年高考数学二轮复习 4.1 等差数列和等比数列课件 理

1、第4专题数列、极限与数学归纳法知识网络2021/8/8 星期日1第1讲等差数列与等比数列重点知识回顾本章公式和衍生出来的公式、性质和方法较多，内容显得有些杂乱，但可用“一极二裂三和四放五法六两”来高度概括1“一极”：对于等比数列an，其公比|q|0)；(4) 或 (n2，nN)5“五法”：指的是常用的五种求通项的方法：(1)叠加法；(2)累积法；(3)迭代法；(4)待定系数法；(5)数学归纳法6“六两”指的是：(1)两个基础：等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式；(2)两个灵活：如果mnpq(m、n、p、qN)，等差数列有：amanapaq，等比数列有：amanapaq；2021/8/8

2、星期日3(3)两个分类：an与Sn之间的关系an 和等比数列求和：Sn(4)两个重要思想：方程与函数的思想(数列本来就是一种特殊的函数)，化归与转化的思想(非等差、等比问题化为等差、等比问题)；(5)两个证明方法：证明数列是等差或等比数列通常采用：定义法；中项法；(6)两个不变：如果数列an是等差数列(或等比数列)，那么数列ak，akm，ak2m时，(k，mN)仍成等差数列(或等比数列)；数列Sk，S2kSk，S3kS2k，(对等比而言q1)仍成等差数列(或等比数列)2021/8/8 星期日4主要考点剖析考点一数列的通项与求和的基本应用命题规律数列的通项与求和的基本应用常见于选择题、填空题，难

3、度既有容易题、中等题、也有难题，主要考查性质的灵活应用及对概念公式的理解例1 (2011石家庄质检二)(1)已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnln an，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值为()(A)120(B)128(C)132(D)136(2)若数列an满足an12an2d(d为正常数，nN*)，则称an为“等方差数列”甲：数列an是等方差数列；乙：数列an是等差数列，则()(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2021/8/8 星期日5(3)将正整数排成下表：12 3

4、45 6 7 8 910111213141516则数表中的300应出现在第_行(4)函数f(x)由下表定义若a05，an1f(an)，n0,1,2，则a2009_【解析】 (1)bnbn1ln anln an1ln 为常数，即数列bn是首项为22的等差数列且公差d2，Snn223n132即Sn的最大值为132，此时n11或12x25314f(x)123452021/8/8 星期日6(2)充分性：由an12an2d可得an12a12nd，即有an1 ，an an1an 不是常数，an不是等差数列，充分性不成立必要性：ana1(n1)d，an1a1nd(其中d为等差数列an的公差),an12an2

5、2a1dd22nd2不是常数，即an不是等方差数列，必要性不成立(3)设前n行数字的个数为Sn，则Sn n2当n17时，S17289300应在第18行(4)由a05,an1f(an)得a1f(5)2,a2f(2)1,a3f(1)4，a4f(4)5,a5f(5)2,，f(2009)f(45021)a12答案 (1)C(2)D(3)18(4)2【点评】 (1)(2)(3)主要考查了两个基础：等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式同时体现了“小、巧、活”的特点；(4)考查递推公式的应用，同时与函数定义相结合2021/8/8 星期日7互动变式1(1)已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分

6、别为a1、b1，且a1b15，a1b1，a1、b1N*(nN*)，则数列abn前10项的和等于()(A)55(B)70(C)85(D)100(2)数列an中,a11,an1 an 1,则a7_.(3)已知等差数列an中， 8，则 _【解析】 (1)ana1n1，bnb1n1，abna1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n32021/8/8 星期日8因此， 数列 abn 也 是 等差数列，并且前10项和等于： 85(2)an1 ( 2)2，a2 (12)2( )2，a3( )2，a4( )2，a7( )2( )2 (3) 8，4d8d2 答案(1)C(2) (3)12021/8/8 星期

7、日9考点二等差、等比数列中的最值问题命题规律数列的最值问题常与函数单调性、不等式综合进行考查，在客观题和主观题中常常出现例2已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且满足S53a52，又a1、a2、a5依次成等比数列，数列bn满足b19,bn1bn ,其中k为大于0的常数.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，若当且仅当n3时， Tn取得最小值，求实数k的取值范围【分析】 (1)由已知条件列方程组求得a1和d，再由递推数列和等比数列公式得到通项公式(2)数列的最值问题的解法可借鉴函数的最值问题的解法，可先考察数列的增减性2021/8/8 星期日10【解析

8、】 (1)设等差数列 an的公差为d，依题意得：即an2n1, 所以bn1bn ，bnb1 k，所以bnk9 (2)anbn2n10k ，2021/8/8 星期日11因为k0，所以数列anbn是递增数列，当且仅当n3时， Tn取得最小值， 则 所以 ，即k的取值范围是 【点评】数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容有关数列的最大项、最小项、有界性等问题，都可以借助于数列的单调性来研究，必须牢固掌握这类问题的解决方法这些方法主要有作差法、作商法、利用数列的单调性或函数的单调性等方法2021/8/8 星期日12互动变式2 数列an满足a10,a22,an2 an21(1)n(n1, 2, 3，)

9、(1)求数列an的通项公式；(2)该数列前2k项中的奇数项、偶数项之和分别记为Ak, Bk，设Ck (kN*)，求使Ck1成立的最大的正整数k的值，并说明理由【解析】 (1)因为a10，a22，所以a34，a44当 n为奇数，即n2k1(kN*)时， an2an4，所以数列a2k1是首项为0、公差为4的等差数列，因此a2k14(k1) 当 n为偶数，即n2k(kN*)时， an22an，所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k2k故数列an的通项公式为2021/8/8 星期日13an(2)由(1)知, Aka1a3a2k1 2k(k-1),Bka2a4a2k2222k2k12，

