数值计算方法复习要点

1、第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算 中常采用“递推化”方法。4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步

2、来近似替代。算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性(包含时间复杂性和空间复杂性)。时间复杂度是算法耗费时间的度量。算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。4、舍入误

3、差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差， 这种误差称为舍入误差。绝对误差、相对误差定义2记x*为x的近似数，称 E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。定义3称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。实际运算时也将 Er*(x)=(x-x*)/x* 称为近似数x*的相对误差。“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是 6或以上则进1,如果尾数是5,则规定: 前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。定义4将近似数x*写为十进制形式nx*10m 1 aj10 j, m为整数，a1 0j 1若其中x*的最末一位数an是

4、经过“四舍五入”得到的，即*1 ) m n 1x x -10 2(最后一位是因为进 1,实际上只进0.5或舍去最多0.5。)则称近似数x*具有n位有效数字。近似数x*的有效数字位数n越大，则近似数的绝对误差限便越小，若近似数具有n位有效数字，则相对误差限为L *10 n 1Er x 2a1第二章一元非线性代数方程的求解对半分法适用条件：假设函数f在a,b上连续(记为f C Ca,b) ,f在区间端点异号，即f(a)*f(b)0。求解方法：1、将区间a,b分半，取中点(a+b)/2 给 x* ,求 f(x*)。若 | f(x*) | 1，则 x*是 f(x)=0 的近似解，输出x*，停止计算，否

5、则作下一步。2、计算 f(a)*f(x*),若 f(a)*f(x*)0,则 b= x* ,否则 a= x* ,形成一个有 f(x)=0 的解的新的区间，其长度比原区间少一半。3、对新的含根区间重复上述步骤直到区间长度|a-b| 2或| f(x*) | 1 。一般迭代法如何得到迭代格式；将方程f(x)=0化为一个等价同解方程。例f(x)= ()(x)-x可化为x=()(x),且()(x)是连续函数。因此求f的解变为求曲线y=()(x)与直线y=x交点的横坐标。解曲线y= j (x)与直线y=x 交点的横坐标。给定一个初值 x0(x 的初始近似值)。由曲线y=()(x)得xn+1= j (xn)

6、, n=0, 1,2,。把初始值x0代入上式的右端得到 x1 ,再将x1代入右端得到x2 ,，如此重复， 得到迭代数列xn,其中xn+1=()(xn) , n=0, 1, 2,称为解方程f(x)=0 的一个迭代格 式，x0称为迭代初值。如何判断是否压缩映射；反文？论自卷中液忆下切布43当夕&M7时商湾(，caL3)kV%)为 .仪工lA同慢物kWfMwU广对 其中OVLL工方落数，回用+机4,打上办。天偏膜型.若dx)CiaK即俄值句上有一阶连续导数)，并且C1)当K三W臼时，御用三1力口卜)囤金句上的最大值为(上g 才3小“为起闻解仔 s蒙为夺方饮於. _ta.压缩映射定理定理2迭代收敛定理

7、或压缩映射定理、不动点定理设迭代函数4 (x)在a,b上具有连续的一阶导数，且(1)当 xC a,b时，。(x) C a,b(2)存在正数L1,使对任意xCa,b有|6(x)| L1成立，则方程x=。(x)在a,b上有唯一不动点(根)x ,且对任取初始近似值 x0C a,b,迭代方法xn+1=()(xn) (n=0,1,2,)产生的序列xn均收敛，且收敛于这个不动点 x,即lim xw = x*nT 6(2)误差估计式成立：1父一工工rx/ix柱-L(3)误差估计式成立：Vt 到取负余代 4岁八4小攸的亍，二。点口,切依噌-故收敛阶牛顿迭代格式的收敛阶是 2,即平方收敛。弦截法双点弦截法；单点

