冀教版九年级上册数学课件（第25章 图形的相似）

1、第二十五章 图形的相似25.1 比例线段1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升两条线段的比成比例线段比例的性质黄金分割为了研究相似图形，我们先来探究成比例线段的有关概念及性质.1知识点两条线段的比观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？知1导两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究线段的比. 归 纳知1导如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记作abm n，或例如，如果 a2 cm，b3 cm，那么，a b23. 知1讲 1.线段的比没有单位；2.线段的比是一个正

2、数；3.线段的比与所采用的长度单位无关；4.线段的比必须是在同一长度单位下进行的知1讲 若a0.2 m，b8 cm，则a b_.例1 导引：a0.2 m20 cm，ab20852.52总 结知1讲求线段的比时，两条线段的长度单位应该统一 知1练 1在比例尺为1 5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地间的实际距离是()A1 250 km B125 kmC12.5 kmD1.25 km知1练 2正方形的对角线的长与它的边长之比是()A21B12C1D 13已知线段AB20 cm，AC10 dm，则ABAC_2知识点成比例线段知2导观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长

3、方形的大小不同但形状相同？理由是什么？两个长方形的形状是否相同，与它们的长、宽比是否相等有关.为此，需要研究成比例线段. 知2讲 1.定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段此时也称这四条线段成比例2.要点精析：定义中四条线段a，b，c，d是有先后顺序的3.易错提示：计算线段的比时切记不要忽略统一单位知2讲下列各组线段中，能成比例线段的是( )A1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B30 cm，12 cm，0.8 cm，0.2 cmC0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D12 cm，16 cm，4

4、5 cm，60 cm例2 D 知2讲导引：从比例线段的概念入手.作为选择题，可逐个排查.为了能迅速找到比例关系，可首先对数据按大小排序，以减少试验的次数.A中的 它们不成比例；B中的 它们不成比例；C中的 它们不成比例；D中的 它们成比例.故选D. 知2讲方法技巧：如果说四条线段a、b、c、d是成比例线段，则这四条线段的顺序就确定了，也就是说，只能写成 这一种形式，而不能写成其它的形式.总 结知2讲判断线段是否成比例，其基本方法是先排序，后求比值，再看比值是否相等.知2练1下列四组不同长度的线段中，不是成比例线段的一组是()A1 cm，2 cm，3 cm，6 cmB2 cm，3 cm，4 cm

5、，6 cmC1 cm, D1 cm，2 cm，3 cm，5 cm 知2练2下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是()A1，2，3，4 B1，2，2，4C3，5，9，13 D1，2，2，3 知2练3四条线段a，b，c，d成比例，其中a3 cm，d4 cm，c6 cm，则b等于()A8 cm B. cm C. cm D2 cm 3知识点比例的性质知3导如果线段a，b ，c，d成比例，那么ad和bc相等吗? 为什么?反之，如果线段a，b ，c，d满足adbc,那么这四条线段成比例吗? 为什么? 归 纳知3导 比例的基本性质 即b2ac，就把b叫做a，c的比例中项.知3讲问题 我们知道，由 可

6、以得到 类似地，如果 你认为 会有怎样的结果? 请说明理由. 知3讲事实上，若设 则有akb，ckd，mkn.所以acmkbkdknk(bdn).因为bdn0，所以即 知3讲若5x4y0，则例3 从比例线段的性质入手. 根据比例的基本性质把5x4y0变形为： 然后利用合比性质变形即得.也可使用“设参数”的方式，代入后约分即可.分析：知3讲5x4y0，令x4k，y5k，则解：总 结知3讲 当有连等式时常用设参数的方法，实际上，当出现比例时，设参数也是非常奏效的方法.知3练1若 ，则 等于()A.B.C.D. 2【中考东营】若 的值为()A1B.C.D.知3练 知3练3如果 的值是()A.B.C.

