概率论的基本概论

1、 概率论论的基本本概论确定现象象：在一一定条件件下必然然发生的的现象，如向上上抛一石石子必然然下落，等随机现象象：称某某一现象象是“随机的的”，如果果该现象象（事件件或试验验）的结结果是不不能确切切地预测测的。由此产生生的概念念有：随随机现象象，随机机事件，随机试试验。例：有一一位科学学家，他他通晓现现有的所所有学科科，如果果对一项项试验（比如：掷硬币币），该该万能科科学家也也无法确确切地预预测该实实验的结结果（是是正面朝朝上还是是反面朝朝上），这一实实验就是是随机实实验，其其结果是是“随机的的”-为一一随机事事件。例：明天天下午三三点钟”深圳市市区下雨雨”这一现现象是随随机的，其结果果为随机

2、机事件。随机现象象的结果果（随机机事件）的随机机度如何何解释或或如何量量化呢？这就要引引入”概率”的概念念。概率的描描述性定定义：对对于一随随机事件件A，用用一个数数P(AA)来表表示该事事件发生生的可能能性大小小，这个个数P(A)就就称为随随机事件件A发生生的概率率。1.11 随机机试验序号条件观察特性性可能结果果E1抛一枚硬硬币正、反面面出现的的情况正面H,反面TTE2将一枚硬硬币抛掷掷三次正、反面面出现的的情况HHH,HHTT,HTTH,TTHH,HTTT,THHT,TTTH,TTTTE3同上出现正面面的次数数0,1,2,33E4抛一颗骰骰子出现的点点数1,2,3，4，5，6E5记录电话

3、话交换机机呼唤次次数一分钟内内接到的的呼唤次次数0,1,2,33,.E6一批灯泡泡中任抽抽取一次次测量使用用寿命非负实数数E7记录某地地昼夜温温度最高和最最低温度度以上试验验的共同同特点是是:1试验验可以在在相同的的条件下下重复进进行；2试验验的全部部可能结结果不止止一个，并且在在试验之之前能明明确知道道所有的的可能结结果；3每次次试验必必发生全全部可能能结果中中的一个个且仅发发生一个个，但某某一次试试验究竟竟发生哪哪一个可可能结果果在试验验之前不不能预言言。 我我们把对对随机现现象进行行一次观观察和实实验统称称为随机机试验，它一定定满足以以上三个个条件。我们把把满足上上述三个个条件的的试验叫

4、叫随机试试验，简简称试验验，记EE。1.22样本空空间与随随机事件件(一) 样本空空间与基基本事件件E的一个个可能结结果称为为E的一一个基本本事件，记为，e等。E的基本本事件全全体构成成的集，称为EE的样本本空间，记为SS或,即：S=|为E的的基本事事件，=ee.注意：的完备备性，互互斥性特特点。例：11.1中中试验EE- E7E：S=H,T E：SS= HHHH,HHHT,HHTH,THHH,HTT,THTT,TTTH,TTTT E：SS=00，1，2，33 E：SS=11,2,3,44,5,6 E: S=0,11,2,3,E：S=t E7：S=（二） 随机事事件 我们们把试验验E 的的全部

5、可可能结果果中某一一确定的的部分称称为随机机事件。记为 事件件是由基基本事件件组成的的，事件件是样本本空间的的子集。集合论集合 点 子集集概率论S AA在一次试试验中，事件AA 发生生的含义义是，当当且仅当当A 中中的某一一个基本本事件发发生。事事件A 发生也也称为事事件A 出现。 必然然事件：S 不可可能事件件：例1.(P4) 在EE2中事件件A1:”第一次次出现是是的H”,即：(三) 事件的的关系与与运算 设E 的S ，A ，B，123457。记。(常用的的关系） 补补充123 吸收收律 若，则特别注意意： 德莫莫根律（对偶公公式）推广：，。例2：PP6,在在例1中中.其它例子子：例3：设

6、甲甲中，乙中中，问问与各表示示什么事事件？是是否是相相等事件件？留为练习习例4：一一射手向向目标射射击3发发子弹，表示第第i次射击击打中目目标。试试用及其运算算表示下下列事件件：（1）“三发子子弹都打打中目标标”；（2）“三发子子弹都未未打中目目标”；（3）“三发子子弹至少少有一发发打中目目标”；（4）“三发子子弹恰好好有一发发打中目目标”；（5）“三发子子弹至多多有一发发打中目目标”.留为练习习1.33 概率率与频率率事件的频频率及其其稳定性性 设设某试验验的样本本空间为为，为E的一个个事件。把试验验E重复进进行了nn次，在在这n次试验验中，AA发生的的次数称称为A的频数数。称为为事件AA在

