内蒙古大学电路分析基础课件09阻抗和导纳

1、第九章 阻抗和导纳9-1 变换方法的概念 B9-2 复数(自学)9-3 相量 C9-4 相量的线性性质和微分性质 B9-5 基尔霍夫定律的相量形式 A9-6 三种基本电路元件VCR的相量形式 A9-7 VCR相量形式的统一 阻抗和导纳的引入 A9-8 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比 相量模型的引入 A9-9 正弦稳态混联电路的分析 B9-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法 B9-11 相量模型的等效 B9-12 有效值 有效值相量 B9-13 两类特殊问题 相量图法 B 计划学时：819-1 变换方法的概念变换方法的基本思路如图9-1所示，可分为三个步骤：1、把原来的问题变换为一个较

2、容易处理的问题。2、在变换域中求解问题。3、把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答。图9-1中，三个实线箭头依次表明了这三个步骤图9-1 变换方法的思路原来的问题原来问题的变换域中较变换域中问直接求解变换求解反变换29-3 相量1、正弦稳态的概念正弦稳态：正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。正弦稳态电路：在正弦激励的动态电路中，若各电压、电流均为 与激励同频率的正弦波，则该电路称为正弦稳态电路。 2、相量的概念回顾欧拉恒等式：正弦函数就可用复数表示为：3可写作：设正弦电压为： 是一与时间无关的复值常数，其模 为u(t)的振幅，辐角 为u(t)的初相。其中：称为电压振幅相量。 为电流振幅相

3、量。同理，可以定义4如： 电压振幅相量 ，电流振幅相量 为方便，本章把振幅相量简称为相量。 这是因为在正弦交流电路中，激励与响应，电压与电流均为同频率的正弦波，一般为已知条件，所以相量中未包含。为什么相量只包含振幅和初相，而未包含频率呢？相量：能够表征正弦时间函数的复值常数就叫做相量。5需要说明的是：相量只能表征或代表正弦波，并不等于正弦波 以电压为例： 和u(t)之间可用 表示而非等于。即 u(t) ，则：相量图：相量在复平面上的图示称为相量图。注意：辐角 (t+)与角速度（角频率）的关系是导数关系o+1+j6 例9-2 若 i1(t)=5cos(314t+60)A, i2(t)=-10si

4、n(314t+60)A, i3(t)=-4cos(314t+60)A. 试写出代表这三个正弦电流的各 相量，并绘相量图。解：（1）故得代表电流i1的相量为：7（2）故得代表电流i2的相量为（3）故得代表电流i3的相量为8这三个电流的相量图如图9-9所示。+1+j5 6060150-1204 -12010 150 图9-9 例9-29 也可以根据所给相量直接写出。相量提供了振幅及初相的数据，故得 同理，得:由于采用余弦函数表示正弦波，故例9- 已知 试出它们所代表的正弦电压。=2f=250=100(rad/S)解:109-4 相量的线性性质和微分性质1、线性性质： 表示若干个同频率正弦量（可带有

5、实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。即： f1(t), f2(t)设1和2为两个实数，则正弦量1f1(t)+ 2f2(t)可用相量表示为：如设正弦量为：112、微分性质：若 为给定正弦量Amcos(t+)的相量， 则 为该正弦量的导数的相量。亦即： (a)取实部和求导数的运算（ ）是可交换的； (b)复值函数 对t的导数等于该函数与j的乘积结论：任意个角频率相同的正弦量以及任意个这种正弦量的任意阶导数的代数和，仍为一个同频率的正弦量。这一结论称为正弦稳态电路的主定理。这一定理包含两个内容:129-5 基尔霍夫定律的相量形式回顾KCL：在任一时刻，流出电路节点的电流的代

6、数和为零。设：线性非时变电路在单一频率的激励下（正弦电源可以有多个，但频率必须相同）进入稳态时，各处的电压，电流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点，KCL可表示为：其中： 为流出该节点的第k条支路正弦电流ik的振幅相量。13根据线性性质，可得式中， 为第k条支路的电流振幅相量上式中， 为第K 条支路的电压振幅相量同理，在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：总结：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。14例9-6 图9-11所示为电路中一个节点，已知：i1(t)=10cos(t+60)A, i2(t)=5sin(t)A, 求： i3(t)。

7、写出已知电流i1和i2的相量，即：设 未知电流i3的相量为 则由KCL可得i3i1i2解：15由此可得最后，根据所得相量 写出相对应的正弦电流i3 ，即 i3(t)=6.2cos(t+36.2)A相量图及波形图分别如图8-10(a)、(b)所示P14。16其中：各电压均为同频率的正弦波，以相量表示后得解 uac=uab+ubc例9-7 已知: uab= - 10cos(t+60)V, ubc=8sin(t+120)V 求: uac17Uabm3012030+1+joUbcmUacm 图9-13 例9-7因此 uac=5.04cos(t-67.5)V.相量图如图9-13所示故得189-6 三种基

