16第十六章虚位移原理

1、I虚位移关系的建立1.几何法：定常约束下 用dr 代替 rrA几何学 或 运动学 知识AOrB度： k 65 1取广义坐标：Bdr d tv dr v d tr OA 几何学A微小实位移 rA OA B I OA运动学 BAIAII在同一瞬时（位置），各点之间的虚位移关系等同于各点之间的(角)速度的关系。虚位移方向：运动方向12.虚位移与实位移的区别与联系的质点可以有虚位移，但没有实位移。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关； rA 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，dr也可以是有限值，而且与时间有关。虚位移不唯一，而实位移是唯一的。在定常系统中

2、，微小的实位移一定是虚位移之一。在非定常系统中，微小的实位移不再一定是虚位移之一。r2 W drr2 WrWr1dr1(三).虚位移1.虚位移与实位移虚位移：质点(系)在给定瞬时为约束所容许的微小位移drrArrMAOBrA B rB虚位移不唯一虚位移可以是线位移，也可以是角位移。实位移：在一定时间间隔内，系统的真实运动所产生的位移。所谓 真实运动 是指既满足运动微分方程和初始条件，又满足约束方程的系统运动。因此，在任意位置，质点和系统的实位移是唯一的。(二).度与广义坐标（用于表示质点系位置）度：独立坐标的个数平面内质点系： k 2n s,k 3n s,二个约束方程数n：质点数s：完整约束方

3、程数x 2 + y 2 = a 211广义坐标：独立参数( x x )2 + ( y y )2 = b22121完整约束下 q1 ,k 二个广义坐标：xi = xi ( q1 ,k ) 1. q = , q = axy = y (.q )11 22 ， 1ii2k2. q = , q = y ，A(x1、y1)11 22zi = zi ( q1 ,k ) 3. q = x , q = y ， b11 222ri = ri ( q1 ,k )4. 等。yi = 1,2, ,n不唯一B(x2、y2)唯一性2个度与时间的关系3.定常约束与非定常约束非定常几何约束（转化）f ( x , y , z z

4、 ,t ) = 0 ,vt绳不松弛j 1 1 1nF非定常运动约束f j ( x1 , y1 , z1 x n , yn , zn ,t ) = 0( j = 1,2, s )x 2 + y2 = ( l vt )20约束：质点或质点系在运动时受到的事先给定的几何学和运动学上的限制条件vt意义更广：也限制速度或与时间有关 F主要 ：双面的、定常的、完整约束的第十六章 虚位移原理一、基本概念：y(一).约束：及其分类约束方程绳限制内容 1.完整约束与非完整约束z转化(杆)f ( x , y , z x , y , z ) = 0j 1 1 1n n n( j = 1,2, s1 )xf ( x

5、, y , z x , y , z ,rj 1 1 1n n nx2 + y2 + z 2 l 2x1 , y1 , z1 x n , yn , zn ),( j = 1,2, s )z2几何约束与运动约束(除外：能积分的)r vv r = 0 ,M纯滚动x r = 0 ,yxf ( x, y, z ) = 0限制程度 2.双面(侧)约束与单面(侧)约束2例1 已知 OA=L，求系A 900统在图示位置平衡时，C MC2 （约束转化）1m gm g 力偶矩M与力F的关系12BFO（不计摩擦）m3 g 基本步骤：具有双面、定常、理想约束的质点系确定系统是否满足原理的应用条件分析并表示主动力作用点

6、的虚位移 建立关系n 列出虚功方程Fi ri 0 并求解i 1n （2）充分性 命题：Fi ri 0 则质点系平衡。i1反证法：质点系不平衡，则上式不成立。设第i个质点不平衡： FRi 0 Wi FRi dri 0( Fi F 0n质点系( Fi ri F) 0i 1n n 不平衡质点F 0 Fi ri 0i1i1所以，上式成立，质点系必定平衡。二、虚位移原理（虚功原理）具有双面、定常、理想约束的质点系， 在给定位置平衡的充要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的之和等于零。 F r 0nWii代数形式 Fi ricos i 0i1n形式 (Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0i 1证