7、n次试验验中发生生的频率率，记作作:。频率的基基本性质质对任意事事件A，有；，；若是互不不相容的的，则，推论：对对任一事事件A，有。实践证明明：当试试验次数数n很大时时，事件件A的频率率几乎稳稳定地接接近一个个常数pp。频率率的这种种性质称称为频率率的稳定定性，它它是事件件本身所所固有的的。书上上p89页例例1，22.概率的频频率定义义定义1.1 在在一组不不变的条条件下，重复作作n次试验验，记mm是n次试验验中事件件A发生的的次数。当试验验次数nn很大时时，如果果频率稳稳定地在在某数值值p附近摆摆动，而而且一般般地说，随着试试验次数数的增加加，这种种摆动的的幅度越越来越小小，则称称数值pp为

8、事件件A在这一一组不变变的条件件下发生生的概率率，记作作p。补充：概概率的几几种度量量方法事件A的的概率，记为PP(A)，表示示该事件件发生的的可能性性大小，是事件件的一个个非负实实值函数数，满足足某种概概率进行行代数运运算的公公理。 对对概率PP(A)有几种种不同的的度量方方法：前面给出出了用频频率度量量概率的的方法，也称为为古典概概率度量量。还是是二种度度量方法法。几何概率率度量表示”在在区域中中随机取取一点，而该点点落在区区域g中中”这一事事件。例：这时，可可以是整整个园：测度为为面积；也可以以是整个个园周：测度为为长度。主观概率率度量对事件AA的信念念度称为为这一事事件的概概率P(A)

9、.主观概率率（信念念度）是是通过相相对似然然的概念念来运算算的。 例例如：见见朱手稿稿。现通过例例子说明明此方法法：例1：事事件A”明天下下午3点点深圳市市区有雨雨”，求P(AA): 即求AA的主观观概率；现有一大大转盘，标有红红色区域域，事件件B：”指针落落在红色色区域”。让你选择择A发生生还是BB发生的的可能性性大，为为了迫使使你选择择，有这这样的将将励机制制，。选择择对的话话，将110万元元。 红色区区域如果开始始时，红红色区域域充满整整个园，你当然然要选BB发生的的可能性性大，逐逐步调节节红色区区域的大大小，渐渐渐缩小小，。等到到选A或或B都一一样时停停止，这这时，可可以由BB的几何何

10、概率作作为A的的主观概概率。当你对选选A或BB谁发生生的可能能性大没没有偏好好时，。例2. 假如你你面临以以下两种种选择：1.如如果事件件A发生生，你将将得到少少量的报报酬R；否则没没有报酬酬。2.参加抽抽奖，你你赢得一一份小报报酬R的的概率为为P，但但是你输输或者说说你得不不到报酬酬的概率率为1-P。如果你对对1，22两种选选择没有有偏好，那么你你判断事事件A发发生的概概率为PP.(主主观)(二) 概率的的公理化化定义概率的公公理化定定义 定定义1.2 设试验验E的样本本空间为为S，如果果对每一一个事件件A都有一一个实数数与之对对应，且且满足下下面三条条公理：公理1（非负性性）：对对任一事事

11、件A，有；公理2（规范性性）：对对必然事事件S，有；公理3（完全可可加性）若可列列无穷多多个事件件互不相相容，则则，那么么称为事事件A的概率率。概率的性性质(1);(2)有有限可加加性: 若互不相相容，则则; (3)对事件件A,都有有;若,则;； 特别的的，对任任何事件件A，都都有;对任何两两个事件件A,BB，都有有;对任何nn个事件件,都有例10-112为第第一版上上的例子子。例10： A,B是E中二个个事件，已知，求 解解：例11：在某城城市的居居民中订订购报纸纸的情况况是：订订购A报的占占45%，订购购B报的占占35%；订购购C报的占占30%，同时时订购AA,B的的占100%，同同时订购

12、购A,CC的占8%，同时时订购BB,C的的占5%，同时时订购AA,B,C的占占3%。求求下列事事件的概概率（百百分率）（1）只订购购A报纸的的；（2）至少订订一种报报纸的。例12：在所有有的两位位数（即即从100至999）中，任取一个个数，求求这个数数能被22或者33整除的的概率。 1.44 等等可能概概型（古古典概型型）一、古典典概率1古典典概型与与计算公公式 E满满足： S中中基本事事件个数是是有限的的n ； 每个个基本事事件发生生是等可可能的.称E为古古典概型型。 E中中事件AA包含kk个基本本事件，则A发发生的概概率为PP(A). 2古典典概率的的基本性性质 设设E是古古典概型型，其样

