人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷【含答案】

1、人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷一、本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在空间直角坐标系中，向量 a=(2,3,5) ， b=(2,4,5) ，则向量 a+b= （ ） A.(0,1,10)B.(4,7,0)C.(4,7,0)D.(4,12,25)2.已知 a=(1,2,1),b=(1,x,2) 且 ab=13 ，则 x 的值为（ ） A.3B.4C.5D.63.已知向量 a=(2,3,1) ， b=(1,2,0) ，则 |a+b| 等于（ ） A.3B.3C.35D.94.在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 a=(1,2,1

2、) ，平面 的法向量为 n=(2,3,4) ，则（ ） A.l/B.lC.l 或 l/D.l与 斜交5.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为2， E 是 CC1 的中点，则点 C1 到平面 EBD 的距离为（ ） A.34B.63C.52D.2236.设平面 的一个法向量为 n1=(1,2,2) ，平面 的一个法向量为 n2=(2,4,k) ，若 / ，则 k= ( ) A.2B.-4C.-2D.47.在矩形 ABCD 中， AB=1 ， BC=2 ， PA 平面 ABCD ， PA=1 ，则 PC 与平面 ABCD 所成角是（ ） A.30B.45C.60D.908.如图所示，在三棱柱

3、 ABCA1B1C1 中， AA1 底面 ABC ， AB=BC=AA1 ， ABC=90 ，点 E 、 F 分别是棱 AB 、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角为（ ） A.120B.150C.30D.60二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给出下列命题，其中错误的有（ ） A.若空间向量 m 、 n 、 p ，满足 m/n ， n/p ，则 m/nB.若空间向量 m 、 n 、 p ，满足 m=n ， n=p ，则 m=pC.在空间中，一个基底就是一个基向量D.任意三个

4、不共线的向量都可以构成空间的一个基底10.以下命题正确的是（ ） A.若 p 是平面 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ， B ，则 b/ 的充要条件是 pAB=0B.已知 A ， B ， C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP=25OA+15OB+25OC ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C.已知 a=(1,1,2) ， b=(0,2,3) ，若 2546=1 与 2ab 垂直，则 k=34D.已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 1311.在直三棱柱 ABCA1B1C1

5、 中， BAC=90 ， AB=AC=AA1=2 ， E,F 分别是 BC,A1C1 的中点， D 在线段 B1C1 上，则下面说法中正确的有（ ） A.EF/ 平面 AA1B1B B.若 D 是 B1C1 上的中点，则 BDEF C.直线 EF 与平面 ABC 所成角的正弦值为 255 D.直线 BD 与直线 EF 所成角最小时，线段 BD 长为 322 12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1 ， H 为棱 AA1 上的动点，下列说法正确的是（ ） A.CHBDB.二面角 D1AB1C 的大小为 23C.三棱锥 HBCC1 的体积为定值D.若 CH 平面 ，则直线 CD 与

6、平面 所成角的正弦值的取值范围为 23,22三、填空题（4题，每题5分，共20分）13.在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 M(1,1,1) 关于 x 轴的对称点坐标是_. 14.已知 a =3,6, +6, b =+1,3,2,若 ,则=_. 15.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,所有棱长均为1,且 AA1 底面 ABC ,则点 B1 到平面 ABC1 的距离为_. 16.如图,在长方体 ABCDABCD 中,点 P,Q 分别是棱 BC , CD 上的动点, BC=4,CD=3,CC=23 ,直线 CC 与平面 PQC 所成的角为 30 ,则 PQC 的面积的最小值是_. 四、解答题

7、（6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，在棱长为4的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E,F 分别是 A1B1 和 B1C1 的中点 （1）求点 D 到平面 BEF 的距离； （2）求 BD 与平面 BEF 所成的角的余弦值 18.如图,在棱长为2的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点. （1）求 D1E 的长； （2）求异面直线 AE 与 BC1 所成的角的余弦值. 19.如图，四棱锥 SABCD 中，二面角 SABD 为直二面角， E 为线段 SB 的中点， DAB=CBA=3ASB=3ABS=90 ， tanASD=12 ， A

8、B=4 . （1）求证：平面 DAE 平面 SBC ； （2）求二面角 CAED 的大小. 20.如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAB 平面 ABCD,ABCD 是直角梯形， AB/CD,ABAD ， PA=PB,PAPB,AB=AD=12CD=2,E 是 PD 的中点. （1）证明： AE/ 平面 PBC ； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值. 21.如图矩形 ABCD 中， AB=2BC=22 ； E,Q 分别为 AB,CD 的中点，沿 EC 将点 B 折起至点 P ，连接 PA,PD,PQ . （1）当 PEB=60 时，（如图1），求二面角 PECB 的大小；

