(gR1(x)解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以vBR,由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：VbVaCOS(a因为,x2R2cosx(b)将上式代入(a)式得到A点速度的大小为：Vax.x2R2(c)由

41、于Vax,(c)式可写成：xjx2R22/22、x(xR)将上式两边对时间求导可得：2xx(x2R2)将上式消去2x后，可求得：2R4xx(x2R2)2由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为Rx,将该式两边平方可得:2xx322R2xxaA(d)2R4x(x2R2)2取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：maFFNmg将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mxFcosmyFsinFNmg其中:2R4xy2Z272(x R )2 4 2 m R x/2-2、5(x R )2由此可得：vcosve , OC杆的角速度为ve- , OA l,所以OA

42、 cos2vcosl当450时，OC杆上C点速度的大小为: HYPERLINK l bookmark292 o Current Document 20 HYPERLINK l bookmark476 o Current Document avcos45av HYPERLINK l bookmark63 o Current Document a - HYPERLINK l bookmark186 o Current Document l2lRsin一,cosx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark268 o Current D

43、ocument 25_mRxFnmg2-(x2R2)2113解：动点：套筒A;动系：OC杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动;相对运动：直线运动;牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理vvevraer有：vacosve,因为AB杆平动，所以vav，115解：动点：销子M动系1:圆盘动系2:OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有va1ve1vr1Va2Ve2 Vr2由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即 va2 va1 ,由上两式可得:Vel VrlVe2V2(a)将（a）式在向在x轴投影，可得:000ve1sin 30ve2

44、 sin 30vr2 cos30由此解得:vr2 tan300(ve2 ve1) OM tan300( 2i)bsin300277 (3 cos 309)0.4m/sVe2OM20.2,3VmVa2V22V220.529m/s1-17解：动点：圆盘上的C点；动系：OiA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于OiA杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有(a)vavevrae将（a）式在垂直于OiA杆的轴上投影以及在OiC轴上投影得:VaCos300VeCos300Vasin300vrsin300vevaVeOC5oRR2根据加速度合成定理有taaaeaen

45、aearaCei(b)将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得aasin30taecos30n0aesin30ac其中：aanae2Rac1vr由上式解得:tae2R,312119解：由于ABM所以有Vavm,aAaM取：动点：滑块M;动系：OC摇杆;定系：机座;vrve运动分析:绝对运动:圆周运动;va相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。根据速度合成定理va可求得：vevrvMvAva2ve22m/svrve2m/svAOiA1.5jad/s3根据加速度合成定理B一tae将上式沿由于aantntnaaaaaeaearac方向投影可得:aacos450aansin450l16m/s2，a；b

46、3taa1627.215.23m/s23actae21m/s,acactaalVr10.161-20解：取小环M为动点，OAB干为动系运动分析绝对运动:直线运动;相对运动:直线运动;牵连运动:定轴转动。8m/s2,根据上式可得:2rad/sOeAVrBM由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,其中:veOMCOs6002r根据速度合成定理:VaVe可以得到：VrvatanVe2rtan6002.3rVecos6004r加速度如图所示，其中:aeOMcc0cos602r2ac2Vr8r2BOAXaeM根据加速度合成定理:aaaearac将上式在x轴上投影，可得：aacosa

47、ecosaC，由此求得：aa14r121解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B;动系：汽车A（Oxy，；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理VaVeVr将上式沿绝对速度方向投影可得:VaVeVr因此VrVeVa其中：VaVb,VeRb,出Ra由此可得：VrRBVAVB380m/sRa9求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：2aran1.78m/s2Rb1-23质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为V向上运动，不计摩擦。求图示瞬

48、时，圆槽作用在销钉r的固定圆槽内运动。M上的约束力。设水平槽以匀速解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力FO（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。coscosae 0 ,并且上式可写成:2 v sin3 r cosmg由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以tnaaaaar22因为a：v2,所以根据上式可求出：a：antanrrcos根据矢量形式的质点运动微分方程有：m（a；an）FFomg将该式分别在水平轴上投影：m（a；sinancos）FOcos2

49、由此求出：FOmv4rcos1-24图示所示吊车下挂一重物M绳索长为l,初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根脑质点相对运动微分方程有marFmgFe将上式在切向量方向投影有因为Femaema,ddt整理上式可得将上式积分:一t一marmlmgsinFecosmlddddt其中c为积分常数（由初始条件确定）2Vr2l初始时0,系统静止，vave重物相对速度与摆角的关系式为：2Vr所以上式可写成mgsinmacosgsindgcosacosasin,因为相对速度gco

50、sasinVrl,上式可写成0,根据速度合成定理可知Vr0,由此确定c2lg(cos1)asin1-26水平板以匀角速度初始时小球相对静止且到转轴度。绕铅垂轴。转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8）,O的距离为Ro,求小球到转轴的距离为RRo时的相对速FRoFcFe解：取小球为动点，板为动系,据质点相对运动微分方程有：O小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）maFeFc将上式在vr上投影有ma；dvrmdtFecos因为FemR2,dvrdvrdRdRjT而不d?vrcos,所以上式可写成整理该式可得:将该式积分有:初始时RRO,vr1-27重为P的小环mvrcosdvrv

51、rdR122Vr0,由此确定积分常数M套在弯成xydvrdRmR2cos2R22RO,因此得到相对速度为Jr2RO2、.一.一,一一.、c形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，线，所以vr0,因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：FFeP0P其中：Fe-y2,将上式分别在x,y轴上投影有gPFsin0FeFcos0(a).2.2以为tany曳*,因此dxxdxxtan2c2