8、本电路元件VCR的相量形式 我们知道，在关联参考方向下，线性非时变电阻，电容和电感元件的VCR分别为： 在正弦稳态电路中，这些元件的电压，电流都是同频率的正弦波。为了用相量进行正弦稳态分析，我们将导出三种元件的相量形式。191、电阻元件VCR的相量形式如右图所示电阻元件电路中，电压，电流为关联参考方向。上式即为电阻元件VCR的相量形式若：其中：根据欧姆定律：U=Rii(t)+正弦稳态电路-u(t)20上式中电压、电流的振幅关系和相位关系分别为： Um=RIm 和 u=i前者表明：电压振幅和电流振幅同直流电路中一样，符合 欧姆定律。 其相量图如右图所示。后者表明：电压与电流是同相的。o+1+j其

9、时域波形图如图8-13（c）所示 P1721例9-8 4电阻两端的电压为 u=8cos(314t - 60)，求i。 （1）用时域关系式解（2）用相量关系式解 （a）写出已知正弦量的相量解:22（b）利用相量关系式进行计算（c）根据算得的相量写出对应的正弦量 i=2cos(314t-60)A232、电容元件VCR的相量形式右图电容元件电路中，电压、电流为关联参考方向。i(t)+正弦稳态电路-u(t)若：将上两式代入：24上式就是电容VCR的相量形式。=25 Imi=jCUmu=CUm（u+90） （其中用到了j=ej90=90这一关系） 电压与电流振幅之间的关系和相位关系分别为：Im=CUm

10、i=u+90前者表明：电压、电流振幅不仅与C有关，且与有关。 若C一定，且Um为定值时: 增大，则Im增大，电流容易通过; 减小，则Im减小，电流不易通过; =0， Im=0，电容相当于开路。 （直流情况 ）上式可改写为：26后者表明：电流超前电压90Im=CUm i=u+90其相量图和时域波形图如P19图8-14（b）、（c）所示Uc=Umax时, Ic=0; Ic= Icmax 时，Uc=0.273、电感元件VCR的相量形式 因为电感元件的VCR与电容的 VCR存在对偶关系。 所以将 换成 ，将 换成 ，将C换成L，就可得到电感VCR的相量形式：电压、电流振幅之间的关系和相位之间的关系分别

11、为： Um=LIm u=i+9028Um=LIm u=i+90前者表明：电压、电流振幅的关系不仅与L有关且与有关， 当L、Im一定时：增大， Um增大（阻抗大） 减小， Um减小（阻抗小） （直流情况）=0， Um=0（电感相当于短路）后者表明：电流滞后电压90。其相量图和时域波形图如P20图8-15（b）、（c）所示UL最大时, IL=0 ; IL最大时, UL=0 .29例9-9 流过0.5F电容的电流为 试求电容的电压u(t)，并绘相量图。解 （a）写出已知正弦量的相量（b）利用相量关系式进行运算30（c）根据算得的相量写出对应的正弦量相量图如下图所示，表明了电流超前电压角9030120

12、+1+jImUmo 31例9-10 4H电感 两段电压为u(t)=8cos(t-50)V, =100rad/s, 求流过电感的电流i(t)。解 （a）写出已知正弦量的相量（b）利用相量关系解（c）32例9-11 电路如图9-19(a)所示，已知: u(t)=120cos(1000t+90) VR=15, L=30mH, C=83.3F, 求i(t)。解: 用相量法解对电阻元件（a）(b) 求各元件的电流相量CRu(t)ic iR iL+-图9-19(a)i(t)33对电容元件对电感元件由KCL34（c）写出i(t)相量图如右图所示。0+1+j(已知)由图可见电流i相位超前电压u 37CRu(t

13、)ic iR iL+-图9-19(a)i(t)359-7 VCR相量形式的统一 阻抗和导纳的引入1）定义：元件在正弦稳态时，电压相量与电流相量之比定义为该元件的阻抗（impedance）。记为Z，即 单位为：欧姆（）电阻的阻抗：ZR=R VCR:1、阻抗电容的阻抗： VCR:电感的阻抗：ZL=jL VCR:36上式中：R=Re(Z)称为阻抗的电阻分量 X=Im(Z)称为阻抗的电抗分量 （容抗）（感抗）阻抗是一个复数，它可表示成： 称为阻抗的模 Z 称为阻抗的幅角37 R和X的单位也为若：则：38a)、阻抗Z是j的函数，称阻抗函数；同样R(), X()， 及 Z() 均为的函数。2)、阻抗的性质

14、39若 Z 0 ，即u i ，即电压超前电流，网络呈电感性。若 Z=/2时，电压超前电流/2 ，网络呈纯电感性。若 Z= -/2时，电流超前电压/2 ，网络呈纯电容性。b)、阻抗能反映无源单口网络的性质若 Z 0 ，即u 0X()可确定单口网络的性质：X()0,呈感性X()=0,呈阻性X()0时呈容性； Y=0时呈阻性； Y 0。 则: B() 0呈容性; B() =0呈阻性; B() 0呈感性.449-8 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比 相量模型的引入 我们以前所用的电路模型如下图，是一种时域模型，记为N。它反映电流与电压时间函数之间的关系。uc-+uL R L+-us(t)uR-+i