9、（2）当二面角 PECB 等于 120 时（如图2），求 PD 与平面 PAQ 所成角的正弦值. 22.如图,在四棱锥 PABCD 中, PA 底面 ABCD , ADAB , AB/DC , AD=DC=AP=2 , AB=1 ,点 E 为棱 PC 的中点. （1）证明: BEDC ; （2）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; （3）若 F 为棱 PC 上一点,满足 BFAC ,求二面角 FABP 的余弦值. 答案解析部分一、单选题1. A 解：由题意 a+b=(22,3+4,5+5)=(0,1,10) 故A2. C 解：由已知 ab=12x2=13 ，解得 x=5 故C3. C

10、 解： a+b=(3,5,1) 故 |a+b|=32+52+12=35故C4. C 解：直线l的方向向量为 a=(1,2,1) ，平面 的法向量为 n=(2,3,4) ， 因为 an=(2,3,4)(1,2,1)=26+4=0 ，所以 an ，所以 l 或 l/ ，故C.5. B 解：如图，利用等体积法， VC1EBD=VDC1EB ，设点 C1 到平面 EBD 的距离为d， 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为2，故 BD=22,BE=ED=5 ，如图，=ED2(12BD)2=52=3 ，即 SEBD=12BD=12223=6 ，又点 D 到平面 C1EB 的距离，即 D 到平面 C1

11、CBB1 的距离，为CD=2， SC1EB=1212=1 ，由 VC1EBD=VDC1EB 得， 136d=1312 ，故 d=26=63 .故B.6. D 解：因为 / ，所以 n1/n2，12=24=2k ，解之得 k=4 ， 故D7. A 解：建立如图所示的空间直角坐标系, 则 P(0,0,1),C(1,2,0),PC=(1,2,1) ，易知平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1) ,cosPC,n=PCn|PC|n|=12 ，PC 与平面 ABCD 所成的角为 30 ， 故A.8. D 解：以 B 为原点。 BC,BA,BB1 分别为 x.y.z 轴建立空间直角坐标系： 令 A

12、B=BC=AA1=2 ，则 B(0,0,0) ， E(0,1,0) ， F(0,0,1) ， C1(2,0,2) ，所以 EF=(0,1,1) ， BC1=(2,0,2) ，所以 cos=EFBC1|EF|BC1| =21+14+4=12 ，所以直线 EF 和 BC1 所成的角为 60 .故D二、多选题9. A,C,D 解：对于A选项，若 n=0 ，对于非零向量 m 、 p ，则 m/n ， n/p ，但 m 与 n 不一定共线，A选项错误； 对于B选项，对于空间向量 m 、 n 、 p ，满足 m=n ， n=p ，则 m=p ，B选项正确；对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空

13、间向量的一个基底，C选项错误；对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.故ACD.10. B,C,D 解：对于A，若直线 b ，则 pAB=0 成立，故 b/ 不是 pAB=0 的必要条件， A不符合题意；对于B，若 OP=25OA+15OB+25OC ，则 25(OPOA)=15(OBOP)+25(OCOP) ，所以 AP=12PB+PC ，所以 P ， A ， B ， C 四点共面，B符合题意；对于C，由题意可得 ka+b=(k,k+2,2k+3) ， 2ab=(2,0,1) ，若 2546=1 与 2ab 垂直，则 (ka+b)(2a

14、b)=2k+2k+3=0 ，解得 k=34 ，C符合题意；对于D，由题意 AB=(5,0,2) ， AC=(4,3,0) ，则 |AB|=25+4=29 , cosA=ACAB|AC|AB|=20529=42929 ,所以 sinA=1cos2A=1329 ,所以 AC 边上的高 |BD|=|AB|sinA=291329=13 ,D符合题意.故BCD.11. A,C,D 解：由题意可得 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(0,2,0) ， B1(2,0,2) ， C1(0,2,2) ， E(1,1,0) ， F(0,1,2) ，设 D(x,2x,2) ，EF=(1,0,2) ， B

15、D=(x2,2x,2) ，直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90 ，可得 AC 为平面 AA1B1B 的一个法向量，AA1 为平面 ABC 的一个法向量，对于A， AC=(0,2,0) ， EFAC=0 ，即 EFAC ，又 EF 平面 AA1B1B ，所以 EF/ 平面 AA1B1B ，A符合题意；对于B，若 D 是 B1C1 上的中点，则 BD=(1,1,2) ，所以 EFBD=1+4=5 ，所以 EF 与 BD 不垂直，B不正确；对于C，由 AA1 为平面 ABC 的一个法向量， AA1=(0,0,2) ，设直线 EF 与平面 ABC 所成角为 ，则 sin=cosEF,AA1