7、D. 4知识点黄金分割知4导如图，已知线段ABa，点C在AB上. 当 时，线段AC的长是多少?在上述问题中，设ACx，建立关于x的方程x2ax a20，可解得x 取其正根，得CBA知4讲1.在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点， 称为黄金比其比值是 近似值是0.618.2.每条线段上的黄金分割点都有两个 知4讲已知线段AB6 cm，点P为线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为_例4 一条线段有两个黄金分割点，要分两种情况计算当APPB时， AB6cm，AP 当APPB时，PB APABPB(93 )cm.

8、错误答案：错解分析：总 结知4讲本题运用了分类讨论思想，分AP是较短线段和较长线段两种情况计算 知4练1如图，AB2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2BDAB，求 的值 知4练2如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且ACBC，下列说法错误的是()A如果 那么线段AB被点C黄金分割B如果AC2ABBC，那么线段AB被点C黄金分割C如果线段AB被点C黄金分割，则线段AC与AB的比叫做黄金比D如果线段AB被点C黄金分割，则 0.618 判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1，判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2

9、，判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段可简记为“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段)”1.比例的基本性质：如果 那么adbc.比例的基本性质反过来也成立，即：如果adbc，那么 (b，d0)，也可推得 (c，d0)2.比例中项：如果 即b2ac，我们就把b叫做a，c的比例中项3.比例还有以下常用性质：(1)合比性质：如果 那么(2)分比性质：如果 那么 第二十五章 图形的相似25.2 平行线分线段成比例第1课时 算平行线分线段成比例的基本事实及推论1课堂讲解2课时流程逐点

10、导讲练课堂小结作业提升平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实推论1平行线分线段成比例的基本事实推论21.什么是线段的比?2.什么是成比例线段?3.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分， 使得这两部分的比是2 3?1知识点平行线分线段成比例的基本事实问 题1.在下图中，所有已知条件如前所述，结合下列条件回答： 线段AB，BC之间具有什么关系? 等于多少? 相等吗? 请说明理由.(1)在图(1)中，d11，d22.(2)在图(2)中，d12，d23.知1导知1导 2.猜想：在图25-2-1中， 相等吗?事实上，经过观察、测量、验证等过程，我们发现：一条直线被三条平行线所截得的两

11、条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比.归 纳知1导基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 知1讲 1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例数学表达式：如图，l3l4l5，可简记为：知1讲 要点精析：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等2.易错警示：当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线知1讲 如图，已知ABCDEF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是()A.B.C.D.

12、例1 C知1讲 导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断根据ABCDEF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解 ABCDEF， 故选项A，B， D正确CDEF， 故选项C错误. 总 结知1讲在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例 知1练1如图，直线l1l2l3，若AB2，BC3，DE=1，则EF的值为()ABC6DACBDEFl3l1l2知1练 2 【中考杭州】如图，已知直线abc，直线m交直线a，b，

13、c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若 等于()A.B.C.D1知1练 3 【中考舟山】如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG2，GB1，BC5，则 的值为() A. B2C. D2知识点平行线分线段成比例的基本事实推论1知2导已知：如图25-2-3，直线EF平行于ABC的边BC，与BA，CA(或它们的延长线)分别相交于点E，F.求证： 知2导事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)，过点A作PQEF，那么PQ/EF/BC.依据平行线分线段成比例的

14、基本事实，即得 知2导 因为 所以对于图25-2-3(2)的情形，如图25-2-4(2)，同理可得归 纳知2导平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 知2讲 1.数学表达式：如图，DEBC， 2.要点精析：(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段知2讲已知：如图，在ABC中，EFBC，EF与两边AB，AC分别相交于点E，F.求证： 例2 知2讲证明：EFBC,如图，过点 E作EGAC，EG与边BC相交于点G，则EFBC，EGAC，四边形EGC