10、Ck 不难计算： C10, C21, C3 ， C4 ， C5 ， C6 ， C7 2021/8/8 星期日14由此可以猜测：满足Ck1的最大的正整数k为5下面证明： 当k6时， Ck1事实上， 当k6时，Ck1Ck 0，所以Ck1Ck，又C6 1，所以当k6时， Ck1成立的最大正整数k52021/8/8 星期日15考点三递 推 数 列命题规律如果我们看高考试卷，不难发现在近几年高考数学试题中的数列问题都与递推数列有关，这是因为递推数列问题具有题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性、题目内容的综合性等特征，所以高考命题人常“乐此不疲”地去编制递推数列题其常用的解法：(1)转化为等差

11、数列或等比数列来求通项；(2)直接利用递推关系，研究数列的性质直接加以证明例3已知函数f(x) (b0)的图象过点(3,1)，且方程f(x)x有两个相等的实数根(1)求实数a，b的值；(2)若正项数列an满足a1 ，an1f(an)，求通项an；2021/8/8 星期日16(3)对满足(2)中的数列an，若数列bn ，Tn为数列 的前n项和，证明Tn 【分析】先求出f(x)再得到递推式，然后取倒可得an为等差数列，从而知an的通项公式，最后用放缩法证明【解析】 (1)函数f(x) 的图象过点(3,1)，1 又方程f(x)x有两个相等的实数根，x bx23xaxx(bxa3)0，即方程有等根x0

12、，则a3代入1 得b2，故f(x) 2021/8/8 星期日17(2)an1f(an)，an1 ,即 , n，则an (3)bnn4， ，所以Tn ，2021/8/8 星期日18Tn1 【点评】本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想以及推理论证、分析与解决问题的能力2021/8/8 星期日19互动变式3已知数列an满足an3an13n1(nN*，n2)，且a395(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn (ant)(nN*)，且bn为等差数列？若存在，则求出t的值，若不存在，请说明理由【解析】 (1)n2时，a23a1321n3时，a33a233195，a223，233a1

13、8，a15(2)当n2时,bnbn1 (ant) (an1t) (ant3an13t) (3n12t)1 要使bn为等差数列，则必需使12t0，t 即存在t ，使bn为等差数列2021/8/8 星期日20例4设数列 an 的前n项和为Sn已知a1a，an1Sn3n，nN*(1)设bnSn3n，求数列 bn 的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围【分析】把an1Sn1Sn代入an1Sn3n，确定Sn3n与Sn13n1的关系即可得bn，由bn得到Sn，从而得到数列an的通项公式，作差：an1an0可得a的取值范围【解析】 (1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，

14、由此得Sn13n12(Sn3n)因此,所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1,nN*(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n212( )n2a32021/8/8 星期日21当n2时，an1an12( )n2a30a9又a2a13a1综上，a的取值范围是9，)【点评】本题着重考查了an与Sn之间的关系和用待定系数法求通项公式有了bnSn3n，求数列bn的通项公式这样的情境预设，就指明了配凑的方向其实第一问还可以这样处理:由Sn12Sn3n得， ,令cn 则有c

15、ncn1 ( )n1，叠加得：cn ( )n1( )n2 a 3( )n1a3,所以Sn3n(a3)2n1,这样可以直接求前n项和2021/8/8 星期日22互动变式4已 知 数 列 an 满 足 a1 a , an1 (nN*)(1)判断数列 是否为等比数列？若不是，请说明理由，若是，试求出通项an；(2)如果a1时，数列an的前n项和为Sn，试求出Sn，并证明Sn1(nN*)【解析】 (1)an12 令bn ，则bn12bn b1 ，当a2时， b10，则bn 0此时数列 不是等比数列2021/8/8 星期日23当a2时， b10，则数列 是等比数列,且公比为2bnb12n1，即 2n1解

16、得an 2n12 (2)由(1)知，当a1时， an(2n1)2n12，Sn352722(2n1)2n12n令Tn352722(2n1)2n1，则2Tn32522(2n1)2n1(2n1)2n, 2021/8/8 星期日24由得Tn32(2222n1)(2n1)2n32 (2n1)2n(12n)2n1，Tn(2n1)2n1，则SnTn2n(2n1)(2n1)当n1时， 2n11, 2n11，(2n1)(2n1)1Sn1 2021/8/8 星期日25考点四数列求和命题规律数列求和包括：利用等差(比)数列的求和公式求和、错位相减求和、裂项求和，常见高考题型为解答题，往往是通过数列与其他知识交汇命题

17、，难度较大例5已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn ,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN都成立的最小正整数m【分析】先求二次函数的解析式，把(n，Sn)代入解析式，根据anSnSn1求数列an的通项公式；由an求出数列bn的通项公式，利用裂项相消法求Tn，再解不等式可得2021/8/8 星期日26【解析】 (1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb由于f(x)6x2得a3，b2，所以f(x)3x22x又因为点(n，Sn)(nN)在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5当n1时，a1S13122615，所以an6n5(nN)(2)由(1)得bn2021/8/8 星期日27 ，故Tn (1 )( )( ) (1 )因此，要使 (1 ) (nN)成立的m，必须且仅须满足 ，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10【点评】由前n项和来求通项公式时，一定要进行分类讨论，同时还要注意裂项相消法是数列求和中的一种常用方法2021/8/8 星期日28互动变式5已知函数f(x)log3(axb)的图象经过点A(2,1