16、=EFAA1|EF|AA1|=452=255 ，C符合题意；对于D，设 B1D=B1C1=(2,2,0) ， (01)则 BD=BB1+B1D=(2,2,2) ，BDEF=2+4 cosBD,EF=BDEF|BD|EF|=2+522+1=15(3+243)+29 当 3+2=43 时，即 =14 时， cosBD,EF 取最大值，即直线 BD 与直线 EF 所成角最小，此时 BD=(12,12,2) ，|BD|=|BD|=322 ，D符合题意.故ACD12. A,C 解：以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0,

17、0,0) 、 B(1,0,0) 、 C(1,1,0) 、 D(0,1,0) 、 A1(0,0,1) 、 B1(1,0,1) 、 C1(1,1,1) 、 D1(0,1,1) ，设点 H(0,0,a) ，其中 0a1 .对于A选项， CH=(1,1,a) ， BD=(1,1,0) ，则 CHBD=(1)211+a0=0 ，所以， CHBD ，A选项正确；对于B选项，设平面 AB1D1 的法向量为 m=(x1,y1,z1) ， AB1=(1,0,1) ， AD1=(0,1,1) ，由 mAB1=x1+z1=0mAD1=y1+z1=0 ，取 z1=1 ，可得 x1=y1=1 ，则 m=(1,1,1)

18、，设平面 AB1C 的法向量为 n=(x2,y2,z2) ， AC=(1,1,0) ，由 nAB1=x2+z2=0nAC=x2+y2=0 ，取 x2=1 ，则 y2=z2=1 ，所以， n=(1,1,1) ，cos=mn|m|n|=133=13 ，所以，二面角 D1AB1C 的大小不是 23 ，B选项错误；对于C选项， AA1/CC1 ， AA1 平面 BCC1 ， CC1 平面 BCC1 ， AA1/ 平面 BCC1 ，H 到平面 BCC1 的距离等于点 A 到平面 BCC1 的距离，而点 A 到平面 BCC1 的距离为 1 ，即三棱锥 HBCC1 的高为 1 ，因此， VHBCC1=13S

19、BCC11=1312121=16 ，C选项正确；对于D选项， CH 平面 ，则 CH 为平面 的一个法向量，且 CH=(1,1,a) ，又 CD=(1,0,0) ， |cos|=|CDCH|CD|CH|=112+a2=12+a233,22 ，所以，直线 CD 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 33,22 ，D选项错误.故AC.三、填空题13. （1,1，-1） 解：点 M(1,1,1) 关于 x 轴的对称点坐标是（1,1，-1）. 故（1,1，-1）14. 2 解：因为 a b ，则 3+1=63=+62 ，解得 =2 15. 217 解：解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A32,12,

20、0,B0,1,0,B10,1,1,C10,0,1,则C1A=32,12,1,C1B1=0,1,0,C1B=0,1,1, 设平面ABC1的一个法向量为n=x,y,z ， 则有C1An=32x+12y1=0C1Bn=y1=0 ， 解得n=33,1,1 ， 则所求距离为C1B1nn=113+1+1=217. 故217.16. 8 解：以C为原点，CD，CB，CC为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则C（0，0，0）， C(0,0,23),PC=(0,a,23), 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0a4，0b3 QC=(b,0,23),PC=(0,a,23),CC=(0,0,23) ，

21、设平面PQC的一个法向量为 n=(x,y,z) 则 nPC=0nQC=0 ， ay+23z=0bx+23z0 ，令z=1，得 n=(23b,23a,1) ， nCC=23,|CC|=23,|n|=12b2+12a2+1 ， cos=112b2+12a2+1=12 ，12a2+12b2=3a2+b2=14a2b22ab ，解得ab8(当且仅当 a=b=22 时等号成立)，当ab=8时，SPQC=4，棱锥C-PQC的体积最小，直线CC与平面PQC所成的角为30，C到平面PQC的距离d=2 312=3 ， VC-PQC=VC-PQC ， 13423=13SPQC3SPQC=8 ，从而求出 PQC 的

22、面积的最小值为8。四、解答题17. （1）解：如图所示，以点 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz ， 依题意，得 B(4,0,0),D(0,4,0),E(2,0,4),F(4,2,4) ，则 BE=(2,0,4),BF=(0,2,4) ，设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z) ，则 nBE,nBF ，则 nBE=2x+4z=0nBF=2y+4z=0 ，即 x=2zy=2z ，由此取 z=1 ，可得平面 BEF 的一个法向量为 n=(2,2,1) ，又由 DB=(4,4,0) 所以点 D 到平面 BEF 的距离为 d=|DBn|n|=42+(4)(2)+0122+(2)2+12=16