15、F为平行四边形，从而GCEF. 总 结知2讲利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段长时，关键要扣住由平行线截得的线段间的对应关系，相同位置的线段写在相同的位置上 知2练1如图，已知ABEFCD，若AB6cm，CD9cm，BF7cm.则BC_ 知2练2 【中考兰州】如图，在ABC中，DEBC，若 等于()A. B.C. D. 知2练3如图，已知ABCD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是()AOCODOA OBBOC ODOB OACOC ACOD DBDBD ACOD OC 3知识点平行线分线段成比例的基本事实推论2知3导平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三

16、角形与原三角形的对应边成比例 知3讲如图，在ABC中，EFBC， BC9，则 和EF分别是()A. ，3B. ，6C. ，9D无法确定例3 A知3讲因为EFBC，所以 BC9，所以 所以EF3. 答案：A分析： 总 结知3讲本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段成比例基本事实的推论建立有关线段的比例式，通过比例式把线段的长代入，通过解方程求出线段的长 知3练1 【中考雅安】如图，在 ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE BE4 3，且BF2，则DF_. 2如图所示，在 ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF CF等于()A1 2B1 3C2 3D2 5知3练

17、 平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例利用平行线得线段成比例的基本思路：(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式；(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线第二十五章 图形的相似第2课时 平行线分线段 成比例的应用习题课名师点金利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思

18、想，用等线段、等比例、等积替换进行论证1类型 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式如图，已知在ABC中，点D， E，F分别是边AB，AC，BC上 的点，DEBC，EFAB， (1)求证： (2)ADDB35，求CFCB的值DEBC，EFAB，四边形DEFB为平行四边形DEBF.DEBC， EFAB，又DEBF， (1)证明：ADDB35，BDAB58.DEBC，CEACBDAB58.EFAB，CFCBCEAC58.(2)解：技巧2 等积代换法证比例式如图，在ABC中，D是AB上一点，E是ABC内一点，DEBC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证：证明：DEB

19、C，PDPCPEPB. DFAC， PDPCPFPA.PEPBPFPA. 证明：EFCD， DEBC. 技巧3 等比代换法证比例中项如图，在ABC中，DEBC，EFCD. 求证：技巧4 平行法证比例式4如图，已知B，C，E三点在同一条直线上， ABC与DCE都是等边三角形其中线段BD 交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF. 求证：(1)ACEBCD； (2)(1)ABC与DCE都是等边三角形， ACBC，CECD， ACBDCE60. ACBACDDCEACD， 即ACEBCD. ACEBCD(SAS)证明：(2)ACEBCD， BDCAEC. 又GCD180ACBDCE 60FCE，

20、CDCE， GCDFCE(ASA) CGCF. CFG为等边三角形 CGFACB60. GFCE. 2类型证线段相等技巧5 等比例过渡法证线段相等(等比例过渡法)5. 如图，在ABC中，ACB90，BA， 点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E， CFBA交DE的延长线于点F. 求证：DEEF.证明：DEBC，点D为AB的中点，ADDB，即CFBA，DEEF.3类型证比例和为1技巧6 同分母的中间比代换法6. 如图，已知ACFEBD，求证：ACEF， .又FEBD， . ，得即证明：第二十五章 图形的相似25.3 相似三角形1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形平行线判定三

21、角形相似相似三角形性质的应用对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形相仿地，我们来学习相似三角形的有关知识1知识点相似三角形 这两个三角形的形状相同，所以它们是相似三角形.知1导BCABCA归 纳知1导对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(similar triangles)相似三角形对应边的比叫做它们的相似比(similar ratio) . 知1导 如图，在ABC和ABC中，AA，BB，CC， 即ABC与 ABC相似. ABC与 ABC的相似比为k.ABC与ABC相似记作“ABCABC”，读作“ABC相似于ABC”.知1讲 1.要点精析：(1)若两个三角形相似，则三个