13、样本空间间为，AA，A，A，A是EE中事件件：0P（AA）1 P（S）=1，PP（）=0 若AA，A，A是互互不相容容的事件件，则有有P； 推推论： P（AA）=11- PP（）。 P13，将一枚枚硬币掷掷三次，。P14-117 例27.照照书上讲讲。以下例44-9为第第一版上上的例子子：例4：EE中求任任取一球球的号码码为偶数数的概率率。解：设AA=所所取的球球的号码码为偶数数= 2，4，6 即A中基基本事件件数k=3，于是PP（A）=.例5：（1.110）在在一袋中中有100 个相相同的球球，分别别标有号号码。每每次任取取一个球球，记录录其号码码后放回回袋中，再任取取下一个个。这种种取法叫

14、叫做“有放回回抽取”。今有有放回抽抽取3个个球，求求这3个个球的号号码均为为偶数的的概率。例6：(1.111) 在一袋袋中有110 个个相同的的球，分分别标有有号码。每次任任取一个个球，记记录其号号码后不不放回袋袋中，再再任取下下一个。这种取取法叫做做“不放回回抽取”。今不不放回抽抽取3个个球，求求这3个个球的号号码均为为偶数的的概率。例7：盒盒中有aa个红球球，b个白球球（a2 , b1），每次从中中任取一一球，不不放回地地连取三三次，求求下列事事件的概概率：(1)“ 取出出的三个个球依次次为红，白，红红色球 ”A ；(2)“ 取出出的三个个球有两两个是红红色球 ”B . 例：(11.133

15、) 在在一袋中中有100 个相相同的球球，分别别标有号号码。今今任取两两个球，求取得得的第一一个球号号码为奇奇数，第第二个球球号码为为偶数的的概率。 例88：（1.14）设一批批同类型型的产品品共有件件，其中中次品有有件。今今从中任任取（假假定）件件，求次次品恰有有件的概概率 例例9：一一箱内装装有同类类产品六六件（其其中4件件是正品品，二件件是次品品）。从从中每次次取一件件，连取取两次。求下列列事件的的概率：（1）“ 取到到的两件件产品的的质量是是相同的的 ”A ；（2）“取到的的两件产产品至少少有一件件是正品品”B .1.55条件概概率条件概率率例1 将一枚枚硬币抛抛掷两次次，观察察其出现

16、现正反面面的情况况，设事事件A为为”到少有有一次为为H”， 事事件B为为”两次掷掷出同一一面”。现在在来求已已知事件件A已经经发生的的条件下下事件BB发生的的概率。解：样本本空间为为S=HH,HT,TH,TT,A=HHH,HHT,TTH, B=HHH,TTT于是在AA发生的的条件下下B发生生的概率率（记为为P(BB/A)）为：P(B/A)=1/33注意到：易知：定义：设设A,BB为E中的二二个事件件，且，则在事事件A已发生生的条件件下，事事件B发生的的条件概概率定义义为：.同样若若，则。性质（定定理）如果,则则是概率率.计算方法法法一：公公式计算算法;法二：直直接计算算法.不难验证证，条件件概

17、率PP(/A)符合概概率定义义中的三三个条件件：1.非负负性2.完全全性3.可加加性P19例2 PP19，。下面的例例11-133为第一一版。例11：甲乙二二厂同生生产一种种零件，分放在在二个箱箱内，它它们产品品的情况况如下： 正正品 次品品 小计计 甲厂厂 55020 770 乙厂厂 225 55 330 小计计 775 225 1000从中任取取一件产产品，求求下列事事件的概概率：（1）“取得的的一件产产品是甲甲厂产品品”=A;(2)“取得的的一件产产品是次次品”=B;(3)“取得的的一件产产品是甲甲厂生产产的次品品”;(4)已已知取得得的一件件产品是是甲厂生生产的，求它是是次品的的概率。

18、例12：在标号号依此为为的155个同类类球中，任取取一球。易算出出下列事事件的概概率和条条件概率率。(1)取取得“标号为为偶数”（事件件A）的的概率；(2)取取得“标号小小于6”（事件件B）的的概率；(3)取取得“标号既既为偶数数，又小小于6”（事件件AB）的概率率；(4)若若已知“所取球球的标号号小于66”（即在在B已发发生的条条件下），则“球的标标号为偶偶数”（即AA再发生生）的概概率。例13：(书例例1220) 设有1100件件同类型型的产品品，其中中80件件一等品品，155件二等等品，55件次品品。从中中任取一一件，已已知“取得的的是非次次品”（事件件B），求“它是一一等品”（事件件A

19、）的的概率。(二)概概率的乘乘法公式式定义： 设两个个事件,且，由条条件概率率公式得得,若,有称为概概率的乘乘法公式式（定理理）.例3，44，P221-222;例1416为为第一版版：例14： (书书例121) 10件件同类型型产品，其中88件正品品，2件件次品。今不放放回抽取取两次，每次取取一件，求“两件均均为正品品”（事件件A）的概概率。推广：对对n个事件件，且,则有。例15：(书例例1. 22) 一城市市位于甲甲，乙两两河的汇汇合处，当两河河流至少少有一泛泛滥时，该市就就会被淹淹，已知知在指定定的时间间内，甲甲,乙两河河泛滥的的概率均均为0.01，又当甲甲河泛滥滥时引起起乙河泛泛滥的概概