23、3 （2）解：设 BD 与平面 BEF 所成角为 ，则 (0,2) ， 且 sin=|cos|=|DBn|DB|n|=d|DB|=16342+(4)2=223 ，所以 BD 与平面 BEF 所成角的余弦值为 cos=1sin2=1(223)2=13 18. （1）以 AD , AB , AA1 的正方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 D1(2,0,2) , E(0,2,1) ,可得 |D1E|=(02)2+(20)2+(12)2=3 ,所以 D1E 的长为3.（2）由(1)的坐标系,可得 A(0,0,0) , E(0,2,1) , B(0,2,0) , C1(2

24、,2,2) , 所以 AE=(0,2,1) , BC1=(2,0,2) ,设异面直线 AE 与 BC1 所成的角为 ,所以 cos=|cosAE,BC1|=|AEBC1|AE|BC1|=2522=1010 ,即异面直线 AE 与 BC1 所成的角的余弦值 1010 .19. （1）证明 二面角 SABD 为直二面角， 所以平面 SAB 平面 ABCD ，因为 DAB=90 ， ADAB ， 平面 ABCD 平面 SAB=AB ， AD 平面 ABCD ，AD 平面 SAB ，又 BS 平面 SAB ，ADBS ，ASB=ABS ， AS=AB ，又 E 为 BS 的中点， AEBS ，又 AD

25、AE=A ， BS 平面 DAE ，BS 平面 SBC ， 平面 DAE 平面 SBC .（2）解：如图， 连接 CA,CE ，在平面 ABS 内作 AB 的垂线，建立空间直角坐标系 Axyz ，tanASD=12 ， AD=2 ，A(0,0,0) ， B(0,4,0) ， C(0,4,2) ， S(23,2,0) ， E(3,1,0) ，AC=(0,4,2) ， AE=(3,1,0) ，设平面 CAE 的法向量为 n=(x,y,z) ，nAC=0,nAE=0, 即 4y+2z=0,3x+y=0, 令 x=1 ，则 y=3 ， z=23 ，n=(1,3,23) 是平面 CAE 的一个法向量，

26、SB 平面 DAE ， 平面 DAE 的一个法向量为 SB=(23,6,0) ，cosn,SB=nSB|n|SB|=2363443=12 ，由图可知二面角 CAED 的平面角为锐角，故二面角 CAED 的大小为 60 .20. （1）证明：取 PC 中点F，连接 BF,EF ， E 是 PD 的中点， AB/CD ， AB=12CD ， EF CD AB ， EF=AB=12CD 四边形 ABFE 为平行四边形， AE/BF ，BF 平面 PBC,AE/ 平面 PBC （2）解：取 AB 中点 O,PA=PB,POAB ， 平面 PAB 平面 ABCD,PO 平面 ABCD ，建立如图所示空间

27、直角坐标系 Oxyz ，则 B(1,0,0),D(1,2,0),P(0,0,1),C(3,2,0) ，PB=(1,0,1),PC=(3,2,1),DC=(4,0,0) ，设平面 PDC 的法向量为 n=(a,b,c) ，则 3a+2bc=04a=0 ，令 b=1 得 n=(0,1,2) ，cos=225=105, 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 105 21. （1）解：取 CE 中点 O ，连接 BP,BO,PO ， 因为 AB=2BC=2BE ，所以 BC=BE=2 ，因为 O 是 CE 的中点，所以 BOCE ，因为 CP=CB,EP=EB,CB=EB ，所以 PC=PE

28、，因为 O 是 CE 的中点，所以 POCE ，所以 POB 就是二面角 PECB 的平面角，因为 EP=EB=2,PEB=60 ，所以 PEB 正三角形，可得 PB=2 ，又因为等腰 RtBEC 中 CE=2 ，所以 BO=PO=1 ，所以 BO2+PO2=BP2 ，可得 POB=90 ，所以二面角 PECB 的大小为 90 （2）解：由于沿 EC 将点 B 折起至点 P ， 所以点 P 在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，因为 BE_CQ ，所以四边形 BECQ 是矩形，所以 B,O,Q 三点共线，二面角 PECB 等于 120 ，所以 POQ=60 ，因为 BO=PO=OQ=1 ，所以 POQ 正三角形，可得 PQ=1 ，以 O 为原点，分别以 OQ,OE 为 x 轴， y 轴，与它们都垂直于的直线为 z 轴.建立空间直角坐标系如图所示：所以 Q(1,0,0) ， D(2,