22、角分别相等，三条边成比例；(2)相似三角形具有传递性：即若ABCABC，ABCABC，则ABCABC；(3)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形是相似比为1的相似三角形知1讲 2.易错警示：(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点的字母写在对应位置上(2)顺序性：求两相似三角形的相似比时，要注意顺序性若当ABCABC时， 则ABCABC时，知1讲 如图，AEFABC.(1)若AE3，AB5，EF2.4，求BC的长.(2)求证：EFBC.(1)AEFABC， 又AE3，AB5，EF2.4，例1 解：知1讲(2)AEFABC，AEFB.BFBC. 总 结知1讲

23、根据相似三角形的定义进行判断，即证出三个角分别相等，三条边成比例即可 知1练1如图，已知点D，E分别在ABC的边AC，AB上，ADEABC，AD6，DC2，AE4，EB8，则ABC与ADE的相似比是_，ADE与ABC的相似比是_ 知1练 2如图，ABCAED，ADE80，A60，则C等于()A40B60C80D100知1练 3如图，ABCDEF，相似比为12.若BC1，则EF的长是()A1B2C3D42知识点平行线判定三角形相似知2导思考如图，在ABC中，DEBC，且DE分别交AB，AC于点D，E，ADE与ABC有什么关系？知2讲我们知道，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的

24、三角形与原三角形的对应边成比例.进而可知，这样截得的三角形与原三角形相似.已知：如图, EFBC，与AB，AC(或它们的延长线)相交于点E， F.求证：AEFABC.知2导 证明：如图(1)，在AEF和ABC中，EFBC，AEFB，AFEC，且又AA，AEFABC.同理可证其他情况.归 纳知2导平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似. 知2讲如图，在ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，连接AC，则图中与DEF相似的三角形共有()A1个B2个C3个D4个例2 B知2讲 证明：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD

25、BC，DEAB.于是可从图中找出符合“A”型相似的DEF与CEB，符合“X”型相似的DEF与ABF.故选B. 总 结知2讲利用平行线寻找相似三角形的方法：在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，也是今后解本类题目的首要之选 知2练1如图，四边形ABCD的边AB，CD都平行于EF，BD交EF于点G，CG的延长线交AD于点H，则图中相似三角形有_对 知2练2 【中考河南】如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：BC2DE；ADEABC；其中正确的有()A3个B2个C1个D0个

26、 知2练3如图，已知ABCDEF，则图中相似三角形有()A0对B3对C2对D1对 3知识点相似三角形性质的应用知3导如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直接测量的距离，小明做了ABC，取池塘的两个点D，E，使DEBC，测出BC，AD，AB的长就可以算出DE的长，你知道为什么吗？原来由DEBC可以得到ABCADE，所以ADABDEBC归 纳知3导通过建立相似三角形数学模型 可以解决实际问题知3讲【中考宁德】如图，在 ABCD中，AEEB，AF2，则FC_例3 4知3讲 导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，就有对应边的比相等，就能求出FC的长在 ABCD中，ABCD，ABCD，

27、AEFCDF.AEEB，FC2AF4总 结知3讲求线段的长的方法：对于三角形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常考虑通过找三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长 知3练1 【中考株洲】如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB1，CD3，那么EF的长是()A. B.C. D. 2如图，ABCD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是()A. B.C. D.知3练 3【中考毕节

28、】如图，在ABC中，DEBC，AE EC2 3，DE4，则BC等于()A10B8C9D6知3练 1.相似三角形的定义具有两种功能：判定和性质，即对应边成比例、对应角相等两个三角形相似，注意相似比具有顺序性2.平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似数学表达式：如图，DEBC，ABCADE.知3讲要点精析：根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BCDE，图(1)(2)很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图(3)很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”)3.作用：本定理是相似三角形判定定理的预备

29、定理：它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例.第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定第1课时 用角的关系判定两三角形相似1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形的判定定理 1相似三角形的判定定理的应用三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似. 能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?1知识点相似三角形的判定定理 11.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗? 说说理由.2.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗? 说说理由.3.如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？知1导知1导问 题 如图，已知，(1)分别以，为两个内角，任意

