初中数学人教九年级下册（2023年新编）第二十六章 反比例函数浅谈初中数形结合思想

1、 浅谈初中数形结合思想从广元近年一道中考题说起广元市利州区莲花初级中学 程瑞锋 数形结合的函数题历来是师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何、三角函数等多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，数形结合的函数题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我们先一起来看这道题目。题目：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与，轴交于B，A两点，且，OB4，OE2.（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）根据图象直接写出一次

2、函数的值大于反比例函数的值时，自变量的取值范围.阐述题意本题的已知条件是：一次函数y=ax+b与反比例函数y=k/x相交于C、D两点，与坐标轴相交于A、B两点。且知道直线AB与X轴夹角的正切值及线段OB和OE的长。由于此题是数形结合的题目，因此里面隐含着很多的条件，比如点B的坐标实际已经知道，点A的坐标也容易由角ABO的正切值及线段OB的长求出，知道了A、B点两点坐标直线AB的解析式就求出了，同理由线段OE的长及角ABO的正切值容易求出点E、C的坐标的值，从而求出反比例函数的解析式。（2）求的面积时，对于一般学生，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。问题关键于求出点D的坐标，学生不容易想到。最后（

3、3）问完全就转化到函数的数学结合思想了。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是。二、题目背景此题来自广元市2023年中考数学第22题，在知识点整合上很经典，非常有探索性和价值性。1、本题知识点涉及：一次例函数，反比例函数，平面直角坐标系，三角函数，求三角形面积，运用待定系数法求函数的解析式，方程思想、数形结合思想等。2、重在考查学生的基础知识、基本技能、基本活动经验和数学思想方法；提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识分析和解决问题的能力3、题目问题设置由浅入深，难度逐步提高。重在考查学生建模思想、方程思想，函数数形结合思想， 4、此题的评价

4、功能：从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入，考查了学生全面系统复习已掌握的数学基础知识、思想和方法，也考查了学生综合应用解决问题的能力。具有一定区分度。三、题目解答教师引导：题目当中有哪些已知条件？需要你求解的问题是什么？知道线段OB的长和角ABO的正切值，如何表示出B、A两点的坐标？点C的坐标与线段BE、及角ABO的正切值之间有什么联系？求出点A、B、C的坐标后，用什么方法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式？求的面积的关键要求出点D的坐标，如何求出点D坐标？求面积你有那些方法？（6）如何从函数图象上寻找一次函数比反比例值时自变量X的取值范围？你知道函数数形结合思想吗？条条

5、道路通罗马。同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。思路与解法一：从OB4，OE2这一条件出发，运用“数形结合”这一思想，可将条件集中到上，通过三角函数来解决。解法如下：解：（1）OB4，OE2，CE轴于E BE OB+OB6， OA=2，CE3 A（0，2）C（-2，3），将A、C代入直线与双曲线得 解之得 ， （2）过点D作DF轴于F ，可设D（4+2m,-m）（m0） 将D（4+2m,-m）代入双曲线得 解得D（6，-1）则， 故（或，） (3) 由“数”可知：实质是解不等式X+2-，分式不等式的解法需用到分类讨

6、论 当X0时，不等式可化为X24X120解得：2X0, 0X6当X0解得：X6又 X0 X-2综上可知，当X-2或0Xk/x的解集小结：本小题在原题基础上有了拓展，但条件和结论改变后，难度不大，便于学生积极主动参与深入探究,有利于学生系统复习数学知识、思想和方法。3、追问：（1）能否在X轴上找一点F，使以点A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形？（2）能否在Y轴上找一点F，使以点A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形？（3）能否在坐轴上找一点F，使以点A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形？这样的点有多少个？能写这些点的坐标吗？利用数学形结合，在坐标轴中轴中考查等腰三角形的存在性，（4）能否在X轴上

7、找一点P，使点P到点A、C的距离和最小，求出最小值。并写出此时P的点坐标。 这一追问把数学中著名的“将军饮马”问题引入到直角坐标系。拓展了复习的深度和广度。4、中考链接 一次函数和反比函数是近年各地中考必考查的知识点，涉及初中数学的重要的数学思想和方法。下面我们看一下近年来初中数学中考考查的相关题目。 1.（2023年绵阳22题）如图，设反比例函数的解析式为y=（k0）（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当ABO的面积为时，求直线l的解析式2.（2023年广安2

8、0题）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6，（1）求函数y=和y=kx+b的解析式（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y=的图象上一点P，使得SPOC=93.（2023年广元21题)如图，已知双曲线，经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限分支上的动点，过点C作CA 轴,过点D作DB 轴，垂足分别为A、B，连接AB、BC.(1)求的值；(2)若BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.特别是近年来，我们广元中考在一次函数和反比例函数相结合考查基本年年出现，这类题目我们进行初三复习时要引起特别重视。五、总结提升通过本题教学，提示我们在平时的教学实践中，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“触类旁通”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造性思维，数学素质，都将起作积极的推动作用。在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果