高数 二重积分的计算

1、高数 二重积分的计算第1页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第2页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第3页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解

2、法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则作草图、选择类型、确定上下限-后积先定限、限内化条线第4页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解1: 及直线1第5页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解2: 为计算简便, 后对 y 积分,及直线则 第6页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 第7页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，

3、星期四说明:选择积分序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；积分域的划分，块数越少越好第8页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例4. 交换下列积分顺序解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则第9页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例5. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,第10页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线 =常数, 分划区域D 为在极坐标系下, 用同心圆 =常数第11页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四对

4、应有在内取点即第12页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四则1、极点在边界外注意：积分域的边界曲线用极坐标表示如何确定上下限？第13页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四2、极点在边界上(1)(2)第14页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四3、极点在边界内第15页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四何时选用极坐标？积分域D形状：圆域、环域、扇域、环扇域被积函数形式：第16页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例6. 计算其中解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐

5、标计算.第17页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四注:利用例6可得到一个反常积分公式Rs1s2第18页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例7. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 由对称性可知o第19页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例8:其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.第20页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例9. 交换积分顺序提示: 积分域如图第21页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分 第九章

6、 第22页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量 M .密度函数为第23页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质: 下列“乘积和式” 极限记作第24页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四二、三重积分的计算1. 利

7、用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 第25页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四如图，方法1 . 投影法第26页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四得第27页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四其中 为三个坐标例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解:面及平面第28页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例2. 计算三重积分解: 第29页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四解第30页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四

8、第31页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四方法2. 截面法记作第32页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例2. 计算三重积分解: 用“先二后一 ” 注：被积函数为一元函数时，多选用截面法第33页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例3 .计算积分其中是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =利用“截面法” 计算方便 .第34页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四小结: 直角坐标系三重积分的计算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”“三次积分”具体计算时应根据二种

9、方法(包含6种次序)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 第35页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四 例4：设计算提示: 利用对称性原式 = 奇函数灵活应用对称性：第36页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例5：计算解：积分域关于y=x、y=z、x=z平面对称第37页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四1. 将用三次积分表示,其中由所提示:六个平面围成 ,第38页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第

10、39页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第40页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四其中为由例1. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.第41页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例2. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =第42页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四解知交线为第43页，共58页，2022年，5月20日，

11、17点29分，星期四第44页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四解所围成的立体如图， 第45页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四所围成立体的投影区域如图， 第46页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四第47页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第48页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积

12、函数用球面坐标表示时变量互相分离.第49页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例5. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面第50页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四例6.求曲面所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 第51页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四第52页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四第53页，共58页，2022年，5月20日，17点29分，星期四第54页，共58页，2022年，5月2