20、率为00.5。求在指指定的时时间内该该市被淹淹的概率率。例： 已知，且，。求：； 。例16：十个人人抓一张张电影票票，问每每个人抓抓到电影影票的概概率与抽抽签的次次序是否否有关？条件概率率与有如下下的一般般关系(三)全全概率公公式例17（第一版版）：口口袋中有有16个个球，其其中白球球10个个，红球球6个。每次取取一球，取后不不放回，连取两两次。求求下列事事件的概概率：(1)“第一次次,第二次次取的都都是白球球”;(2)“第二次次才取到到白球”;(3)“第二次次取到白白球”.思考：三三个事件件有什么么不同？第(3)个事件件有何特特点？难难点在哪哪？怎么么解决问问题？定理1.1（全全概率公公式）

21、若事件组组满足：(1) 互不相相容且, (22);则对任何何事件AA,均有有。 （1.19）称满足(1)、(2)的事件件组为完完备事件件组。(1.119)式式称为全全概率公公式。重点在于于:什么情情况下用用全概率率公式，如何用用全概率率公式解解决实际际问题。关键是是找出且且找出发发生的“种可能能原因”或“可能的的前提条条件”或“情况”将其视视为。例18(第一版版)：（书例11233） 市市场出售售的灯泡泡，甲厂厂占800%（其其中合格格率为995%），乙厂厂占200%（其其中合格格率为990%）。任买买一灯泡泡，求它它是合格格品的概概率。例19(第一版版)：甲甲、乙、丙三厂厂生产一一批同类类产

22、品。甲厂产产量是乙乙厂、丙丙厂产量量之和，而乙厂厂产量是是丙厂产产量的二二倍。又又知甲、乙、丙丙三厂产产品的正正品率分分别为00.900,0.96,0.884。求从该批批产品中中任取一一件是正正品的概概率；已知取得得的一件件是正品品，问它它是哪个个厂产品品的可能能性最大大（概率率）？(四) 贝叶斯斯公式定理1.2 若是一一完备事事件组，则对任任意的事事件，均均有。此式称为为贝叶斯斯公式。例6，77，P224页。例20(第一版版)：（书例11266） 某某厂产品品96%是（真真）合格格品。有有一验收收方法，把（真真）合格格品判为为“合格品品”的概率率为0.98，把非合合格品判判为“合格品品”的概

23、率率为0.05。求此验验收方法法判为“合格品品”的一产产品为（真）合合格品的的概率。例21(第一版版)：袋袋中有nn个球，其中白白球数未未知，假假设有ii个白球球的可能能性对所所有的ii=0,1,n都都相等。现从袋袋中任取取一球，求在取取得的球球是白球球的条件件下，袋袋中原来来有i个白球球的概率率？(ii=0,1,n)1.66 事事件的独独立性.伯努利利概型一.事件件的独立立性1.两个个事件AA,B的的独立性性定义1.3 对任意意的事件件A,BB,若,则称事事件A,B是相相互独立立的。性质1: 若若A与B独立,则与B,AA与,与相互独独立。2.推广广定义1.4 对任意意三个事事件A,B,CC，

24、若则称事件件A,BB,C相相互独立立，简称称A,BB,C独独立。一般的，对任意意n个事件件，若，；，；。则称事件件相互独独立，简简称独立立。性质2：若相互互独立，则。例22（第一版版）：(书例11277) 甲甲，乙，丙三人人同时独独立向同同一目标标射击，他们射射中目标标的概率率分别为为0.44,0.5,00.7。求至少有一一人射中中目标的的概率；恰有一人人射中目目标的概概率。例23（第一版版）： 袋中装装有编号号为的n个球，有放回回地抽rr次，求求：(1)11号球不不被抽到到的概率率；(2)11号球和和2号球均均被抽到到的概率率。二伯努努利概型型若试验EE只有两两个可能能结果AA和,且,则称E为伯努努利概型型。称A为“成功”,为“失败”。n重伯努努利试验验将伯努利利试验EE，在相相同条件件下，独独立地重重复进行行n次，作作为一个个试验，则这个个试验为为n重伯努努利概型型。记为为En。注意两点点：相同同条件下下，即每每次相同。各次试验验结果是是独立的的。3. 定理11.3设E为伯伯努利试试验，且且，则在nn重伯努努利概型型中，事事件A恰好发发生次的的概率为为：，。例2-3PP2728.第一章作作业：设计一随随机试验验E，给给该试验验的样本本空间SS，基本本事件，并给给出一至至二个事事件。习题1,2,117,118,220,226