高中数学选择性必修一 第1章 1.4.2 第2课时 夹角问题

1、第2课时夹角问题学习目标1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系知识点一两个平面的夹角平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为平面与平面的夹角知识点二 空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线 l1，l2 所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v| eq f(|uv|,|u|v|) eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |co

2、s u，n|eq f(|un|,|u|n|) eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)两个平面的夹角设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别为n1，n2，则cos |cos n1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A.eq f(,6) B.eq f(,4)C.eq f(,3) D.eq f(,2)答案D解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则eq o(A

3、1M,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，1)，eq o(DN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，cos eq o(A1M,sup6()，eq o(DN,sup6()eq f(|o(A1M,sup6()o(DN,sup6()|,|o(A1M,sup6()|o(DN,sup6()|)0.eq o(A1M,sup6()，eq o(DN,sup6()eq f(,2).2已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，neq f(r(3),2)，则l与所成的角为()A30 B60 C150 D120答案B解析

4、设l与所成的角为，则sin |cosm，n|eq f(r(3),2)，60，故选B.3已知平面的法向量u(1,0，1)，平面的法向量v(0，1,1)，则平面与的夹角为_答案eq f(,3)解析cosu，veq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，u，veq f(2,3)，平面与的夹角是eq f(,3).4在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，eq r(6)，则向量eq o(AB,sup6()与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_答案eq f(r(7),4)解析设平面xOz的法向量为n(0,1, 0) ，eq o(AB,sup6()(1,3，eq r(6)，所以c

5、osn，eq o(AB,sup6()eq f(no(AB,sup6(),|n|o(AB,sup6()|) eq f(3,4) ，所以sinn，eq o(AB,sup6() eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)2) eq f(r(7),4).故向量eq o(AB,sup6()与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为eq f(r(7),4).一、两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OAeq r(3)，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值解以O为坐标原点，eq o(OA,sup6()，

6、eq o(OB,sup6()的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，eq r(3)，A(eq r(3)，0,0)，A1(eq r(3)，1，eq r(3)，B(0,2,0)，eq o(A1B,sup6()(eq r(3)，1，eq r(3)，eq o(O1A,sup6()(eq r(3)，1，eq r(3)|coseq o(A1B,sup6()，eq o(O1A,sup6()|eq f(|o(A1B,sup6()o(O1A,sup6()|,|o(A1B,sup6()|o(O1A,sup6()|)eq f(|r(3)，1，r(3)r(3)，1，r

7、(3)|,r(7)r(7)eq f(1,7).异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为eq f(1,7).反思感悟求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()可分别为a，b的方向向量，则cos eq f(|o(AB,sup6()o(CD,sup6()|,|o(AB,sup6()|o(CD,sup6()|).跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.eq

8、 f(r(30),10) B.eq f(r(30),15)C.eq f(r(30),30) D.eq f(r(15),15)答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，eq o(B1M,sup6()(1，1，2)，eq o(D1N,sup6()(1,0，2)，coseq o(B1M,sup6()，eq o(D1N,sup6()eq f(14,r(114)r(14)eq f(r(30),10).二、直线与平面所成的角例2如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACeq f(1,2)AB

9、，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小(1)证明设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又ANeq f(1,4)AB，M，S分别为PB，BC的中点，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，Seq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4a

10、lco1(1，1，f(1,2)，eq o(SN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，eq o(CM,sup6()eq o(SN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)0，eq o(CM,sup6()eq o(SN,sup6()，因此CMSN.(2)解由(1)知，eq o(NC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，eq o(CM,sup6()a0，eq

11、 o(NC,sup6()a0.则eq blcrc (avs4alco1(xyf(1,2)z0，,f(1,2)xy0.)eq blcrc (avs4alco1(x2y，,z2y.)取y1，得a(2,1，2)设SN与平面CMN所成的角为，sin |cosa，eq o(SN,sup6()|eq f(blc|rc|(avs4alco1(1f(1,2),3f(r(2),2)eq f(r(2),2).SN与平面CMN所成角为eq f(,4).反思感悟利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为，则sin eq f(|u