30、画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长，并计算出相应的比.这两个三角形相似吗？ 我们发现：有两个角对应相等的两个三角形相似.知1导 已知：如图，在ABC和ABC中，AA，B B.求证：ABC ABC.知1导证明：如图，在ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上，分别截取ADAB，AEAC ，连接DE.AA ，ADEABC.ADEB，AEDC，DEBC，又BB，ADEB，DEBC.ADEABC. 知1导 ADEABC.又AA，BB ，CC . ABCABC.若ABC ABC，ABCABC，则ABCABC.归 纳知1导两角对应相等的两个三角形相似. 知1讲 已知：如图，在ABC中，点D

31、，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC.求证：ADEDBF.例1 证明： DEBC. ADEB. 又DEAC，ABDF. ADEDBF.总 结知1讲当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等 知1练1顶角相等的两个等腰三角形相似吗? 有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似吗? 请说出你的理由.2如图，已知三个三角形，相似的是()A和 B和C和 D和和 知1练 3如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，则图中的相似三角形共有()A1对B2对C3对

32、D0对2知识点相似三角形的判定定理的应用知2讲 如图，在ABC中，BAC90，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F.求证：DA2DEDF.例2 导引：如果把等积式 DA2DEDF转化为比例式 可以看出这四条线段分别是ADE与ADF中的线段，若能证明ADEFDA，则能得到所要证明的结论知2讲 证明：在ABC中，BAC90，D为BC的中点，AD BCDB，BDAB.DFBC于D，CF90.BC90，BF.DABF.又ADEFDA，ADEFDA，DA2DEDF.总 结知2讲用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方法：把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后

33、通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式 知2练1已知：如图，在RtABC中，C90，E为边AC上一点，EDAB，垂足为D.求证：AEDABC. 知2练2如图所示，在ABC中，D为AC边上一点，DBCA，BC ，AC3，则CD的长为()A1B.C2D. 知2练3如图所示，在RtABC和RtADE中，DAEABC90，ABAD，E为AB的中点，ACDE于点O，则 等于()A. B.C. D. “三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出比例式

34、或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定第2课时 用边角关系判定两三角形相似1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形的判定定理 2相似三角形的判定定理的应用今天是格格的生日，妈妈给她买了一块三角形蛋糕，格格看到蛋糕兴奋不已，但是妈妈提出来一个要求：把蛋糕切成两份，其中一份和原蛋糕一定要相似格格知道妈妈想要培养自己运用

35、数学知识的能力，思索了一会儿，就按妈妈的要求切好了蛋糕你能按要求切好这份蛋糕吗？1知识点相似三角形的判定定理 2利用刻度尺和量角器画ABC与A1B1C1，使AA1， 都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗? 另外两组对应角B与B1，C与C1是否相等? 知1导知1导学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角BB1，CC1.延伸问题：改变A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论? (利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断.)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形

36、相似。归 纳知1导两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 知1讲 已知：在ABC与ABC中，AA60， AB4 cm，AC8 cm，AB11 cm，AC22 cm. 求证：ABCABC.例1 证明： 又 AA60，ABCABC.总 结知1讲利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似 知1练1根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由:(1) A36，AB2. 5 cm， AC 7.5 cm； A 36， AB

37、3 cm，AC 9 cm.(2) AC2AC， BC2BC. 知1练 2下列各组条件中，一定能推得ABC与EFD相似的是()AAE且DFBAB且DFCAE且DAE且知1练 3 【中考河北】如图，在ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()2知识点相似三角形的判定定理的应用知2讲 如图，在ABC中，AB16，AC8，在AC上取一点D，使AD3，如果在AB上取点E，使ADE和ABC相似，求AE的长例2 导引：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹这对角的两边对应成比例但两边的对应关系无法确定，所以应分两种情况考虑知2讲 证明：设AE的