15、(t)C45 相量模型具有与原时域模型完全相同的拓扑结构和参考方向，不同的是： 1）用阻抗或导纳代替原来的元件参数 电容看作具有1/jC值的阻抗 电感看作具有jL值的阻抗 电阻看作具有R值的阻抗2）用电压、电流相量代替原来的电压、电流时间函数。如右图所示，记为N.称为相量模型R1/jCjL-+-+46例9-12 RLC串联电路如图9-21(a)所示，已知电源电压 。试求稳态电流i(t) 解 （a）写出已知正弦量的相量(a) 原电路模型N (b) 相量模型Nuc-+uL R L+-us(t)uR-+i(t)C （b）作出原电路的相量模型如图9-21（b）所示R1/jCjL-+-+47 由电路的相

16、量模型, 得出串联电路的阻抗为:R1/jCjL-+-+48由相量模型可知:49根据所求得相量，写出相应的正弦时间函数。50例9-13 接续上例，若R=2, L=2H, C=0.25F , us=10cos(2t)V。 求: 电流以及各元件的电压。解: （a）（b）Z = ZR+ZL+ZC = (2+j4-j2) = (2+j2) = 2.83452-j2j4-+-+得相量模型如右图所示。由相量模型可求得: 51 i(t)=3.53cos(2t-45) A uL(t)=14.1cos(2t+45)V uR(t)=7.06cos(2t-45）V uC(t)=7.06cos(2t-135)V根据求得

17、的各相量写出相应的正弦波：52Ucdm45UbcmImUabmUsm+1+jo (b)45UcdmUsmImUabm+1+jo45135 (c)图各电压及电流的相量图如图9-23（b）（c）所示。思考题：从上图是否可以判断出R、L、C 的电压对应的相量？539-9 正弦稳态混联电路的分析2）基本元件的阻抗和导纳 Z Y R R G=1/R C 1/ jC jC L jL 1/ jL 1、正弦稳态混联电路分析中常用的公式1）Z = 1/Y 或 Y = 1/Z543)串联公式的相量形式： 并联公式的相量形式： 两个元件并联时：552、用相量法分析混联电路的步骤 求正弦稳态电路的响应时，可以完全抛弃

18、列写微分方程的步骤而直接写出相量的代数方程，求出响应的相量，最后写出响应的时域表达式。2）根据KCL、KVL的相量形式、欧姆定律及其它有关 公式的相量形式，列出电路的相量代数方程，并依 照复数的运算法则求解。相量法的一般步骤：1）将电路的时域模型变换为相量模型，将已知正弦波 变换为相量。3) 将所求响应的相量变换为时域中的正弦函数。56例9-15 电路如图9-29(a)所示 us(t) = 40cos(3000t)V 求：i(t) , ic(t) , iL(t)解 ：作相量模型如图9-29（b）所示。其中：C-+-+1.5K1Kbaus(t)iL(t)iC(t)i(t)uL(t)1/3H1/6

19、FC-+-+1.5K1Kba图9-29(a)图9-29（b）写出已知正弦量的相量57根据相量模型进行计算输入阻抗C-+-+1.5K1Kba58利用分流关系可得：电流C-+-+1.5K1Kba59由算得的各个相量写出对应的正弦量： i(t)=16cos(3000t - 36.9)mA iC(t)=11.3cos(3000t + 98.1)mA iL(t)=25.3cos(3000t - 55.3)mA电流相量图如图9-30所示。55.398.1ILmIcmImUsm+1+jo 图9-30 例9-15609-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法例9-16 电路如图9-34（a）所示. 其中r=2

20、 已知解 作相量模型如图9-34(b)所示。求解 i1(t)和i2(t)。10V+- j23 j4+-(b)+- 4mH+-(a)61用网孔分析法，电路相量方程为：由(b)式可得（c）（a）(b)10V+- j23 j4+-(b)62 (c) 2 +(a) 得即代入(c)得故得63例9-17 电路相量模型如下图所示.试列出节点电压相量方程.解 节点1:即64(a),(b) 即为所示电路的节点电压相量方程。节点2:(b)即65例9-18单口网络如右图所示试求: 输入阻抗及输入导纳.1SIemIem1S1SjSUm+_a 111FiEiEa 1解 作相量模型如下图所示，各无源元件用导纳表示。66由

21、（a）（b)两式得(a)(b)设想端钮上外接电压源 ，令5个元件的连接点为a1SIemIem1S1SjSUm+_a 则节点方程为:67输入导纳:输入阻抗:681、无源单口网络的等效无源单口网络如图9-39(a)其VCR为：则：Y = ReY +jImY = G + jB9-11 相量模型的等效输入阻抗或等效阻抗为: Z= ReZ + jImZ = R+jX可等效为图9-39(b)N0-+9-39(a)-+jXR9-39(b)-+GjB9-39(c)可等效为图9-39（c）若用导纳表示：69 设: Z=R+jX ZY的变换公式则:注意： Z 、 Y互为倒数，但R 和G 、 X 和B不是互为倒数.