斐波那契数列

1、斐波那契数列解决简单的数学问题，感受数学美与数学思想.【学习重点】认识斐波那契数列.【学习难点】斐波那契数列的性质.【学习过程】一、导练已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契 数列(即a广a2 = 1, a & = a ,1 + a (n e N *)的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在 每个正方形中画一个|心角为90 的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契422【答案】C【分析】先根据斐波那契数的规律求出第7项，然后根据扇形的面积公式计算即可.【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前两个数之和，从而可知斐波那契数的前七个数分别

2、是：1，1，2, 3, 5，8，13.即第7项为13，所以第7项所构成的扇形的半径为13， 所以其对应的扇形的弧长为2兀x13x1 =峪.42故选：C.意大利数学家斐波那契(约117卜1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1， 1，2, 3, 5, 8, 13, 21，34, 55, 89, 144, 233.在实际生活中，很多花朵(如梅花， 飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学 等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列aj满足：a1 = a2 = 1, a - a + a (n e N* )，若 1 + a + a + a + a + + a

3、 = a ，则k =(). TOC o 1-5 h z n+2n+1 n3 57 959 k HYPERLINK l bookmark21 o Current Document A. 2020B. 2021C. 59D. 60【答案】D【分析】 根据题意a + a = a ,a + a = a，将所求化简即可得答案.34456【详解】依题意，1 + a + a + a + a + + a = a + a + a + a + a + + a TOC o 1-5 h z 579592357959=a + a + a + a + + a57959=a + a + a + + a =二a + a a

4、，贝|k = 60 .67959585960故选：D3 .若数列伊满足F1=1, F2=1, Fn=Fn 1+Fn 2（n3），贝。虬称为斐波那契数列，它是由 中世纪意大利数学家斐波那契最先发现.它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之 和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等若第 30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（备注：0.6182r 0.38，1.6182 2.61）C.217万D.317万A. 31 万B. 51 万【答案】C【分析】首先求S，再求出F，最后求出S30即可.【详解】282930由题意得：F 832040 ,假设

5、（F 的前n项和为Sn，则S28 F0 - F2 832039 , 又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618 所以 F 832040 x 0.618 r 514200 故 S S + F + F r 2178279， 故选0： C282930【点睛】本题主要考查数列的基本概念及前项和的求法，属于简单题.4.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界 中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例作图规则是在以斐 波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的 弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列

6、，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数 列记为a ， a a 1，a a + a （n 3），边长为斐波那契数a的正方形所对应扇 TOC o 1-5 h z n 12n n-1 n-2n形面积记为b （n e N*九则（）A.3a = a + a(n 3)C弘2020 -b2019)= a2018 , a2021nB. a + a + a + + a a +112320192021兀D. b + b + b + b = a - a 12320204 20202021【答案】AD【分析】根据数列的递推公式可判断选项A,再根据累加法计算判断选项B,根据扇形的面积公 式判断选项C,再次应用累加法及递推

7、公式判断选项D.=a + a(n 3)，可得 a= a + a = 2 a + an1n2n+2n+1n nn1=2a + a + a a= 3a (n 3), A 选项正确；nn1n a = c_= L an+20192021【详解】 由递推公式a j，类似的有an = an+1 a TOC o 1-5 h z 所以 an2 + an+2nn1nn1n又由递推公式可得a = 1, a = a a , a =a a1231342累加 a + a + a + + a = a + a a = a 1,123n nn+12n+2故a + a + a + a = a +1错误，B选项错误；123由题可

8、知扇形面积b =：a2, n 4 n)=4 an+1 an2，故 b b = a2 a2 = (a + a )(a a故n(b b )= a a 错误，C选项错误； TOC o 1-5 h z 42020201920182021由 a = a + a (n 3), a2 = a a , a2 = a a = a (a a )= a a a a ,222,31、3221a2 = a a = a (a a )= a a a a ,33342,433、2类似的有a2 = a a = a .(a a ) = a a a n n n nn+1n1n+1 n i累加得 HYPERLINK l bookma