38、长为x.A是公共角，要使ADE和ABC相似，则有即 解得x6或x1.5.所以AE的长为6或1.5.总 结知2讲要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，则需夹这对角的两边对应成比例当无法确定对应关系时，则夹这对角的两边的比就有两种情况的可能，因此必须进行分类讨论；否则就会因漏解而致错 知2练1已知：如图，在ABC和EDC中，AE2，EC6，BD3，DC9.求证：ABCEDC. 知2练2如图，已知 ，AD3cm，AC6cm，BC8cm，则DE的长为_ 知2练3 【中考黄冈】如图，已知ABC，DCE，FEG，HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB2，BC1，连接

39、AI，交FG于点Q，则QI_ 1.要识别两个三角形相似，要找到这两个三角形有两边成比例，再找到上述两边的夹角相等，即可判定这两个三角形相似 2.当题目中告诉两个三角形某些边的长度，又有对顶角或公共角或告诉了某个角的度数时，我们要首先考虑这个判定方法第二十五章 图形的相似25.4 相似三角形的判定第3课时 用三边比例关系判定两三角形相似1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升三边成比例的两个三角形相似网格上相似三角形的判定直角三角形相似的条件判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?1知识点三边成比例的两个三角形相似(1)如图，在半透明纸上画

40、一个ABC，使AB1.5cm，AC2. 5 cm，BC2 cm.再画一个ABC使AB3 cm， AC5 cm， BC4 cm.知1导知1导(2)比较ABC与ABC各个角，它们对应相等吗?这两个三角形相似吗? 把你的结果与同学交流.我们猜想：三边对应成比例的两个三角形相似. 知1导已知：如图 ，在ABC与ABC中， 求证： ABCABC.知1导证明：如图，在ABC的边AB上截取AEAB，过点E作EFBC，交AC于点F，则ABCAEF，在 ABC和AEF中，知1导 又AFAC，EFBC，AEF ABC.ABCABC.归 纳知1导三条边对应成比例的两个三角形相似. 知1讲在ABC与ABC中，AB6，

41、BC8，AC10，AB9，BC12， AC 15，试问ABC与ABC相似吗? 为什么?例1 分析：先根据边的大小求出三边的比，确定三边是否成比例，从而判断ABC与ABC是否相似. 知道两三角形三边，只要求出“短短”“中中”“长长”，没有必要逐一尝试.知1讲解： ABCABC.总 结知1讲这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应关系是“短短”“中中”“长长”.知1练1已知ABC的三边AB 5 cm，AC10 cm，BC 12 cm， ABC的三边AB3 cm， AC 6 cm， BC 7.2 cm.

42、判断ABC与ABC是否相似. 知1练2已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，DEF的一边长为4cm，当DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似()A2cm，3cmB4cm，5cmC5cm，6cmD6cm，7cm 知1练 3一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是()A19B17C24D212知识点网格上相似三角形的判定知2讲 【中考衢州】下图中小正方形的边长均为1，则图22中的哪一个三角形(阴影部分)与图21中的ABC相似？例2 导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是

43、否相等来判断哪两个三角形相似2221知2讲 解：易知图 (1)中，三角形的三边长分别为图 (2)中，三角形的三边长分别为 图 (3)中，三角形的三边长分别为 图 (4)中，三角形的三边长分别为 图 (2)中的三角形与ABC相似总 结知2讲利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比。最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等.知2练1如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使PQRABC，则点R应是甲，乙，

44、丙，丁四点中的()A甲B乙C丙D丁 3知识点直角三角形相似的条件知3导思考我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和另一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?事实上，这两个直角三角形相似下面我们给出证明知3讲 如图，在RtABC与RtABC中，C90， C90， 求证： RtABCRtABC 要证RtABCRtABC ，可设法证 则只需证分析：知3讲证明： RtABCRtABC 总 结知3讲直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 知3讲已知：如图，在RtABC与RtABC中，B B90， 求证： RtABCRtABC 例3 RtABCRtABC 知3讲证明： 总