8、弦截法；友用弦就匕可笺时）的贡子苞分用常代初造“ X,旭1次 、=源一带叱*）曰,2电秫小壮弘做法.笈弦裙该中,茗每次天户固唬当（%, f%J）,网上忒军方如尸外-舒河（维4）E一超方i不为用殳弦制法，收敛条件；与牛顿法一样，当在 根的领域内有直至二阶 的连续导数且 r（a时，弦截法具有局部收敛性收敛阶弦截法的收敛速度比牛顿法稍慢，但也是超线性收敛，其收敛阶为1.618。第三章解线性代数方程组的直接法高斯消元法消元步骤：（这里只是简述，具体请参看ppt）第一步：消元过程，即把原方程组变为上三角方程组的过程第二步：把已求得的 x回代到方程组的其他方程中，从而求得另外的X,此过程称为回代过程，从而

9、得出方程组的解公式力靖五 k二L ）7H口-K欢i克1卬一修叫名由1帏无住做9,斥号于手彳二），2,.列主元消元法步骤犷企访MJ,着道*可，.即证 /碟湍同”输彳第4方&弓嚼找想调，运方拄上沏的方诂力史或竽上 生仇哨2,这就先如同之谪初4 .矩阵的Lu分解法能否作Lu分解的定理（定理 2、3）;冠铉44低4府G392西方 一处队h .八认日7 A 一 心Azi 比） :km &匕-G,它月的V句M次记为6甬的八的彳啊主54训式-“岳祠2君绿漕A筑工7即方句忖3始d 3 3地酉4必4-J楙*2 吗LA笊什LU今昧回咐的才叮型返门Ai在2夕就 人冽筠 其词 1 期的他可侪自今帔存转位用养奇齐，用以

10、小：入尸血 期）A % ”1-益L 0后精.Lu分解法解方程组第 k 步，在前 k-1 步已经求出了 uij ; i=1 , 2,k-1 ; j=1 , 2,，n, lij ; i=1 , 2, n;j=1 , 2,，k-1各兀素。或认仇笔w尹f九专用上力第钏或U”或跖囹懵揖M春一人#丁.限卜13?4心/叼一人广t十乂/5,。目、此eL4力/阳的为，上讨可化片/*屁叼+ 一上呵才T-曰.出产取耳尸匕小.二叶=叼一言，6叼 问. 2/5，”不，干K卜”?或乙功第V列马名亳句军S印冽牛货：方切色/A缶峰仁税为r Ur K T的七八”TkL7Kd qklf呼+ 产&+卡*孑扁W二百:人解K , ”i

11、Lip仁力巧2 , ,匕成阡化lir1彳:;“，3乂1“t2止七_体t7j（/kx - 3jk1gF/，小二（勺上一蔷/依K）九一九彳二也川.Rrk9苗匕丁暮火与匕，澜得（山产 阂-手加呵 在O“L彳二小”M）/北=（领一g4七次乂 二扪*中5向量和矩阵的范数定义；对于向量：安！切银?银1居y笺灯辿昨国室/仙13目璃虹忸70,孝与与且灰刍抽。时成玄B对径慧里象L % it w i曰刈网叭耳间十切图甘心%驷或整.对于矩阵:淑2 77假%71 H方博儿花XT次一非例转泵fWGlS是。抬|尸0簿刍与旦伍力/)“减学邙线教入JMh!让则台位士多两，n西方静d月翁山寸BMMR*区3?心叫痔心【!|3闻黄

12、JI即* A仅花彖常用范数记为为的元素,常用的矩阵范数是IHIL =maxSM列范数a范数)lJf7 J=lI乩二maxtM行范数(无穷范数) lf 工= x-OlAx-Qb =(Z Q l4卜+Q1= / - OA g = 0-Yb,x = Bx + g (2)xk) = Bx(k-l)g (3)迭代矩阵；求去=为先把方程写成等价形式工=反+g,从而构造迭代序列了=放津川+g 其中,为事先给定（迭代初值）， B为迭代矩阵，迭代收敛定理；定理1将方程组为;8写成迭代格式）二区产+ g （4）. 如果迭代矩阵B的某一种范数小丁1即忸|仁1 L 则对任给的初始向量”，由式（4）产生的迭代序列上闺