9、rk72 o Current Document a2 + a2 + a2 + a2 = a2 +(a a a a)+(a a a a )(a a a a)= a a12 3n 13 2 2 14 3 3 2n+1 n n n 1n+1 n又b = a2，所以b + b + b Hbb = (a2 + a2 + a2 Hba2)= a -a ,n 4 n123n4123n 4 n+1n所以b + b + b + b = -a -a 正确，D选项正确； 1232020420202021故选：AD.二、目标检测1 .意大利数学家斐波那契在他的算盘全书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果 一对兔子每月

10、能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里， 又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始， 以后每个月的兔子总对数是：1，1，2, 3, 5, 8, 13, 21，这就是著名的斐波那契 数列，它的递推公式是a = a + a （ 3,n e N*）,其中a = 1, a = 1 .若从该数列的前 n n1 n2122021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（） 1673A.B.32021C.12-674 D.2021【答案】B【分析】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法 求概率即可.【详

11、解】2021 由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而一3 二 673.2,.前2021项中有673个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为竺.2021故选：B2.若数列气满足： a = 1， a = 1， a = a + a （ n 3， n（= N* ）， 则称数列a 为 斐波那契数列斐波那契螺旋线是根据斐波那案数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线 部分（正方形内的数字an为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构 成圆心角为90。的扇形），自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟 叶子的排列等（如图2），若一母线长为1

12、6的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线 的长度，则该圆锥的侧面积为. TOC o 1-5 h z 图1图2 【答案】132兀【分析】由已知求得a ,a ,a ,a ,a的值，可得圆锥底面圆的周长，再由圆锥侧面积公式求解. 34567【详解】a = 2，a = 3，a = 5，a = 8，a = 13，则图1中螺旋线的长度为一n（1 +1 + 2 + 3 + 5 + 8 +13）=半，42圆锥底面圆的半径为r .母线长为Z，一. 33兀则 2nr =， l = 16，2则圆锥的侧面积为1 x 2nr x l = 您 x 16 = 132兀.24故答案为：132兀.【点睛】关键点点睛：该题考查的

13、是有关数列的递推公式以及圆锥侧面积公式的求解问题，正确 解题的关键是利用数列递推公式求解数列的项以及熟练掌握圆锥侧面积公式斐波那契数列，指的是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,，在数学上，斐波那契数列。定义如下：a =a = 1, a = a + a （n3,neZ）,随着n的增大，*n- n12nn-1n-2a,n+1越来越逼近黄金分割当1 - 0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以。帝、an为长和 宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长 方形的长应该是（）A. 144厘米 B. 233厘米【答案】B【分析】，一、

14、 一 a由题意可得丁 * 0.618旦a a +1 = 33600 , n+1【详解】由题意可得马-0-618且a a = 33600 , an n+1n +1故选：B.【点睛】C. 250厘米 D. 377厘米即可得解.解得 a。+1 * 233.意大利数学家斐波那契（1175年-1250年）经过长时间研究兔子繁殖的数量发现，其 数值满足某种规律，他将这些数据罗列出来，写成数列形式：1, 1, 2, 3, 5, 8,，通过探索和不懈的努力，斐波那契得到了其通项公式为1 （ 1+后 丫 右丁 J123位数为.【答案】4【分析】由斐波那契数列得到递推关系a= a + a，得到a2 = a a -

15、 a an+2 n n+1n+1n+1 n+2n n+1a2 + a2 + a; + a28的值，根据条件可得答案.【详解3解根据题意，可得此数列满足a= a + a 。a = a - a。a2 = an+2 nn +1n +1n+2n n +1 n从而可求出同时发现这一数列的个位数是以60为周期变化的，故此数列称为斐波那契数列，今天， 我们借助意大利数学家斐波那契对人类的此项贡献，求解a2 + a2 + a2 +- +。8的值的个a一 a a ，n+2 n n+1a 2 + a 2 + a 2 + + a 2 = a 2 + a a 一 a a + a a 一 a a + a a 一 a a1236812312342368 6967 68=a a - a a + a 2 = a a ，68 691 2168 69根据题意，a68的个位数与a8的个位数相同为1, a69的个位数与a9的个位数相同为4, 所以个位数为4.故答案为：4现实生活中有一些情况与著名的斐波那契数列类似，比如上台阶的方式，每次上一阶或二阶，若台阶数为n ,则上台阶的不同走法构成数列a满足a+i = a 1 +a (n 1)，据 此推断，当台阶数为10时，上台阶的方法数为()A. 45