初中数学人教八年级上册（2023年更新）第十三章 轴对称“线段最小值”在函数中的应用

1、最小值问题在函数中的应用蜀光绿盛实验学校：丁秀邦教 学目 标1、学生能掌握将军饮马问题中线段最短问题的数学模型，培养学生视图辨图的能力。2、经历探索函数与线段长度最值，三角形的周长最值的求解过程，会用数形结合的思想分析问题。3、培养转化的思想方法，体会数学模型的建构在函数中的应用。重 点建构数学模型让学生体会线段之和最小在函数中的应用难 点学生如何在函数中建构出将军饮马问题的数学模型，从而解决线段之和最短问题关 键从情境中抽象数学模型，认清两点与直线的位置关系，通过利用点关于直线对称求出最短距离，并在函数中利用此模型求最值。教学方法采用：“建模感悟”的教学法，让学生在画图中认识最短距离，从而提

2、高识图能力学情分析学生已经学习过“将军饮马”问题，有了关于线段之和最短的知识储备，学生能够做这方面的基本题型，本节课主要是将此数学模型运用到函数中，考察学生对知识的迁移能力。教 学 过 程教 学环 节教 师 活 动学 生活 动设 计 意 图一、回顾情境导入典例分析变式提升练习四、课堂小结五、作业设计课堂环节一：古希腊有一个关于“将军饮马”的问题，将军先从A地出发到小河边饮马，然后再去B地军营视察，饮马的地点选在哪里，才能使所走的总路程最短。课堂环节二：例1如图，已知点 A（1，2）和点B（3，4），在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小。变式训练11、如图反比例函数y= 4x 的图象上有两个

3、点A(1,4),B(a,1)。（1）则a= 。（2）在x轴上找一点M，使MA+MB的值最小，则M的坐标是多少？例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。（1）求A、B、C、D的坐标。 （2）在抛物线对称轴上找一点M使得ACM的周长最小。并求出点M的坐标和ACM的周长最小值。 变式训练22、如图所示，二次函数y=x2-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）点，与y轴交于点C（0，-3），在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，PA+PC= 。变式33、如图，抛物线y =x2+bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C

4、点，且A（一3，0）抛物线的解析式 ；顶点D的坐标 ；C点坐标 。点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，m的值及CM+DM的最小值是多少课堂环节四：1、本节课学习了线段之和最短问题在哪里函数图像上的应用。2、在已知直线上是怎样找出这个动点位置的。3、如图抛物线y=x2+2x+3，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。在x轴上找一点Q，使得|QD-QC|最大。课堂环节五：1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0），B（4，0），C（0，3）三点，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，若存在，求

5、出四边形PAOC周长的最小值，若不存在，请说明理由。2、如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与Y轴交于点C，顶点为D，E(1,2)为线段BC的垂直平分线与X轴、Y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标。（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小。（提示：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2互相垂直，则k1k2=-1）学生回忆思考曾经学习过的将军饮马问题，并相互交流，合作探索，加深此数学模型的理解认识学生思考、理解记忆，内化为自己的知识。学生合作、交流、独立完成变式1，反比例函数中的最短距离问题。学生在老师的引领

6、下识别在二次函数中利用将军饮马问题的数学模型。学生独立思考变式练习，在二次函数中构建数学模型进行求解让学生说出本节课的所学、所思、所感。学生跟随教师的提问思考有关两线段之差的绝对值最大在函数中的运用学生独立完成课后作业，巩固本节课的所学知识让学生经历回顾将军饮马问题的数学模型，既可以加深对此模型的认识，掌握利用作一个点的对称点去解决此类问题方法，又为后面解决二次函数中的最值问题作准备。教师引导学生分析如何利用将军饮马问题在一次函数的数学模型求解最短距离。让学生进一步掌握将军饮马问题的运用，培养学生的识图能力。引导学生在二次函数中，怎样识别两点与直线的位置关系，不受过多直线与曲线的干扰，要从众多的线中找到我们需要的元素，去建构我们要的数学模型，进而寻求答案。让学生巩固在二次函数中有关最短距离问题的综合运用。通过倾听学生的所思、所想、所感，了解本节课学生学习的情况，及时调整自己的后面教育教学方