12、n|,|u|n|) .跟踪训练2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，E，F依次为C1C，BC的中点求A1B与平面AEF所成角的正弦值解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以eq o(A1B,sup6()(2,0，2)，eq o(AE,sup6()(0,2,1)，eq o(AF,sup6()(1,1,0)设平面AEF的一个法向量为n(a，b，c)，由eq blcrc (avs4alco1(no(AE,sup6()0，,no(AF,sup6()0，)得eq blcr

13、c (avs4alco1(2bc0，,ab0，)令a1可得n(1，1,2)设A1B与平面AEF所成角为，所以sin |cosn，eq o(A1B,sup6()|eq f(|no(A1B,sup6()|,|n|o(A1B,sup6()|)eq f(r(3),6)，即A1B与平面AEF所成角的正弦值为eq f(r(3),6).三、两个平面的夹角例3如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O平面ABCD；(2)若CBA60，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值(1)证明因为四边形ACC

14、1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，AC，BD平面ABCD，所以O1O平面ABCD.(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OBeq r(3)，OC1，所以O(0,0,0)，B1(eq r(3)，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，

15、y，z)，由meq o(OB1,sup6()，meq o(OC1,sup6()，得eq r(3)x2z0，y2z0，取zeq r(3)，则x2，y2eq r(3)，所以m(2,2eq r(3)，eq r(3)，所以cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(2r(3),r(19)eq f(2r(57),19).所以平面C1 OB1与平面OB1D夹角的余弦值为eq f(2r(57),19).延伸探究本例不变，求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值解B(eq r(3)，0,0)，A1(0，1,2)，C(0,1,0)，D(eq r(3)，0,0)，设平面BA1C的法向量为m(x1，y1，z

16、1)，eq o(A1C,sup6()(0,2，2)，eq o(BC,sup6()(eq r(3)，1,0)，则eq blcrc (avs4alco1(mo(A1C,sup6()0，,mo(BC,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y12z10，,r(3)x1y10，)令x11，则y1eq r(3)，z1eq r(3)，m(1，eq r(3)，eq r(3)，同理得，平面A1CD的法向量n(1，eq r(3)，eq r(3)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(5,7)，则平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值为eq f(5,7).反思感悟求两平面夹角的两

17、种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2eq blc(rc)(avs4alco1(当n1，n2blcrc(avs4alco1(0，f(,2)时)或n1，n2eq blc(rc)(avs4alco1(当n1，n2blc(rc(avs4alco1(f(,2)，)时.)跟踪训练3如图所示，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120，求平面SAD与平面S

18、AB夹角的余弦值解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系SDC120，SDE30，又SD2，点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为eq r(3)，则有D(0,0,0)，S(1，eq r(3)，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m(x，y，z)，eq o(AD,sup6()(0,0，2)，eq o(AS,sup6()(1，eq r(3)，2)，eq blcrc (avs4alco1(2z0，,xr(3)y2z0，)取xeq r(3)，得平面SAD的一个法向量为m(eq r(3)，

19、1,0)又eq o(AB,sup6()(2,0，1)，设平面SAB的法向量为n(a，b，c)，则eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AS,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2ac0，,ar(3)b2c0，)令aeq r(3)，则n(eq r(3)，5,2eq r(3)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(8,2r(10)2)eq f(r(10),5)，故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是eq f(r(10),5).空间向量和实际问题典例如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处从A，B到直线 (库底

20、与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值解由题意可知ACa，BDb，CDc，ABd，所以d2eq o(AB,sup6()2(eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()2eq o(AC,sup6()2eq o(CD,sup6()2eq o(DB,sup6()22(eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()a2c2b22eq o(AC,sup6()eq o(

21、DB,sup6()a2c2b22eq o(CA,sup6()eq o(DB,sup6()，则2eq o(CA,sup6()eq o(DB,sup6()a2b2c2d2，设向量eq o(CA,sup6()与eq o(DB,sup6()的夹角为，就是库底与水坝所在平面的夹角，因此2abcos a2b2c2d2，所以cos eq f(a2b2c2d2,2ab)，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为eq f(a2b2c2d2,2ab).素养提升利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了