45、结知3讲判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例 知3练1如图，在ABC与ACD中，ACBADC90，AC ，AD2.当AB的长为多少时，ABC与ACD相似？ 知3练2在RtABC和RtDEF中，已知AB2，BC4，DE3，EF6，如果RtABC和RtDEF相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是()AAD90BBE90CDAE90 1.学习时采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.2.利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”：(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；(

46、2)计算：分别计算它们对应边的比值；(3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升相似三角形对应线段的比相似三角形周长的比相似三角形面积的比某社区拟筹资金 2000 元，在一块上、下底分别是 10米， 20米的梯形空地上种植花木，他们想在AMD 和 BMC地带种植单价为 10 元/平方米的太阳花，当 AMD 地带种满花后，已花了500元，请预算一下，若继续在 BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用?MADBC20米1知识点相似三角形对应线段的比知1讲问题如图，ABC ABC，相似比为k，AD

47、与AD，AE与AE分别为BC，BC边上的高和中线，AF与AF分别为BAC和BAC的平分线.(1) AD和AD的比与相似比之间有怎样的关系?请说明理由.知1讲 (2)AE和AE的比、AF和AF的比分别与相似比有怎样的关系? 请说明理由.事实上，两个相似三角形的对应高、对应中线和对应角平分线的比都等于它们的相似比.下面，我们证明相似三角形对应高的比等于它们的相似比.知1讲 已知：如图，ABCABC，相似比为k，AD、AD分别为BC，BC边上的高.求证：知1讲 ABCABCBB. 又ADBC， ADBC，ADBADB90.ABDABD.证明：知1讲 探究1.已知：如图，ABCABC，相似比为k，AE

48、， AE分别为BC，BC边上的中线.求证：2.已知：如图，ABCABC，相似比为k，AF， AF分别为BAC，BAC的平分线. 求证：总 结知1讲相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比. 知1讲 如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，EFBC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G， AD15，求AG的长.EFBC，AEFABC.ADBC， ADEF.又 AD15， AG9.例1 解：总 结知1讲本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键 知1练1 已知ABCABC ，相似比为23

49、.(1)如果AD，AD分别为这两个三角形的对应高，且AD9 cm，求AD的长.(2)如果AE，AE分别为这两个三角形的对应中线，且AE 10 cm，求AE的长.(3)如果AF，AF分别为这两个三角形的对应角平分线，求 的值. 知1练 2 【中考 兰州】已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为 ，则ABC与DEF对应中线的比为()A.B.C.D.知1练 3如图，已知ADEABC，相似比为25，则AFAG为()A25B52C51D152知识点相似三角形周长的比知2讲问题某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削

50、去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米. 现在的问题是：它的周长是多少？知2讲将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DEBC，AB30m，BD18m，ABC的周长为80m，求ADE的周长.DEBC，ADEB，AEDC，ADEABC， 由比例的性质可 解：知2讲又ADE 的周长ADAEDE，ABC的周长ABACBC，ADE 的周长32米.总 结知2讲相似三角形周长的比等于相似比. 知2讲如图，在RtABC中，ACB90，A30，CDAB于点D，则BCD与ABC的周长之比为()A12B13C14D15例2 A知2讲 导引：在RtABC中，AB90；在Rt

51、BCD中，BCDB90，所以BCDA.又因为BB，所以BCDBAC.在RtABC中，A30，所以 则BCD与ABC的周长比等于相似比总 结知2讲相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如果是相似图形求周长就常用到周长比等于相似比.知2练1如图，ABC和EBD中，ABC与EBD的周长之差为10cm，求ABC的周长 知2练2 【中考重庆】ABC与DEF的相似比为14，则ABC与DEF的周长比为()A12B13C14D116 知2练3已知ABCDEF，相似比为31，且ABC的周长为18，则DEF的周长为()A2B3C6D54 3知识点相似三角形面积的比知3讲问题相似三角形面积的比，与它们的相似比之间有

