数学建模校赛

1、题目：如何选择不同类型的汽车摘要：随着社会经济发展，汽车正加速进入中国家庭。但即使是相对富裕人士，对于选购汽车来说，一般也比较慎重。因而对汽车的成本和能耗的分析与研究在当代就显得尤为有意义、有价值。本问题针对不同类型的汽车能耗和使用成本进行研究，并且分别从能耗和成本角度对不同类型的汽车进行比较分析。在具体解决这些问题的时候，通过使用因子分析法、灰色系统预测模型等，经分析比较后得出结论。关键词：能耗；使用成本；因子分析法；灰色系统预测模型目录一问题重述1.11.2二问题分析三模型假设四符号说明五模型的建立与求解六模型的检验七模型的优缺点分析八模型的推广与改进参考文献一、问题重述传统汽车以汽油为动

2、力原料，利用燃油发动机驱动汽车行驶。电动汽车（ElectrieVehicle）是指以车载电源（蓄电池）为动力，用电机驱动车轮行驶的车辆。混合动力汽车（HybridElectrieVehicle,HEV）的混合动力就是指汽车使用汽油驱动和电力驱动两种驱动方式，以节省燃油及降低排放为其主要优点。结合目前的汽油价格和电能（车用蓄电池）价格，对这三类汽车的能耗和成本（生产成本和使用成本）进行分析比较，试建立相应的数学模型，根据相关资料，解决以下问题：1、从能耗的角度，分析比较这三类汽车哪一类节能效果最好；2、从使用成本角度，分别为三类汽车建立相应的成本模型；3、请具体选取三类汽车，对其使用成本进行比较

3、和分析；4、请探讨汽油价格的变化对三类汽车所占市场份额的影响。二、问题分析问题一中让我们从能耗角度比较三类车的节能效果，我们可以通过计算来进行比较；问题二我们可以通过分析成本成分从而建立成本模型；问题三我们们可以分别选取一款车，经过市场调查的出的有关数据进行计算，进而进行比较；问题四我们可以通过著名的灰色系统预测模型比较汽油价格的变化对三类汽车所占市场份额的影响。三、模型假设假设1：三类汽车在相同的路面状况下行驶且不存在堵车情况；假设2：三辆车的司机对车的熟练程度相同；假设3：假设车的使用成本只与燃料费、保养费、年检费、折旧费、保险费、维修费有关；假设5：假设汽车的折旧率只有五年，三种汽车的使

4、年限都只有15年；假设6：假设三种汽车的保险、保养采用同种等级，汽油的价格维持不变,电费的价格也维持不变，三种汽车行驶同等距离的磨损程度相同;四、符号说明符号意义单位备注表示汽车的使用成本元li3表示汽车百公里的燃油体积升12表示母年的保养费元1;3表示每年年检的费用元1;3d表示汽车的残值率ei表示每年保险费元li3迟表示每年维修费元li3&表示汽车的成本元1/5)混合动力汽车模型：混合动力汽车的使用成本由燃油费、保养费、年检费、折旧费、保险费、维修费等构成：略=岭X“為gg(1)x：xx筋心g)xj4-+c2+e2+yj)xf4-(1rf)xr2：r(f5电动汽车模型：电动汽车的使用成本由

5、耗电费、保养费、年检费、折旧费、保险费、维修费等构成：(rXH+cJ+_/；)xf+(l-rf)x(5)比较传统汽车、电动汽车和混合动力汽车三种汽车的能耗情况，首先查阅相关资料得知汽车的每千克汽油所含的能量，汽油的密度，每度电所含的电能,然后用对比分析法比较各种车型的能耗大小。根据题中所给的相关信息，我们可知，传统汽车以汽油为动力原料，电动汽车是以车载电源（蓄电池）为动力，混合动力汽车是以汽油和电力为动力。而混合动力车所需电能是由其内燃机工作所提供的，不需要外加电源，故其消耗的能量可以说是只来自汽油。我们可以从3类汽车分别在行驶一百公里所消耗的汽油，电能，汽油及电能内所包含的能量来进行比较。众