7、明： （1）必要性 命题：如质点系平衡，则上式成立。第i个质点 Fi FNi 0 （Fi F 0n n F r n F 0质点系(Fi F 0 iii1ni1n i1 Fi ri 0 F 0i1i 1(四). 虚功作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功。 W F rFm主动力的虚功：计算方法与力的一样。r理想约束：约束反力在质点系的任何虚位移中 n F 0所作之和等于零。i 1ri 0 即约束处无虚位移。 如 固定端约束，铰链支座；F 即约束力与虚位移相垂直。如 光滑接触面约束；FNi 0 即约束点上约束力的合力为零。 如 铰链连接；n F 0即虚功之和即为零。i 1如 连接两质点的无重刚

8、性杆。2.法： 广义坐标的变分（普遍方法）n个质点度为k取广义坐标： q1 ,kri ri (2 qk ) 唯一确定变分：r k i12k j（微分）j 1度：2取广义坐标： 1、2（i = 1,n）xA a sin 1xA a cos 111axyA a cos1yA a sin11 1 AxB a sin1 b sin2广义坐标的变分xB a cos11 b cos 22 2 b By a cos b cos yB12广义虚位移yB a sin 11 b sin 22O几何法PC rC1P2lCDC l lC = 60 r rr1 P P 2 rC lDC1B C2A1.5lkB r rB

9、0 5l rMAFFAF2 A rB BF1Fk k(ll0 )rC 2rArDrC令：rArB rA 3rC rBrDlrB 2 5lrC1rC rC2rA 0.5lrA 3rC13虚位移虚功方程虚位移原理：机构主动力静定结构约束力用虚位移原理求约束反力：解除相应约束，代以相应反力，视为主动力，并加入虚功。两种方法比较：虚功方程的形式不同（代数形式与形式）虚功正负 几何法：力在虚位移上投影与虚位移的方向关系在坐标方向投影与坐标的方向关系建立虚位移之间关系的方法不同：几何法：正确分析虚位移，利用几何关系或运动学关系法：给出点的坐标，应用变分方法解题时要求不同：几何法：画虚位移图（解题过程出现的

10、虚位移）法：建立坐标， 选广义坐标（上题中选 ）“虚位移关系的建立” 是解题的关键使用范围不同：几何法：容易从几何和运动学关系中分析虚位移关系法：容易计算力作用点的坐标（广义坐标表示）小结 ：虚位移原理具有双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的之和等于零。 W n F r 0 n (F x F y F z ) 0iiWxi iyi izi ii1i1虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的微小的位移解题步骤：几何法：法：确定度数，选广义坐标。 1.确定度数，选广义坐标。给虚位移，画虚位移图。2.建立坐标。列虚功方程。3.列虚功方程。找虚位移之间

11、关系，解方程。 4.取相关点相关坐标、变分，解方程。解：F = k = 2l sink法 yPFxA F xB PyC = 0,CxA = l sin , xA = l cosx = l + l sin , x = l cos = xlFlBBA有 : P y 2Fx = 0ABcBl Fklyc = 2l cos , ,yc = 2l sin ,Ox( 4lsin cos k + 2sin P ) = 0,l 0, 得 : 2lk cos = P , = arccos P .（广义坐标 ）2lkP49 习题：1、2(几何法) 非理想约束：约束力视为主动力P50 习题：3、4(法) (解除约束

12、) （弹性力及摩擦力）例3 图示平面缓冲机构，各杆的重量和摩擦不记，弹簧原长为l，刚性系数为k。求：平衡时P与之间关系。解：1.几何法 F r F r 0y坐标A AB BFr l cos r l sin AAB(FAl cos FBl sin ) 0 rA 0 (FAl cos FBl sin ) 0广义虚位移则: : FA tan FB xFBO 虚功的正负rB2.法 FAyA FBxB 0 xB l cos xB l sin yA lsinyA lcos 0 (FAl cos FBl sin ) 0则: : FA tanFB例2 图示椭圆规机构，连杆A、B长为l，杆重和摩擦力不计，求：在

13、图示位置平衡时主动力FA和FB之间的关系。 r A Ar r A ABB AB设一虚位移 速度关系rCC2几何法C11M rm1 gC 2 m g 2BF虚位移分析O rBm3 g 解：rA L rB W 0FrB M 0FL M 0( FL M ) 0 0FL M 0M FL4解： 1.求FDy位移分析： 从约束程度较高处开始 rFE F1 BFGH r rG F2aE r rC rABCDDA2a B2a C2aDFDy对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩所做的虚功来计算。 F1a A F2 aD FyD 2aD 0 D = A D 0FDy 1.5kNE F1FGHaF2ABCDa

14、2a2a2D处解除约束DD FDxDDFDy例5 拱架结构，F1=2kN，F2=1kN。求：支架D、C处反力。虚位移表示运动分析 虚位移关系注：（1）分布力用合力替代：仅适用于作用在同一刚体上的分布力。（2）解除约束是，仅仅解除与所求反力相应的这一部分约束。上题：若计算 A 处垂直反力，应将 A 处支座改为两根水平链杆 双链杆（允许 A 处垂直移动，但仍限止水平移动与转动）AFAyA解：将固定端A变成固定铰链, 将相应约束力偶视为主动力偶。给出虚位移（）位移分析：从约束程度较高处开始n aaaFi ri 0Ci 1F1r1 F2r2 M A 0rC确定虚位移的关系 r 1 r13 CM rC

15、r2 r2 2a( F 2a 2aF M ) 01 32Ar2 0 M2 )F2Dr1F1MAAB例4 结构及其受力，求：A端的约束力偶。aaaAC 分析DF解1除MAM相FAx AB应约MAF束AyFAMA2AAFAy例4 结构及其受力，求：A端的约束力偶。5位移分析例6 图示桁架，各杆长度均为虚位移关系?15kNl。求：内力FDE、FBC。D10kNE几何法ABC解： 2.法 PyD + FyD FyB = 0By = a sin y = a cos FD21D21 1yDyB = a sin 2yB = a cos2aPxC = 2a cos 2 = 2cos12A21Csin = 1

16、sin x2 2 112代入: 1 = 45, , 2 = 60 = 1 sin45 F = 2.37P22 sin601例6A 已知AB=BC=CA=a，AD=DC= a ，求：BD杆的内力。2解： 1.几何法位移分析FrB cos 60 FrD cos 45 + PrD cos 45 = 0r cos 30 = r cos 60B rBBCFr = r cos 45DDCr 0P rDC6045 rCF = 2.37PAC例6 图示桁架，已知AB=BC=CA=a，AD=DC= a ，求：BD杆的内力。2用虚位移原理求二力杆内力： 机构 主动力截断相应杆件，代以相应内力（一对），视为主动力，

17、并加入虚功。3.求FCyF E 1BF rG r HFGFa rE yC2 rB r D DAABCc2a2a FCy2aF1a A F2aD FCyyC 0rE 2a A 2a B rF rG rC 2 a D A Dyc a AF1a A F2a A a AFCy 0FCy 3kN2.求FDx位移分析： 从约束程度较高处开始DF rFE 1 BFGH rG Fa rEC r2rBDA ABCDF2a2a2aDx对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩所做的虚功来计算。 F1a A F2aD 2aFDxD 0D AFDx 1.5kN6(二)以广义力表示的质点系平衡条件度数k W j 0 q

18、 j 0 Q j 0 ( j=1,k )j 1n ri 以广义力表示的广义力计算： Qj ( Fi q )质点系平衡条件i1j法nxyzj ix qiy qiz qQ Fi Fi Fi 表达式i1jjjn几何法k W (F x F y F z ) W j xi iyi izi ij1i1加“锁”取一组除 q j 0， 其余广义坐标变分均为零的虚位移。 Wjn 则 Wj jQj q Wj Fi riji1具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置上保持平衡的必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。三、广义力及以广义力表示的质点系平衡条件(一)广义力ri ri (2 qk )r k

19、 ri qi1 2k qjj 1j F r n F k ri q k ( n F Wii i j iji1j 1 q jj 1 i1( i=1,n； j=1,k )n rik令： Fi q Qj W ji1jj1Qj为对应于广义虚位移 q j的力， 称为广义力nxyz表达式： Q F i F i F i ( j=1,k )jixiyizi1q jq jq j法： PyC1 PyC 2 FxB M1 0虚位移原理y l cos y l sin xC1 21C121 1My l cos l cos C1C 21 221y l sin l sin PC 21 1 22 2ACx l sin l si

20、n 2B122x l cos l cos yPB FB1 122( P 3 l sin Fl cos M ) (P l sin Fl cos ) 0 21112222因: 1 0, 2 0 F 1 P tanM 1 Pl(cos tan 3sin )222121例7 均质杆，为l。求：图示双摆平衡时的力F和力偶M。解：度：2 取广义坐标： 1、 2M 几何法1. 令q1 =1 0，q2=2=0 加“锁”W M P( l sin )1 r11211PA杆AB移动 P(l sin 1)1 Fl cos11 0 A M P( l sin ) P(l sin ) Fl cos 02rB2111P B

21、F2. 令q2 =2 0，q1 =1=0MW P( l sin ) Fl cos 022222 2PP( l sin ) Fl cos 0A2222 rF 1 P tan M 1 Pl (cos tan 3sin )2B222121P B F几何法：求FBC10kN D15kNI 转动中心EECP51 习题：1、2rEAP52 习题：3、4ABCFBC FCB xC10 3 l 15 3 l F IC 02A2ACBECIC cos 30 EC lIC 2l IC l3EI AE 2l cos 30 3l23lrE 3l A EC3A ECAE3EIFCB 8.99kN解： 几何法：求FDE

22、x15kNDD FDE FED xE对具有转动中心的刚体，10kN r rE可用力对转动中心的矩所做的DE y AEC虚功来计算。AC 3 ll B yB2A2C力矩作虚功10 3 l 15 l F3 l 3 l 02A2CDE 2A2C EDyB l A lC A C(10 3 l 15 l F3 l 3 lF ) 022DE 22EDAFDE 13.66kN7四、场中质点系的平衡条件及平衡稳定性(一)场中质点系的平衡条件（保守系统）有： F = V , F = V , F = Vixxiyyizziii代入： Q (F xi F yi F zi )njix qiy qiz qi1jjj (

23、 V xi V yi V zi ) V ,xi q jyi q jzi q jq j则场中质点系的平衡条件为：Q j 0Q V 0即V 0jqqjj(2)令： 0 虚位移关系如图虚位移原理： T x Fm r2 0r 1 x T x F 1 l x 023m 3对应x的广义力： Q T F 1 l r x rxm 3CE11T令 Qx 0 T Fm 3 l 6 qmlF q lq lm 2 m而 T k1 mFr6kFm21弹簧被压缩注意：如何求两个或多个度问题的广义力。如何求分布力的虚功。解：度数2 取广义坐标：、xx x(1)令： x 0 虚位移关系如图1 l几何法虚位移原理： M Fr

24、0 211 1 rr l M F l 0 rED1 221 rC对应的广义力： M F 2 l令 Q 0M F 1 l2MFFm r2而 M k Fl r22k1 rB2例3 OB=BC=l ，CD=DE，在该处系统平衡，此时三根杆相互垂直。E处弹簧的刚度系数为k1，O处螺线弹簧刚度系数为k2，求平衡时水平弹簧的变形和螺线弹簧的变形。 n F xi F yi F zi 法： Qj ix qiy qiz q广义坐标： 1、 2i1jjjQ P yC1 P yC 2 F xB M 1Mx1 1 1 1 1C1Q P yC1 P yC 2 F xB M 112PA2222C 2 Q P 3 l si

25、n Fl cos M 021211yPBQ P l sin Fl cos 0lF2222 yC1 cos112l得： F 2 P tan 2yC 2 l cos 1 2 cos2M 1 Pl(cos tan 3sin )x l sin l sin 2121B12例2 均质杆为l，求图示双摆平衡时的力F和力偶M。解：度：2 取广义坐标：1、21. 令q1 = 1 0，q2 = 2 = 0几何法MW M P( l sin )W11211P1 rAQ1 1 P(l sin ) Fl cos A111 1r1l2B M P( sin 1) P(l sin 1) Fl cos 1 0 P B2F2. 令q2 = 2 0，q1 = 1 = 0W P( l sin ) Fl cos M2222 2 Wl 2PQ2 2 P( sin 2 ) Fl cos 2 022A F 1 P tan M 1 Pl (cos tan 3sin ) 22 rB222121 P B F广义力表示的平衡条件y解：度：1 选为广义坐标5F 原理： y y y y L cos1234不L 21234 计法y1 sin 摩x 4L sin 2擦52W2W2W2Wxx5 4L cos W ( Fixxi Fiyyi ) 0(4cos ) 0