22、数学建模的核心素养1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A.eq f(,6) B.eq f(5,6)C.eq f(,6)或eq f(5,6) D以上均不对答案A解析l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，故选A.2已知向量m，n分别是平面和平面的法向量，若cosm，neq f(1,2)，则与的夹角为()A30 B60 C120 D150答案B解析设与所成的角为，且090，则cos |cosm，n|eq f(1,2)，60.3直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA9

23、0，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.eq f(1,10) B.eq f(2,5) C.eq f(r(30),10) D.eq f(r(2),2)答案C解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CACB1，则B(0,1,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，A(1,0,0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1).故eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，

24、1)，eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1)，所以coseq o(BM,sup6()，eq o(AN,sup6()eq f(o(BM,sup6()o(AN,sup6(),|o(BM,sup6()|o(AN,sup6()|)eq f(f(3,4),f(r(6),2)f(r(5),2)eq f(r(30),10).4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，eq o(OC,sup6()(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为，则cos _.答案eq f(2,3)解析cos

25、 eq f(o(OC,sup6()n,|o(OC,sup6()|n|)eq f(4,23)eq f(2,3).5正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_答案eq f(r(3),3)解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面ACD1的一个法向量为eq o(DB1,sup6()(1,1,1)又eq o(BB1,sup6()(0,0,1)，则coseq o(DB1,sup6()，eq o(BB1,sup6()eq f(o(DB1,sup6()o(BB1,sup6(),|o(DB1,sup6()|o(BB1

26、,sup6()|)eq f(1,r(3)1)eq f(r(3),3).1知识清单：(1)两条异面直线所成的角(2)直线和平面所成的角(3)两个平面的夹角2方法归纳：转化与化归3常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.eq f(5r(22),66) Beq f(5r(22),66) C.eq f(5r(22),22) Deq f(5r(22),22)答案A解析eq o(AB,sup6()(2，2，1)，eq o(CD,sup6()

27、(2，3，3)，coseq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(CD,sup6(),|o(AB,sup6()|o(CD,sup6()|)eq f(5,3r(22)eq f(5r(22),66)，直线AB，CD所成角的余弦值为eq f(5r(22),66).2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面夹角为()A45 B135C45或135 D90答案A解析cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,1r(2)eq f(r(2),2)，即m，n45.所以两平面的夹角为45.3设直线l与平面相交，且l的方向向量

28、为a，的法向量为n，若a，neq f(2,3)，则l与所成的角为()A.eq f(2,3) B.eq f(,3) C.eq f(,6) D.eq f(5,6)答案C解析线面角的范围是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).a，neq f(2,3)，l与法向量所在直线所成角为eq f(,3)，l与所成的角为eq f(,6).4若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的余弦值为()Aeq f(4r(11),33) B.eq f(4r(11),33) Ceq f(r(913),33) D.eq f(r(913),33)答案D解析设与l所

29、成的角为，则sin |cosa，n|eq f(|2，3，34，1，1|,r(499)r(1611)eq blc|rc|(avs4alco1(f(4,3r(11)eq f(4r(11),33)，故直线l与所成角的余弦值为eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4r(11),33)2)eq f(r(913),33).5正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30 B45 C60 D90答案B解析如图所示，建立空间直角坐标系，设PAAB1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是eq o(AD,sup6()(0

30、,1,0)，取PD的中点E，则Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，易知eq o(AD,sup6()是平面PAB的法向量，eq o(AE,sup6()是平面PCD的法向量，coseq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()eq f(r(2),2)，平面PAB与平面PCD的夹角为45.6.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_答案eq f(,2)

31、解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1Px，则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，eq o(OP,sup6()(1，x1,2)，eq o(BM,sup6()(2,0,1)所以eq o(OP,sup6()eq o(BM,sup6()0，所以直线BM与OP所成的角为eq f(,2).7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_答案eq f(r(10),5)解析如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,