52、什么关系呢？ 知3讲如图，ABCABC，相似比为k，AD、AD分别为BC，BC边上的高. (1)ABC的面积和ABC的面积的比与他们的相似比有什么关系? 请说明理由. 知3讲因为所以即ABC与ABC的面积之比等于相似比的平方. 总 结知3讲相似三角形面积的比等于相似比的平方. 知3讲如图，在ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点. 求：(1)DEF的周长与ABC的周长之比.(2)DEF的面积与ABC的面积之比.例3 知3讲 解：D，E，F分别为BC，AC，AB的中点， DEAB, EFBC，DFAC,DEFABC.DEF的周长与ABC的周长之比为12，DEF的面积与ABC的面积之比

53、为14.总 结知3讲利用相似比求周长和面积时，先确定两个三角形相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题.警示： 不要误认为面积的比等于相似比.知3练1 两个相似三角形的相似比为15,则(1)这两个相似三角形周长的比为_.(2)这两个相似三角形面积的比为_.2ABCABC，其相似比为34，ABC的周长为24 cm.求ABC的周长. 3 【中考临夏州】如果两个相似三角形的面积比是14，那么它们的周长比是()A116B14C16D12知3练 4 【中考云南】如图，D是ABC的边BC上一点，AB4，AD2，DACB，如果ABD的面积为15，那么

54、ACD的面积为()A15B10C.D5知3练 课堂总结知识方法要点关键总结注意事项相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比的性质相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；注意相似比是有顺序的相似三角形的周长和面积比的性质相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方不要误认为面积比等于相似比，更不要根据面积求相似比时，不开方反而平方方法规律总结当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；相

55、似多边形也有周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质，以后也可以直接利用 第二十五章 图形的相似25.6 相似三角形的应用1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升利用光照下的影子利用工具利用镜子反射埃及金字塔到底有多高? 据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道他是怎样测量的吗? 今天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧！1知识点利用光照下的影子知1导对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度结合下面图形大家思考如何求出高度？知1导 利用阳光下的影

56、子测高：(1)构造相似三角形，如图，(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE(旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)(3)计算理由：因为ACDB(平行光)，所以ACBDBE.因为ABCDEB90(直立即为垂直)，所以ABCDEB，有知1讲 1.测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决常见的测量方式有四种，如图所示知1讲 2.要点精析：(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化因此，测量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光线近似地看成平行光线(3)此

57、方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高知1讲如何测量旗杆的高度，说明具体过程及原理具体过程：(1)依据同一时刻，物体的高度与其影长成比例(2)测量如图，让一名身高为h的同学恰好站在旗杆的影子的顶端，然后测量该同学的影长l1，同时测量旗杆的影长l2.例1 解：知1讲 (3)计算太阳光线是平行光线，ABCD，ABCDCE.ACBDEC90，ACBDEC， ACh，BCl1，ECl2，总 结知1讲利用影长测量不能直接测量的物高(可到底部)的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然

58、后通过测量物影、人高、人影来计算出物高 知1练1 【中考陕西】小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相等，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m(点A，E，C在同一条直线上)已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1m) 知1练 2如图，身高为1.6m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测

59、得AC2.0m，BC8.0m，则旗杆的高度是()A6.4mB7.0mC8.0mD9.0m2知识点利用工具知2导问题小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如下图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少?知2导过点C作CEAB于点E，因此BECD1.2m，CEBD2.7 m，由 可得AE3 m，所以ABAEBE1.234.2 m.这棵树的高度为4.2 m.分析：答案：知2讲1.与测量有关的概念：(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点.(2)仰角：

60、测量物体的高度时，水平视线与观察物 体的视线间的夹称为仰角.(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区.2.测量原理：用标杆和直尺作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构造相似三角形. 知2讲3.测量方法：如图，观察者的眼睛C必须与标杆的顶端 D 和物体的顶端 A“三点共线”，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度DF，人眼离地面的高度CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的距FG，利用相似三角形“对应边的比相等” 的性质求物体的高度AG.要点精析：利用标杆测量物体的高度也叫目测，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可 以用自己的身高和臂长等作为测量工具. 知2讲如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB8