2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期入学考试数学试题（解析版）

1、2023届高三年级上学期入学考试数学一单选题（每小题5分，共40分.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则（ ）A. B. 1C. D. 23. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员

2、的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）A. （）B. （）C. （）D. （，且）5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 6. 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|（ ）A. 6B. 8C. 9D. 107. 已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数,则方程根个数为A. 3B. 5C. 7D. 9二多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）9. 下列命题

3、中正确的是（ ）A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内B. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交C. 若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面D. 若平面平面，直线，直线，则10. 已知函数yAsin(x)(A0，0，|)的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象.下列结论正确的是（ ）A. 当x时，f(x)的取值范围是1，2B. f()C. 曲线yf(x)对称轴是xk(kZ)D. 若|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|0，0，|)的部分图象如图，将该函数的图象

4、向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象.下列结论正确的是（ ）A. 当x时，f(x)的取值范围是1，2B. f()C. 曲线yf(x)的对称轴是xk(kZ)D. 若|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|4【答案】AD【解析】【分析】根据函数的图象求出，对于选项A, 的取值范围是，A正确；对于选项B，计算得，B错误；对于选项C，函数的对称轴是，C错误对于选项D，函数的最小正周期为，D正确【详解】由图可知，由于，函数的解析式是根据题意，当时，的取值范围是，A正确；，B错误；函数的对称轴是，C错误的最小正周期为，D正确故选：AD11. 若

5、定义域为函数的导函数满足，且，则下列结论中成立的是（ ）A. B. C. ，D. ，【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，设，求出其导数可得，结合函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，据此依次分析选项，综合即可得答案【详解】解：根据题意，若定义在函数的导数满足，则有，则有，设，则，则在上为增函数，依次分析选项：对于，则，即，则有，符合题意；对于，则，即，即有，符合题意；对于，在上为增函数，且，则有，则，又由，则，符合题意；对于，当，有，此时有，即，变形可得，又由，则，则恒成立，不符合题意；故选：【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，并利用导数分析函数的单调性1

6、2. “内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得BEF=15；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得FMN=15；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角

7、三角形EQM的面积为，），则（ ）A. 数列是公比为的等比数列B. C. 数列是公比为的等比数列D. 数列的前n项和【答案】BD【解析】【分析】应用勾股定理、三角函数得到此过程中前后两个正方形的边长关系，即可知A、C正误，并写出的通项公式，进而求通项公式，即知B、D正误.【详解】由题设，若，则，即，即，故，B正确；，以此类推可得， 是公比为的等比数列且，A、C错误；由图知：，而，故，D正确.故选：BD三填空题（每小题5分，共15分.）13. 将名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率

8、为_.【答案】【解析】【分析】结合已知条件分别求出基本事件总数和甲乙两名志愿者分配在一起的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，基本事件总数为，甲、乙两名志愿者分配在一起的基本事件数为2，(即甲乙都分配到花样滑冰或短道速滑)故由古典概型的概率公式可知，所求概率为.故答案为：.14. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是_【答案】【解析】【分析】假设圆心坐标，利用切点可构造方程求得圆心坐标，进而确定半径，由此得到圆的方程.【详解】设所求圆的圆心为，则圆心与连线与直线垂直，解得：，圆心为，半径，所求圆的方程为：.故答案为：.15. 若函数在区间上存在最小值，则实

9、数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意，求导f（x）x2+2xx（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围【详解】由题意，f（x）x2+2xx（x+2），故f（x）在（，2），（0，+）上是增函数，在（2，0）上是减函数，作其图象如图，令x3+x2得，x0或x3；则结合图象可知，；解得，a3，0）；故选C【点睛】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题16. 圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何

10、性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.【详解】设，则，由切线长定理可得，圆心的坐标为，则，由图可得，即，则，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，所以，当时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.四解答题17. 在中，是角，所对的边，有三个条件：；，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.（1）两个条件中能有吗？说明理由；（2）请指出这两个条件，并求的面积.【答案】（1）不能有，理由见解析；（2）只能选择和，.【解析】【分析】（1）根据正弦定理由，可得，解得，若条件中有，可得，

11、则与矛盾；（2）只能选择和，由余弦定理得，由，可得，即可得解.【详解】（1） ，由正弦定理得.，.，.假设两个条件中有，则会推出矛盾.过程如下：，此时，.（2）只能选择和.由余弦定理得，即，而，此时，解得或，所以存在，.18. 已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）方法一【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是方法二

12、：奇偶分类讨论由题意知，所以由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项差为2所以，则方法三：累加法由题意知数列满足所以，则所以，数列的通项公式（2）方法一：奇偶分类讨论方法二：分组求和由题意知数列满足，所以所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列从而数列的前20项和为：【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项

13、公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.19. 在四棱锥中，底面是正方形，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.详解】（1）取的中点为，连接.因为，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为

14、平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.20. 某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.

15、（结果四舍五入取整数）附：若，则，.（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.【答案】(1) 中奖的人数约为人. (2)分布列见解析.(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解析】【详解】分析：（1）依题意得，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为，人数约，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望

16、值即可得出结论.详解：（1）依题意得，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为人数约人其中中奖的人数约为人（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，故的分布列为（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得奖金的期望为箱摸一次所得奖金的期望为方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件

17、的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度21. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导

18、，对参数分情况讨论，求得函数的单调区间，结合单调性求得函数的极值；（2）由（1）可知，当时，利用单调性得出不可能，故当时，利用函数的单调性分情况讨论列出不等式组求得结果.【详解】解：（1）由题意知，所以当时，所以在上递减，无极值；当时，令，所以在上递减，上递增，所以当时，取到极小值，无极大值，综上，当时，无极值；当时，则当时，有极小值，无极大值.（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，所以至多一个零点，不符合题意；当时，在上递减，上递增，若，即，则在上单调递增，至多有一个零点，也不符合题意；若，即，则在上单调递减，至多有一个零点，也不符合题意；若，即，则在上单调递减，在上单调递增，则或综上可得实数的取值范围为22. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.（1）求椭圆C的方程；（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.【答案】（1） （2）（0，3【解析】【分析】（1）根据PF平分O