13、必收敛，且收敛方程匆Av二b的唯一解工；定理2 迭代格式/）-区产-，）十g收敛于小-b的解的充要条件是B的谱半径仍） Jflh 马.称/y*处J为函初心淀点心吃的一阶英商记为kn卜工一s额卜巧为通甄度点为的二阶差奇， 演一黑一股地，时-7 上11=（-%）（方47中4乂 =5,、法伟经 费依序了声）他=。僧 （即做）彻如为仅）而强） 回耕为例）第在闻DbbJ上笏力-沅U次为攻忒.至海%&T上倘旌就粉，加网中明艺加T上优格议仪也存 本把2杖仞fmw*欠老4叶绿）先为嗑五等如燃力，利多条泅电 杆仅并V叁A6%）3求非门“父丧麓隹不超m血源在计算机上求导：显格式方法 推导显格式方法求一阶导数谈我J

14、 一h幺同La，上加灯勺等62节九备h鼻M询i菽二明 L泮例/也/你），室?i讨雪衣由?口/*斛）处肺冽4认与杉心熬烽生巨吓奇1虫7%）比九为 a伙）二十附。丁依W”侬）+冬叼纳+铲/标 十之婚（七对叶 / 口玄）衣中冲知）今次=为十二久*卡上* 中乐T1箱，可加（） = 1除）十人/例*7*）4 &f7.叶右-标中G? 中加工加力-月饱1）寸初”例）1拧0十和哪十G）T式布 卡次件）一卡望H）=2&f 7俏）叶 七?k 令求通除 .叼侏）二增及曼十a）盍,做 包芸姆坦,1川 0 .Tf动求我佯于导公大 要迷边网星 BL_在S式计个/=。，仪=%+却* *恤+A/厘，南_才仁十2五，=,依“公

15、丁%）寸蜉 *七）寸缪/%w十一tb 依十AJ=#t）十甲嫡十台W帆4-冬代脸T 切 %ix17）喈 必到卜4伊加工一3）-列发，错盾”旅叶： 令稿除U仿仪叫我f伙没网5J电当南0 %也电在川或疗杂1=1止疗.疗“耳,欠;也相 叫I银ff六血嘤a ,贸内）_ 事代并怖*?廿2s主建击。优丛如L第七章最小二乘法解矛盾方程组矛盾方程组的定义在实际问题中所归结出来的数学模型，往往是一个“没有解”的含n个未知数，m个方程的线性代数方程组，其中方程的个数 m大大超过未知数的数目 n,称这样的方程组为矛盾方程组。求解方法期 I与先即布同*依硒.叫疝陕%n西飞四仁市魏 依云量力契期的犷希搞3 A1增肺,&名

16、心炼糕-切: 雁裾依跳, 於4阴炉邛卜力辕5二乘同是云夕加-即：=阂外心注亍祀蛆或&我才我似 呼 殳-乃坦呼.为宸-小 蛇何去且上$昱奋力力T拄遥名凡, 4 口前巾彳指m q才专如辨和力全自左於钩组鼻t、匚安朴数据拟合的最小二乘法拟合误差的平方和鼠=九d 6上）拉酋伍才火A支今 而知者亡彳淞*摭弓涔言叱弗” it工99 ,、1/&） =若可拟合函数、拟合参数. jl -一.一 - 当装电被旃奂甘平如6,CfJ电版为仅宏龙我?” 5/才守槌0匕%）k二心/州s7dA今会委U= /仪 s淤拼强 毋ZM, k=/ .乙/翔w拉 公士汉、5&流力KA今争余线性拟合公式、对数拟合公式、双曲线拟合公式 推导各拟合曲线的法方程组C I）线性模型y =有正规方程Ifi.Matw MJWI*（其他的拟合公式可以用矛盾方程解法推导）第八章一阶常微分方程的初值问题欧拉公式要求推导利用Taylort升式）为 ）+ 时（/）+ V%）图