6、所周知，汽油是从石油中分馏出来的，中间的能量转换较少，可以忽略。经过查阅相关资料我们得知，我国现在的电能78%来自火力发电，其发电效率为37%,22%来自其他形式的发电。我们可以得出下面的关系图：传统汽车T汽油T石油J78開火力发电22鳴其他发电混合动力车T汽油T石油电能估内燃机提供）经过查阅相关资料，我们得知，三种普通家庭适用版车型在城市平直公路上运行时的百公里耗油、耗电量，如下表:汽车类型耗油（电）量传统汽车汽油电动汽车电量混合动力车汽油艮7E我们都取三类汽车的百公里所消耗的能量来进行比较。（1）传统汽车经过查阅相关资料，我们得知，每千克汽油所含的能量为诃0U,汽油的密度为O电/证，由此我

7、们可以得出传统汽车百公里的耗能为哥=8上兀X0172君/应X44000L7/焙=2_70 xio5JL7电动汽车我们知道，每度电所含的电能为36x103砂，因此电动汽车的百公里耗能为码=16-*7*（78悯37%+22%）=1_07xlO5*（3）混合动力车混合动力车的百公里耗能为码=3_7Zx0_72/44MMNtZ/i=l.lTxlO5fcZ由上述计算结果可知因此从耗能的角度分析，电动汽车的耗能最少，所以电动汽车最节能。选取具体三类汽车天我们分别是：汽车种类BYDF3PIBYDF3DM団BYDE6m使用成本（传统汽车）（混合动力汽车）（纯电动车）车辆价格阶（万元）7.0314.9836.9

8、8百公里耗油（L）7.973.50百公里耗电*需要冲的电（KWh）0020保养塚（元/年）200020002000保险叫（元/年）360036003600年检叼（元/年）100100100维修蓟（元/年）140014001400残值率d5%5%5%以下是能源的单价:汽油单价a（元/L）7.470电费单价r（元/KWh）0.573由以上的数据可以求出这三种车三年后的使用成本:4-e4-(l-rfjxnxix60=9.71万元眄二（QC岭JQT鸟*勺*衍*型罟严邑=11.82万元=23.90万元曙=6XJ!十乞*%*真卜十*L少晋竺邑三种汽车类型使用成本（万元）排名（由低到高）BYDF3（传统汽车

9、）9.711BYDF3DM11.822（混合动力汽车）BYDE6（纯电动车）23.903由以上的数据可以求出这三种车五年后的使用成本：畔二（mx%心兔齐）3C（1決”航二点戊万元眄=（NX陌XH%十兮十眄十知X（ltf）xgx20.11万元略=”X“鸟*屿晋幻XH（1於陌=39.82万元成本使用成本排名汽车种类（万元）（由低到高）BYDF3（传统汽车）16.181BYDF3DM（混合动力汽车）20.112BYDE6（纯电动车）39.823由以上的数据可以求出这三种车八年后的使用成本:略二兔十晓*叫4齐）x（l町xg.=2i.88万元略二（心眄*巧*衍*幻疋*。注筋二24.09万元略=（小“瓦乞

10、吗4）xh（1岛=42.64万元成本使用成本排名汽车种类（万元）（由低到高）BYDF3（传统汽车）21.881BYDF3DM（混合动力汽车）24.092BYDE6（纯电动车）42.643由以上的数据可以求出这三种车十年后的使用成本：略二（心“*兔十庇*%*）覽（1町.=25.69万元眄=（_眄x“為*勺衍*岛）x（l（/）x筋二羽应万元略二”5瓦十十屯*）xh（1町x斷=44.52万元使用成本使用成本排名汽车种类（万元）（由低到高）BYDF3（传统汽车）26.691BYDF3DM（混合动力汽车）26.562BYDE6（纯电动车）44.523由以上的数据可以求出这三种车十二年后的使用成本：恥二兔

11、*幻=29.49万元眄二（&x岭x“為*兮*眄4盂）3c（l（/）3c茗工=29.03万元略=（小卄乞*勺*号十幻xh（1角二心购万元成本使用成本排名汽车种类（万元）（由低到高）BYDF3DM（混合动力汽车）29.031BYDF3（传统汽车）29.492BYDE6（纯电动车）46.403由以上的数据可以求出这三种车十五年后的使用成本：畔=（口X%心毎庇+叫十幻灯牝万元解二陌心*為*勺眄+(1rf)x|f3=32.72万元略=（小卄瓦十牛十务十贞）xh（1町x他=49.22万元成本使用成本排名汽车种类（万元）（由低到高）BYDF3DM（混合动力汽车）32.721BYDF3（传统汽车）35.192

