换元积分法教案

1、 时间星期-月日课题4.2换元积分法教学目的使学生掌握不定积分的第一换兀积分法以及第二换兀积分法教学重点第一换元积分法以及第二换元积分法的应用教学难点第二换元积分法的应用课型专业基础课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点-、第一类换元法(凑微分法)设f(u)有原函数F(u),u=(x),且申(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有dF申(x)=dF(u)=F(u)du=F申(x)d申(x)=F，申(x)0(x)dx,所以F，申(x)0(x)dx=F，申(x)d申(x)=F(u)du=dF(u)=dF申(x),因此fF9(x)cp(x)dx=fFg(x)dq(x)=fF(u)du=fd

2、F(u)=fdFp(x)Fp(x)+C.即ffp(x)p(x)dx=ffp(x)dp(x)=ff(u)du()u=p(x)=F(u)+Qu=p(x)=FP(x)+C定理1设/(“)具有原函数,w=p(x)可导，则有换元公式ffp(x)p(x)dx=ffp(x)dp(x)=ff(u)du=F(u)+C=Fp(x)+C.被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待，从而微分等式p(x)dx=du可以应用到被积表达式中.在求积分fg(x)dx时，如果函数g(x)可以化为g(x)=fp(x)p(x)的形式，那么fg(x)dx=ffp(x)p(x)dx=ff(u)duu=p(x)【例1】f2cos2xdx

3、=fcos2x-(2x)dx=fcos2xd(2x)=fcosudusinu+C=sin2x+C-【例2】匸dx=小匸(3+2x)dx小匸d(3+2x)3+2x23+2x23+2x1f丄dxlnlu1+Clnl3+2x1+C.2u22此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页【例3.】f2xex2dx=fex2(x2)dx=fex2d(x2)=feudu=eu+C=ex2+C.【例4】fxJlx2dx=2J-x2(x2)dx=2Jj-x2dx2=1fJ1_x2d(1x2)=2Ju2du=1u2+C13=_3(1x2)2+C.【例5】ftanxdx=fdx=fdcosxcosxcosx=f丄d

4、u=-In1u1+C=lnlcosxl+C.u即ftanxdx=lnlcosxl+C.类似地可得fcotxdx=lnlsinxl+C.熟练之后，变量代换就不必再写出了.【例6】fdx=fdx一fd一arctan+C.a2+x2a2i+(x)2a+(x)2aaaaa即fdx一arctan+C.a2+x2aa【例7】当a0时，f；dxfdx=fidarcsin+C.厶2x2a1-(&)21&aaiaia即ft1=dxarcsin匹+C.va2x2a【例8】f1dx=Jf(11)dx1f1dxf1dxx2a22axax+a2ax一ax+afd(xa)fd(x+a)2axax+alnlxallnlx+

5、al+C一丄lnll+C.2a2ax+a即f1_dx-占lnll+C.x2一a22ax+a【例9】fdxfdlnx1fd(1+2lnx)Jx(1+2lnx)1+2lnx_21+2lnx2lnl1+2lnxl+C.f【例10】fldx一2fe3、xdx-Je3、xd3+x-x+C.Jx33含三角函数的积分：【例11】fsin3xdx=fsin2x-sinxdx=f(1cos2x)dcosx=-fdCOSx+JCOS2xdCOSx=-cosx+3cos3x+C.例12】Jsin2xcos5xdx=Jsin2xcos4xdsinx=fsin2x(1-sin2x)2dsinx=f(sin2x一2sin

6、4x+sin6x)dsinx=丄sin3x一2sin5x+丄sin7x+C.357【例13】fcos2xdx=f-dx=-(fdx+fcos2xdx)=1fdx+1fcos2xd2x=1x+1sin2x+C.2424【例14】fcos4xdx=f(cos2x)2dx=f2(1+cos2x)2dx=4f(1+2cos2x+cos22x)dx=fC3+2cos2x+丄cos4x)dx422=4(2x+sin2x+8sin4x)+C=3x+丄sin2x+丄sin4x+C.8432【例15】fcos3xcos2xdx=1f(cosx+cos5x)dx=1sinx+丄sin5x+C.210【例16】fc

