六年级数学下册知识讲义 多边形和正多边形-鲁教版(五四学制)

1、初中数学学习目标 一、考点突破多边形和正多边形了解多边形和正多边形的有关定义，知道正多边形的特点，能够解决简单的多边形问题。 二、重难点提示重点：掌握正多边形的定义和简单性质。难点：对多边形和正多边形中角的认识。考点精讲1. 多边形由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫做多边形。如多 边形 ABCDEF 中，点 A、B、C、D、E、F 是多边形的顶点；线段 AB、BC、CD、DE、EF、 FA 是多边形的边；FAB、ABC、BCD、CDE、DEF、EFA 是多边形的内角（简 称多边形的角）；AC、AD、AE 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形 的对角线

2、。EDFCAB思考：边形有多少个顶点？多少条边？多少个内角？过边形的每一个顶点有多少条对角 线？（边形有个顶点，条边，个内角。过边形的每一个顶点有（）条对角线。）2. 正多边形各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形。正多边形的性质：各边相等；各角相等。正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形判断：各个内角都相等的多边形为正多边形。（ ）答案：错误，长方形的各个内角都等于 90，但不是正四边形，必须同时满足各边相 等，各角也相等。例题 1 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则 这张纸片原来的形状不可能是（ ）A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形思路分析

3、：一个 n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是 n 边形或（n1）边形或（n 1）边形。答案：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边 形或三角形或五边形，不可能是六边形。故选 A。技巧点拨：剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一 个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条。例题 2 一个四边形的周长是 46cm，已知第一条边长是 a cm，第二条边长比第一条边 长的三倍还少 5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和。（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当 a7cm 时还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？思路分析

4、：（1）根据题意分别运用代数式表示其他各边，再根据周长进行计算；（2） 注意根据（1）中的式子代入进行计算分析。答案：（1）根据题意得：第二条边是 3a5，第三条边是 a3a54a5，则第四条 边是 46a（3a5）（4a5）568a。答：第四条边长的式子是 568a。（2）当 a7cm 时不是四边形，因为此时第四边 568a0，只剩下三条边，三边长为： a7cm，3a516cm，4a523cm，由于 71623，所以，图形是线段。答：当 a7cm 时不能得到四边形，此时的图形是线段。技巧点拨：首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长 表示出第四条边。其中要注意合并同

5、类项法则。（2）中，只需根据（1）中所求的代数式， 把字母的值代入计算，然后分析图形的形状即可。例题 3 阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若 干个小三角形。图 1 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2 个，3 个，4 个小三角形。请你按照上述方法将图 2 中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数。 试把这一结论推广至 n 边形。思路分析：图 1 中，是作从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；是连接多边 形一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；是连接多边形内部的任意一点和多边形的 各个顶点，对其进行分割。根据上述方法分别进行分割，可以发

6、现所分割成的三角形的个数 分别是 4 个，5 个，6 个。根据这样的两个特殊图形，不难发现：第一种分割法，分割成的 三角形的个数比边数少 2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少 1，第三种分割法 分割成的三角形的个数等于多边形的边数。答案：如图所示：结合两个特殊图形，可以发现：第一种分割法把n 边形分割成了（n2）个三角形；第 二种分割法把 n 边形分割成了（n1）个三角形；第三种分割法把 n 边形分割成了 n 个三角 形。技巧点拨：此题是一个规律探索型问题，解答这类问题时要能够从特殊中发现规律，进 而推广到一般。【方法提炼】多边形对角线的条数：（1）三角形没有对角线；（2）四边形有 2

7、 条对角线；（3）五边形有 5 条对角线；（4）六边形有 9 条对角线；（5）七边形有 14 条对角线；（n）n 边形有条对角线。同步练习（答题时间： 15 分钟）1. 下列图形中，多边形有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分 割成（ ）个三角形。A. 6 B. 5 C. 8 D. 7*3. 从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003 个三角形，则 这个多边形的边数为（ ）A. 2001 B. 2005 C. 2004 D. 2006*4. 从一个 n 边形的同一个顶点出发

8、，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形 分割成 6 个三角形，则 n 的值是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 95. 正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请 写出其中的两点：（1）_；（2）_。*6. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是_。*7. 已知正 n 边形的周长为 60，边长为 a。（1）当 n3 时，请直接写出 a 的值；（2）把正 n 边形的周长与边数同时增加 7 后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为 n7，周长为 67，边长为 b。有人分别取 n 等

9、于 3、20、120，再求出相应的 a 与 b，然后断 言：“无论 n 取任何大于 2 的正整数，a 与 b 一定不相等。”你认为这种说法对吗？若不对， 请求出不符合这一说法的 n 的值。答案1. B 解析：由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形（但这两个多边形都是凹多边 形），共 2 个。故选 B。2. B 解析：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个 七边形分割成 725 个三角形。故选 B。*3. C 解析：从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003 个三 角形，则这个多边形的边数为 200312004。故选 C。*4. C 解析：设多边形有 n 条边，则 n26，解得 n8。故选 C。5.（1）每条边都相等；（2）每个内角都相等。*6. n22n解析：多边形的每边上有 n1 个棋子，若 n（n1