12、BYDE6（纯电动车）49.223由模型求解得到的数据可知：1、在汽车使用的前12年，传统汽车的使用成本最低；2、在使用汽车的12-15年，混合动力型汽车的使用成本最低；3、在使用十五年内，纯电动车的成本一直是最高；4、一般私家车的强制报废年限是15年，所以综合比较混合动力型汽车的使用成本最低；模型结果与实际比较贴近，通过观察得出的结果，参考生活中的实际情况，有这些可以看出，分析建模的结果与实际是非常接近的。另外通过改变适当的量也可以做出类似的检验，均符合现实。3.为探讨汽油价格的变化对三类汽车所占市场份额的影响，通过建立灰色系统预测模型，借助与MATLAB软件最终分别得出油价对各类汽车影响的

13、关系式，进而可以预测任意油价对市场份额的影响。根据近几年的油价和各类汽车市场份额的实际数据，如下:百分比时间传统汽车电动汽车混合动力汽车油价200687.042.3610.6067.12200780.895.9013.2074.46200883.163.1713.6764.83200978.655.8415.5160.35201077.296.4316.2879.36201175.487.4217.10100，31Ixm(2007)+X(2006)|xm(2008)+尤(2007)B=-1xm(2009)+x(2008)1-127.48511-1396711=-29041511-3683851

14、1AAA771Jf|xm(2010)+x(2009)世1)+x(2010)借助于上述数据，分别预测三类汽车对于传统汽车：油价变化与传统汽车市场份额的关系进行灰色预测（1）由原始数据列计算一次累加序列，结果见表一次累加数据年份200620072008200920102011油价67.1274.4664.8360.3579.36100.31r()87.0480.8983.1678.6577.2975.4887.04167.93251.09329.74407.03482.51(2)建立矩阵y=x(0)(2007)5x(0)(2008)3x(o)(2OO9)5x(0)(2O1O)5，町(2011)*=

15、80.89,83.16,78.65,77.29,75.48T计算有方二(仙r叭，求评估盘和;i=(BrByiBry把：和匚带入时间响应方程，由于(2000=8704故时间响应方程为TOC o 1-5 h z_-A.|-iR-严住+1)=020062*金十： HYPERLINK l bookmark40 ua得响应方程为_-A.|-iR-曲住+1)=曲2002*金十：ua计算拟合值，再用后减运算还原计算值进行精度检验与预测计算残差硒=03)-丁3)与相对残差曲=占的-V仗)小(号后验差检验，分别计算：却的均值:1Z心)残差的均值:后验差比值:小误差概率:P=PE(k)E0.95,0$0卫0.70

16、,0,50.不合格门0.65.对于纯电动汽车：油价变化与纯电动汽车市场份额的关系进行灰色预测由原始数据列计算一次累加序列，结果见表一次累加数据年份200620072008200920102011油价67.1274.4664.8360.3579.36100.31r()2.365.903.175.846.437.422.368.2611.4317.2723.731.12建立矩阵y=x(0)(2007),x(0)(2008)3x(o)(2OO9)5x(0)(2010),x(0)(2OU)T=5.90,3.17,5.84,6.4357.42T-x0)(2007)+x(2006)1-5.311-1xm(

17、2008)+x(2007)1-9.8451-1xm(2009)+xm(2008)1二-14.351-1xm(2010)+xm(2009)1-20.4851-1x(2011)+0(2010)1-27.411（11）计算的r（12）有疗二（刊r巧，求评估仪和；4U把仪和M带入时间响应方程，由于（2000=236故时间响应方程为TOC o 1-5 h z_-A.-iR_少住+1）=020062*金十：ua得响应方程为_-A.|-iR-严住+1）=020062*金十：ua（13）计算拟合值，再用后减运算还原计算值（14）进行精度检验与预测计算残差砂*因-丁因与相对残差朋）=邂因-1%屮邂因（15）后验

18、差检验，分别计算:_1H逛的均值:41，逛的方差:残差的均值:心)-1*；=1.，后验差比值:小误差概率：(16)预测精度等级对照表0.95*0-80卫00，0,50.不合格门0.65.对于混合动力汽车：油价变化与混合动力汽车市场份额的关系进行灰色预测(17)由原始数据列计算一次累加序列，结果见表一次累加数据年份200620072008200920102011油价67.1274.4664.8360.3579.36100.31工10.6013.2013.6715.5116.2817.1010.6023.837.4752.9869.2686.36(18)建立矩阵y=x(0)(2007),x(0)(

