高中数学选择性必修一 第3章专题7 双曲线的离心率常考题型专题练习

1、双曲线的离心率考向一 根据a,b,c的值或关系直接求离心率1、（1）已知点(2，3)在双曲线C：(a0，b0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率_；（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_；【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C可得 又焦距为4，所以c=2 ，联立，解得，所以双曲线C的离心率当焦点在x轴时，由题意可得当焦点在y轴时，由题意可得2、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于 .【答案】【解析】由,由F1AF2=90,得,即

2、(3a)2+a2=(2c)2,得e=.考向二 根据公式求离心率1、渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是AB1CD2解析 根据渐进线方程为 QUOTE xy=0 的双曲线，可得 QUOTE a=b ，所以 QUOTE c=2a ，则该双曲线的离心率为 QUOTE e=ca=2 ，故选C2、若双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的离心率为eq r(3)，则其渐近线方程为()Ay2x Byeq r(2)xCyeq f(1,2)x Dyeq f(r(2),2)x【答案】B【解析】在双曲线中，离心率eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)eq s

3、up20(2)eq r(3)，可得eq f(b,a)eq r(2)，故所求的双曲线的渐近线方程是yeq r(2)x.3.若双曲线 eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.eq f(r(7),3)B.eq f(5,4)C.eq f(4,3)D.eq f(5,3)【答案】D【解析】(1)由题意知eq f(b,a)eq f(4,3)，则e21eq f(b2,a2)eq f(25,9)，所以eeq f(5,3).4、设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|P

4、F1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为 。【答案】eq f(5,3)【解析】考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|eq f(9b24a2,4).又已知|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，eq f(9,4)abeq f(9b24a2,4)，得eq f(b,a)eq f(4,3)(负值舍去)该双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)eq sup20(2)eq r(1blc(rc)(avs4alco

5、1(f(4,3)eq sup20(2)eq f(5,3).5、设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为 。【答案】eq r(17)【解析】由双曲线的定义知，(|PF1|PF2|)24a2，所以4a2b23ab，即eq f(b2,a2)3eq f(b,a)4，解得eq f(b,a)4(1舍去)因为双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)，所以eeq r(17).6、已知直线l过点A(-1,0)且与B：x2+y2-2x=0相切于点D，以坐标轴

6、为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的离心率为 。【答案】e【解析】可设直线l：yk（x+1），B：x2+y22x0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，可得渐近线方程为，直线l方程，联立x2+y22x0，解得即D（），设双曲线的方程为又双曲线E过点D，代入D的坐标，可得则双曲线的方程为则考向三 根据几何关系找a,b,c的关系求离心率1、已知F为双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B若，则C的离心率是ABCD2【答案】A2、双曲线的左右焦点分别为的直线交双曲线左支于A,B两点，是以A为直角顶点的直角三角形，且，若该双曲线的离心率

7、为e，则ABCD【答案】D3、已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为() A.eq r(5) B2 C. eq r(3) D.eq r(2)【答案】D【解析】设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHeq r(3)a，所以M(2a，eq r(3)a)将点M的坐标代入双曲线方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得ab，所以eeq r(2).故选D.4、过双曲线C：eq f(x2,a2)eq

8、 f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_【答案】2eq r(3)【解析】如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，eq r(3)b)，此时kPF2eq f(r(3)b,c2a)eq f(b,a)，得到c(2eq r(3)a，即双曲线C的离心率eeq f(c,a)2eq r(3).5、已知F1，F2是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形M

9、F1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e_【答案】eq r(3)1【解析】依题意知，F1(c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，eq r(3)c)，所以MF1的中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,2)，f(r(3),2)c)，代入双曲线方程可得eq f(c2,4a2)eq f(3c2,4b2)1，又c2a2b2，所以eq f(c2,4a2)eq f(3c2,4（c2a2）)1，整理得e48e240，解得e242eq r(3)(e242eq r(3)1舍去)，所以eeq r(3)1.6、设双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近

10、线上各存在一点Q，P使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 .【答案】【解析】依据题意作出如下图像，其中四边形OPFQ为矩形，双曲线的渐近线方程为：，所以直线QO的方程为，直线QF的方程为：，联立直线OQ与直线QF的方程可得：点Q的坐标为：，又点Q在双曲线上，所以7双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2=a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若，则C的离心率为 。【答案】【解析】由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a，|AB|BF2|，可得|AF1|2a，则|AF2|AF1|+2a4a，化简可得c410a2c2+13a40，可得e410e2+130，解得e2，

11、可得，8、已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若则该双曲线的离心率为( )A2B3CD【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，故选D。考向四 椭圆与双曲线综合求离心率1、已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_【答案】【解析】如图，由椭圆定义及勾股定理得，可得 ， 同理可得 即，故答案为：2、已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线