52、x(b)tan由（a）式可得Fe（c）公P将Fey2和式（b）代入式（c）,并利用xyc2,可得:gi423c3x,yg再由方程（a）中的第一式可得P1X4FX2P1c4P4一23c1g2-i解：当摩擦系数f足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力FfFN取整体为研究对象，受力如图,系统的动量：pm2vrvr将其在x轴上投影可得：pxm2Vrm2btmg”77777777777*mig根据动量定理有：dpxdTm2bFfFNf(mim2)g即：当摩擦系数m2b(mim2)g时,平台AB的加速度为零。当摩擦系数fm2b(mim2)g时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为:pm2(vvr)m

53、1v将上式在x轴投影有:Pxmb(vVr)mi(V)m2bt(mim2)v根据动量定理有:dpxdtm2b(mim2)aFfFNf(mimg由此解得平台的加速度为：m2bamim2fg（方向向左）2-2取弹簧未变形时滑块FnA的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示，其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为:pmvm1Vlmvmi(vvr)将上式在x轴投影:pxmxmi(xlcos)根据动量定理有:dPxdt2.(mm1)xm1lsinFkx系统的运动微分方程为:2.(mm1)xkxm1lsin2-4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为mVt,提起部分的

54、速度为V,根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为Vr,方向向下，大小为V(如图a所示)。F(t)(b)mgVr根据变质量质点动力学方程有:dVm一dt将上式在y轴上投影有：dVm 一dtF(t)由于空 0,所以由上式可求得: dt再取地面上的部分为研究对象,(a)一FnmgdmVr(vt)gF(t)dtVr(VgtF (t) ( Vt)g Vr VF(t) (Vgt V2)V2)。由于地面上的物体没有运动,作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即:并起与提起部分没有相互Fn (l Vt) g2-5将船视为变质量质点，取其为研究对象,受力如图。根据变质量质点动力学方程有:dVm -

55、 F mg F dtdmN Vr dt1Frg - x船的质量为：m m0qt ,水的阻力为Ffv将其代入上式可得:dv(m。 qt)- dtfV mg F N qVr将上式在x轴投影：（m0 qt）dvdtfv q（ vr）。应用分离变量法可求得ln(qvrfv)fln(m0qt)q由初始条件确定积分常数：c in（qvjfln me并代入上式可得: q初始时,0 ,方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。解：取方板和质点为研究对象， z轴的动量矩守恒。下面分别计作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为L1,其角速度为，于是有

56、L1 J设质点M对转轴的动量矩为L2,取方板为动系，质点 别为Ve,Vr。相对速度沿相对轨迹M为动点，其牵连速度和相对速度分的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点 M相对惯性参考系的绝对速度 va ve vr ofv吆1(m0qt)gfm02-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为J,质量为m的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方l。质点在方板上的位置由 确定。板的速度大小为u（常量）。圆盘中心到转轴的距离为它对转轴的动量矩为L2L2(mva) L2(mve) L2(mvr)其中:222,L2(mve)mrm(lRcos)(Rsin)2Q0,vru ,此时系统对z轴的动L2(

57、mvr)m(lRcos)vrcosmRsinvr系统对z轴的动量矩为LL1L2。初始时,量矩为L0m(lR)u当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为_2_L J m(l Rcos ) (Rsin2_2-J (l R 2lRcos )m、2) m(l Rcos )u cos(l cos R)mu2mRsin u由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有L L0,因此可得:_2_2-m(l R)u J (l R 2lRcos )m(l cos R)mu由上式可计算出方板的角速度为ml (1 cos )u722J m(l R 2lR cos )2-11取链条和圆盘为研究对象，受力如图(链条重力未

58、画) 系统对。轴的动量矩为：,设圆盘的角速度为 ，则2LqJo i (2a r)r根据动量矩定理有:q2O Joi(2ar)r dti(a x)gri(a x)gr整理上式可得:Jq i(2a r)r2 i(2x)gr由运动学关系可知：rx,因此有：rxo上式可表示成:22Jqi(2ar)rx2grx22,上述微分方程可表示成:l(2ar)r22x0,该方程的通解为:根据初始条件:t0,xX0,x系统的动量在x轴上的投影为:系统的动量在y轴上的投影为:根据动量定理:由上式解得:2-14其中:txc1eqe0可以确定积分常数FoyClc2过，于是方程的解为:2PxPyPxPyFoxX0chrsi

59、ni(aF0F。x)2110Jd2lrxi(ax)r2ixr2ixxi(2ar)g2chl(2ar)g2x2ch(2t)取整体为研究对象，系统的动能为: HYPERLINK l bookmark343 o Current Document 1212 HYPERLINK l bookmark820 o Current Document TmvAmCvC HYPERLINK l bookmark388 o Current Document 22vA,VC分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若Vr是AB杆上的A点相对楔块C的速度,则根据复合运动速度合成定理可知:VrVcVacot因此系统的动能可表示为

60、:T1mvA2,2cot21(Va2(m,2、2mCcot)vA系统在运动过程中,AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有:系统的动力学方程可表示成: TOC o 1-5 h z ,1,2、2,2、，,d(mmCcot)vA(mmCcot)vAdvAmgvAdt2由上式解得: HYPERLINK l bookmark832 o Current Document dvAmg HYPERLINK l bookmark478 o Current Document aA-dtmmCcotacaAcot217质量为mo的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为m(m03m)