19、2008)3x(o)(2OO9)5x(0)(2010),x(0)(2OU)T=13.20,13.67,15.51,16.28,17-10t计算(丹r有方呼巧,求评估垃和；u=Z=(BrByiBryu把吃和匚带入时间响应方程，由于(2006)=236故时间响应方程为店2006上得响应方程为尹住+1)=尹2006上4何4何计算拟合值，再用后减运算还原计算值进行精度检验与预测计算残差盹*因-丁因与相对残差然后验差检验，分别计算:_1H“仏)却的均值：却的方差：E=E(k)残差的均值：叭.7后验差比值：小误差概率：P=PE(k)E0.95.0.80，0.70，0.50,不合格0.65.算将上述算法以及

20、数据写入MATLAB,编写程序求解，源程序及输出结果详见附件。根据程序运行结果可以得出对于传统汽车和油价关系：dx/dt+ax二u：a=-0.14401015，u=84.47278810时间响应方程：X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752残差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.7144126310.22065739(4)2.66733676-3.75981586(6)0.49405494第一次累加值：(1)87.04000(2)167.93000(3)251.090000329.74000(5)407.030000(6)482.510000相对残

21、差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.078620440.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057原数据均值avg(x):131.66666667原数据方差S(1)：34.73550857残差的均值avg(E):0.18156412残差的方差S(2)：6.35189717后验差比值C：0.18286467小误差概率P：1.00000000预测精度等级：好！这表明：在油价上升的过程中传统汽车的市场份额在逐步的减小。对于纯电动汽车和油价关系：dx/dt+ax二u：a=-0.14401015,u=84.47278810时间响应方程：

22、X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752残差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.7144126310.22065739(4)2.66733676-3.75981586(6)0.49405494第一次累加值：(1)2.360000(2)8.260000(3)11.43000017.27000(5)23.700000(6)31.120000相对残差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057原数据均值avg(x):131.666

23、66667原数据方差S(1)：34.73550857残差的均值avg(E):0.18156412残差的方差S(2)：6.35189717后验差比值C：0.18286467小误差概率P：1.00000000预测精度等级：好！这表明：在油价升高的时候，纯电动汽车的市场份额会增大。对于混合动力汽车和油价关系：dx/dt+ax二u：a=-0.14401015，u=84.47278810时间响应方程：X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752残差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.71441263(3)10.22065739(4)2.66733676-3.75

24、981586(6)0.49405494第一次累加值：(1)10.600000(2)23.80000(3)37.470000(4)52.98000(5)69.260000(6)86.360000相对残差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057原数据均值avg(x):131.66666667原数据方差S(1)：34.73550857残差的均值avg(E):0.18156412残差的方差S(2)：6.35189717后验差比值C：0.18286467小误差概率P：1.00

25、000000预测精度等级：好！这表明：在油价发生变化的时候，对于混合动力的汽车的市场份额影响不大,只是使其市场份额稍有上升。六、模型的检验通过上面的程序输出数据可以看出当油价上升的时候，与之对应的三类汽车的市场份额变化为：传统汽车的市场份额减小，纯电动汽车的市场份额增大，混合动力汽车的市场份额略有减小。通过观察程序得出的结果，参考生活中的实际情况，可以看出，分析建模的结果与实际是非常接近的。另外通过改变适当的量也可以做出类似的检验，均符合现实。七、模型的优缺点分析优点（1）模型结构清晰，层次分明，数学表达式含义直观，明确，易懂。（2）从问题出发，分析了应该考虑到的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行了实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好地解决实际问题。（3）本模型与实际紧密联系，具有广泛的应用性，对每一种情况都可以通过模型求解。缺点（1）模型为了使计算简单，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要因素。（2）本模型中，某些参数仅是根据相关学术机构市场调查和新闻报道给出的数据求解得出，与实际情况可能有一点偏差。八、模型的推广与改进模型的改进此模型在处理本问题的时候，为了使计算更加简洁，选择性忽略掉一些现实中的限制条件，因此在改进的时候，可以把现实中的限制条件适当考虑，比如不同的司机开车习惯不一样，不同的路况耗油不同等等，这样模型就可以更好