概率论与数理统计第22讲

1、1概率论与数理统计第22讲本文件可从网址 上下载(单击ppt讲义后选择概率论子目录)2区间估计3基本概念用点估计来估计总体参数, 即使是无偏有效的估计量, 也会由于样本的随机性, 从一个样本算得估计量的值不一定恰是所要估计的参数真值. 而且, 即使真正相等, 由于参数值本身是未知的, 也无从肯定这种相等. 到底二者相差多少呢? 这个问题换一种提法就是, 根据估计量的分布, 在一定的可靠程度下, 指出被估计的总体参数所在的可能数值范围. 这就是参数的区间估计问题. 4区间估计的具体做法是, 找两个统计量5区间估计示意图1-aa/2a/21-a为置信系数, 置信概率或置信度a为检验水平6总体期望值

2、Ex的区间估计第一种情形: 方差已知, 对Ex进行区间估计71. 总体分布未知利用切贝谢夫不等式进行估计. 在第五章中, 曾提到对任何随机变量x(不论它的分布如何), 只要Ex,Dx存在, 对任给的正数e0, 满足8从总体x中抽取样本(X1,X2,.,Xn),9若要求10一般地, 若要求11切贝谢夫区间估计示意图1-aa/2a/212例1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡, 从中抽取了10个进行寿命试验, 得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1200, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200已知其方差Dx=8, 试找出灯泡的平均寿命区间(a=

3、5%).13因为切贝谢夫不等式对任何分布的随机变量都成立, 所以用这种方法估计Ex是普遍适用的. 但是这种办法比较粗糙, 精度不高. 对某些具体类型的随机变量还可以有更精确的估计形式, 下面介绍正态总体寻找置信区间的方法.142. 正态总体15则16例如, 当a=0.05时, ua=1.96, 有17查表示意图x0a/21-a/2ua18例2 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡, 假设灯泡的寿命x服从正态分布, xN(m,8), 从中抽取了10个进行寿命试验, 得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1200, 1250, 1040, 1130, 1300, 120

4、0,试找出平均寿命区间(a=0.05).解 因为a=0.05, 所以ua=1.96,而n=10, s=2.828419例3 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布, 其方差s2=0.1082. 现在测定了9炉铁水, 其平均含碳量为4.484. 按此资料计算该厂铁水平均含碳量的置信区间, 并要求有95%的可靠性.解 设该厂铁水平均含碳量为m, 已知a=5%, 所以ua=1.96, m的置信系数为95%的置信区间是203. 一般总体大样本下Ex的区间估计根据中心极限定理, 对于不是正态分布的一般总体x(Ex=m,Dx=s2), 当样本容量相当大时, 渐近地服从正态分布, 故大样本情况

5、下, 对于一般总体仍可用正态总体的办法对Ex进行较精确的区间估计.在n=30时, 就可把 看作近似服从正态分布N(m,s2/n), 当然n越大越好.21第二种情形: 方差Dx未知, 对Ex的区间估计如果方差Dx未知, 大样本下可用S2来作为Dx估计值, 仍可按正态分布的办法来进行区间估计224. 方差未知的正态总体, 小样本下Ex的区间估计设样本(X1,.,Xn)来自正态总体N(m,s2), 由于s2未知, 则令对于给定的a和n-1查t分布临界值表确定 ta使23即24例4 假定初生婴儿(男孩)的体重服从正态分布, 随机抽取12名婴儿, 测体重为3100, 2520, 3000, 3000,

6、3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540. 试以95%的置信系数估计新生男婴儿的平均体重(单位:克).解 设新生男婴儿体重为x克, 由于x服从正态分布, 方差s2未知, 因此要查t分布表.对a=0.05, 因样本数n=12, 则查自由度为11的t分布表, 得ta(12-1)=2.20125再计算26(二) 小样本下正态总体方差s2的估计27设样本(X1,.,Xn)来自正态总体N(m,s2). 则c2=(n-1)S2/s2服从具有n-1个自由度的c2分布, 对于给定的a, 查表可以确定a及b, 使得28在确定a, b时, 一般是取aba/2a/21-a29例5 假定初生婴儿(男孩)的体重服从正态分布, 随机抽取12名婴儿, 测体重为3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540. 对婴儿体重的方差进行区间估计(a=0.05)解 计算可得(n