32、1)，C1(0,2,1)，eq o(BC1,sup6()(2,0,1)连接AC，易证AC平面BB1D1D，平面BB1D1D的一个法向量为aeq o(AC,sup6()(2,2,0)所求角的正弦值为|cosa，eq o(BC1,sup6()|eq f(|ao(BC1,sup6()|,|a|o(BC1,sup6()|)eq f(4,r(8)r(5)eq f(r(10),5).8已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 _.答案eq f(3r(11),11)解析如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为

33、1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,3)，Feq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(2,3)，所以eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,3)，eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,3)，则eq blcrc (avs4alco1(n2o(AE,sup6()0，,n2o(EF,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(yf(1,3)z0，,xf(

34、1,3)z0.)取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(3r(11),11).所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为eq f(3r(11),11).9.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值解以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，eq o(A1B,sup6()(2,0，4

35、)，eq o(C1D,sup6()(1，1，4)，coseq o(A1B,sup6()，eq o(C1D,sup6()eq f(o(A1B,sup6()o(C1D,sup6(),|o(A1B,sup6()|o(C1D,sup6()|)eq f(3r(10),10)，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq f(3r(10),10).10四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDeq r(2)AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小(1)证明如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a，

36、0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，eq o(AC,sup6()(a，a，0)，eq o(DP,sup6()(0,0，h)，eq o(DB,sup6()(a，a，0)，eq o(AC,sup6()eq o(DP,sup6()0，eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()0，ACDP，ACDB，又DPDBD，DP，DB平面PDB，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)解当PDeq r(2)AB且E为PB的中点时，P(0,0，eq r(2)a)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(1,2

37、)a，f(r(2),2)a)，设ACBDO，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，0)，连接OE，由(1)知AC平面PDB，AEO为AE与平面PDB所成的角，eq o(EA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a，f(1,2)a，f(r(2),2)a)，eq o(EO,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(2),2)a)，cosAEOeq f(o(EA,sup6()o(EO,sup6(),|o(EA,sup6()|o(EO,sup6()|)eq f(r(2),2)，AEO45，即AE与平面PDB所成

38、角的大小为45.11如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为()A.eq f(r(5),5) B.eq f(r(5),3)C.eq f(2r(5),5) D.eq f(3,5)答案A解析不妨设CACC12CB2，则eq o(AB1,sup6()(2,2,1)，eq o(C1B,sup6()(0，2,1)，所以coseq o(AB1,sup6()，eq o(C1B,sup6()eq f(o(AB1,sup6()o(C1B,sup6(),|o(AB1,sup6()|o(C1B,sup6()|)eq f(202211,r(9)r(5)eq f(r

39、(5),5).所以所求角的余弦值为eq f(r(5),5).12已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60 B90C45 D以上都不对答案B解析以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以eq o(A1E,sup6()(0,1，1)，eq o(D1E,sup6()(1,1，1)，eq o(EA,sup6()(0，1，1)设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)，则

40、eq blcrc (avs4alco1(no(A1E,sup6()0，,no(D1E,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(yz0，,xyz0，)令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，eq o(EA,sup6()eq f(no(EA,sup6(),|n|o(EA,sup6()|)eq f(2,r(2)r(2)1，设直线与平面A1ED1所成角为，则sin 1，所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.13在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.答案eq f(12,5)解

41、析平面xOy的法向量n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(3x4y0，,3xaz0，)即3x4yaz，取z1，则ueq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，f(a,4)，1).而cosn，ueq f(1,r(f(a2,9)f(a2,16)1)eq f(r(2),2)，又a0，aeq f(12,5).14已知正ABC与正BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为_答案eq f(r(5),5)解析取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系设BC1，则Aeq blc(rc)(avs4alco1(0

42、，0，f(r(3),2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，0，0).所以eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)，eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(r(3),2)，eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，0).由于eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)为平面BCD

43、的一个法向量设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)所以eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)yf(r(3),2)z0，,f(r(3),2)xf(1,2)y0，)取x1，则yeq r(3)，z1，所以n(1，eq r(3)，1)，所以cosn，eq o(OA,sup6()eq f(r(5),5).15如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDCeq f(,3)，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_答案eq f(r(2),4)解析ACBC2，D是AB