2022年完整版集合知识点归纳

1、集合的基本知识一、重点知识归纳及解说1集合的有关概念一组对象的全体形成一种集合，集合里的各个对象叫做集合的元素集合中的元素具有如下的特性拟定性：任给一元素可拟定其归属即给定一种集合,任何一种对象是不是这个集合的元素也就拟定了.例如，给出集合1，2，3，4，它只有1、2、3、4四个元素，其她对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“国内的所有小河流”就不能视为集合，由于构成它们的对象是不能拟定的. 互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相似的（即没有反复现象），相似的元素在集合中只能算作一种.例如，不能有1，1，2，而必须写成1，2.

2、 无序性：集合中的元素间是无顺序关系的.例如，1，2，3与3，2，1表达同一种集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一种集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.不含任何元素的集合叫做空集，记作.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表达法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表达有限集.描述法：将所给集合中所有元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来常用于表达无限集.使用描述法时，应注意六点：写清集合中元素的代号；阐明该集合中元素的性质；不能浮现未

3、被阐明的字母；多层描述时，应当精确使用“且”，“或”；所有描述的内容都要写在大括号内；用于描述的语句力求简要、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表达一种集合，常用于表达又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合固然也可用图示法来表达.如：A=1，2，3，4例1、设集合A=a，a+b, a+2b,B=a,ac,ac2 ,且A=B，求实数c值分析：欲求c值，可列有关c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种状况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种状况解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a

4、+ ac2-2ac=0a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相似，舍去c=1，此时无解（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=02c2-c-1=0，即c=1或，但 c=1时，B中的三个元素也相似，舍去c=1，点评： 两集合相等的意义是两集合中的元素都相似，在求集合中元素字母的值时，也许产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检查，去伪存真（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N=0，1，2，（2）正整数集N*

5、（或N）=1，2，3，（3）整数集Z=0，1，2，（4）有理数集Q=整数与分数（5）实数集R=数轴上的点所相应的数.强调：实数集不可记为R或实数集，0 ，0，空集.强调：排除0和负数的数集也可表达为R*、Z*、Q*或R、Z、Q2基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集记作，即，且（2）交集的图示上图阴影部分表达集合A与B的交集（3）交集的运算律， ，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合，记作，即，或（2）并集的图示以上阴影部分表达集合A与B的并集（3）并集的运算律 ，3、补集（1）定义：设S是一种集合，A是S的一

6、种子集，由S中所有不属于A的元素构成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即 CSA=（2）补集的图示4、常用性质AA=A，A=，AB=BA，ABA， ABBAA=A，A=A，AB=BA，ABA，ABB，例2、集合，且，AU，BU，且4，5，1，2，3，6，7，8，求集合A和B分析：运用集合图示较为直观解：由4，5，则将4，5写在中，由1，2，3，则将1，2，3写在集A中，由6，7，8，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9，105、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A

7、B)= card(A)+card(B)- card(AB)二、难点知识剖析1、要注意辨别某些容易混淆的符号（1）与的区别：表达元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表达集合与集合之间的关系，例如NR，等（2）a与a的区别：一般在，a表达一种元素，a而表达只有一种元素a的集合例如，00,11,2,3等，不能写成0=0，11,2,3，11,2,3（3）0与的区别：是具有一种元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此0但不能写成=0，0例3、已知集合M=x|x3，集合P=x|x2，设，则下列关系式中对的的一种是（）A、PM B、aMC、PMD、a3P解析：集合M、P都是部分实数构成的集合，而a是一

8、种具体的实数，故M、P间的关系应用“涉及”，“不涉及”来拟定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来拟定，比较实数的大小，易判断C对的.小结：对的使用集合的符号是对的分析、解答问题的核心2理解集合所示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所示的意义，即元素指什么，是什么范畴如yR|y=表达的为函数y=中y的取值范畴，故yR|y=yR|y;而xR|y=表达y=的x的取值范畴，故xR|y=R（2）用集合表达不等式（组）的解集时，要注意辨别是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性协助思维判断空集是任何集合的子集，但由于不好用韦恩图表达，容易被忽视，如在关系式BA中，易漏掉B=的状况例

9、4、 设A=，B=（1）若AB=B，求的值；（2）若AB=B，求的值分析： 明确AB=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将AB=B和AB=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的核心解析：一方面化简集合A，得A=-4，0（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集，或只具有根0或-4若B=，由得若，代入得：，当时，B=，合题意当时，B=，也符合题意若，代入得：，当时，中已讨论，合题意当时，B=不合题意由、得，（2）由于AB=B，因此，又A=-4，0，而B至多只有两个根，因此应有A=B由（1）知，【点评】：一般对于AB=B和AB=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和 ，且在涉及关系

10、中，注意不要漏掉B=的状况并且当A、B中的元素的个数相似时，还存在或的状况时，只有A=B这一种状况子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一种元素都是集合B的元素，我们就说集合A涉及于集合B，或集合B涉及集合A。记作： 读作：A涉及于B或B涉及A 当集合A不涉及于集合B，或集合B不涉及集合A时，则记作：A B或B A性质： （任何一种集合是它自身的子集） （空集是任何集合的子集）【置疑】能否把子集说成是由本来集合中的部分元素构成的集合？【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所构成的集合由于B的子集也涉及它自身，而这个子集是由B的全体元素构成的空集也是B的子集

11、，而这个集合中并不具有B中的元素由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素构成的集合是不确切的（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一种元素都是集合B的元素，同步集合B的任何一种元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。例： ，可见，集合 ，是指A、B的所有元素完全相似（3）真子集：对于两个集合A与B，如果 ，并且 ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作： （或 ），读作A真涉及于B或B真涉及A。【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一种元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集”集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏

12、图表达，其中两个圆的内部分别表达集合A，B【提问】（1） 写出数集N，Z，Q，R的涉及关系，并用文氏图表达。（2） 判断下列写法与否对的 A A A A性质：（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A ，则 A；（2）如果 ， ，则 例1 写出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集【注意】（1）子集与真子集符号的方向。 （2）易混符号“ ”与“ ”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是涉及关系。如 R，1 1，2，30与 ：0是具有一种元素0的集合， 是不含任何元素的集合。 如： 0。不能写成 =0， 0例3 判断下列说法与否对的，如果不对的，请加以改正（1） 表达空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3） 不是 ；（4） 的所有子集是 ；（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；（6） 与 不能同步成立 解：（1） 不表达空集，它表达