7、scxdx=f.dx=fdxsinx2sinxcosx22d2pdtan丰一f2一f2一ln1tan小1+C=lnIcscx-cotxl+C.tanxcos2jtan丰2222即fcscxdx=lnIcscx-cotxl+C.【例17】fsecxdx=fcsc(x+)dx=lnIcsc(x+号)-cot(x+号)l+C=ln|secx+tanx|+C.即卩fsecxdx=ln|secx+tanx|+C.练习：1、e3x+exe3x+exex+e-xdx=dxe4xe2x+1e2x1+e-2x=f_J=arctan(ex-e-x)+C。1+(exe-x)22、f1+cosxdx=fd(x+sin

8、x)=InIx+sinxI+Cx+sinxx+sinx3、f1+lnxdx=f1d(xlnx)=-+C(xlnx)2(xlnx)2xlnx4、fsin2xcos5xdx=fsin2xcos4xdsinx=fsin2x(1-sin2x)2dsinx=f(sin2x一2sin4x+sin6x)dsinx=3sin3x一gsin5x+7sin7x+C5、fcos3xcos2xdx=2f(cosx+cos5x)dx=2sinx+盅sin5x+C二、第二类换元法第一类换元法，是选择恰当的u=申(x),du=(x)dx将积分ffP(x)p(x)dx变换成ff(u)du，在找f(u)的原函数，即可计算出积分

9、ff9(x)p(x)dxo反过来，对积分ff(x)dx，也可以令x=屮(t)，则dx=屮(t)dt，于是ff(x)dx=ff屮(t(t)dt,如果ff屮(t(t)dt容易求得，且x=屮(t)的反函数存在，即可求得原积分。这种方法就是第二类换元法。定理2设x=(u)在a,卩严格单调且可导，9(u)丰0，又设f0).x2+a2=In解：设t=Jxx=t2dx=2tdt，代入原积分，得TOC o 1-5 h zjJdx=j三dt=2jt+1一1=2jdt2j丄dtx+1t+1t+1t+1=2t2ln11+11+C=2、：x2ln11+、：xI+C【例19】求ji；a2-x2dx(a0).解：设x=a

10、sint,一丰t-2,那么Pa2一x2=：a2一a2sin21=acost,Z-!Z-!dx=acostdt,于是J*a2x2dx=jacost-acostdt1+cos2t了.11.=a2Jcos2tdt=a2dt=a2(t+sin2t)+C224因为t=arcsin兰，sin2t=2sintcost=2-2,所以aaajJa2x2dx=a2(丄t+丄sin2t)+C=arcsin匹+1xva2一x2+C.242a2注:va2x2令x=asint解法:设x=atant,一号t0).VX2一a2解：当xa时，设x=asect(0t*),dx=asecttantdt那么Jx2-a2=Ja2sec

11、21-a2=aJec21-1=atant,于是f=fdt=fsectdt=InIsect+tantl+C.Jx2-a2atant因为tant=g-a2,sect=&,所以aaf=inIsect+tantl+C=lnlxJx2-a2I+C=ln(x+Jx2-a2)+C,Vx2a2aa1其中C1=C-lna.当xa,于是f=-f=-ln(u+勺u2-a2)+CVx2-a2Vu2-a2=-in(-x+1x2一a2)+C=in(-x-Jx2-a2)+q,一in+C一in(-x-Jx2-a2)+C,a21其中C1=C-2ina.综合起来有f,=inlx+Jx2-a2I+C.Vx2-a2注：Jx2-a2设

12、x=asect例12,13,14所作的代换称为三角代换。一般地有a2-x2x=asint或者x=acosta2+x2x=atant或者x=ashtJx2-a2x=asect或者x=achtsin2x+cos2x=11+tan2x=sec2xfdx【例22】求fx3丁1+x411,解：(倒数代换)令x=-dx=-一dt，有t12_1djdxJj13dt1jd(t4+1)X3l+X41L丄1Jt4+14Jt4+1t3q14一5+c一1尸+c二时+c22x42x2这种方法称为倒数变换。f1+sinx,【例23】求J.c、dxsmx(1+cosx)、几x2u1一u22,解：设u=tansinx=cosx=dx=du，贝q21+u21+u21+u21丄2uj1+sinxdx=j+1+u22dusinx(1+cosx)2ud1一u21+u2(1+)1+u21+u2=j(u+2+)du=-u2+u+-In1u1+C2u421xx1x.=tan2+tan+In1tan1+