初中数学华东师大九年级下册（2023年新编）第27章 圆垂径定理导学案1课时

1、课题： 垂径定理学习重点：弄清圆中弦、垂直于弦的直径以及弦所对的弧三者之间的关系.学习难点：能灵活运用垂径定理进行计算或证明.一、知识预备：1.圆是轴对称图形，它的对称轴是_.2.轴对称图形中对应边_,对应角_.二、自主探究：(一)操作探究垂径定理：将你手中的圆按如图所示的方法折叠，将圆心记作点O，直径AB和弦CD交于P。根据折叠过程，回答下列问题：1.图(4)折出的弦CD和直径AB的夹角APD=_2.根据图(6)可知：PC_PD,弧BC 弧BD，弧AC 弧AD。可见：垂直于弦的直径平分_和它所对的_。(二)证明垂径定理：如图，已知，在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB垂足为P求证：AP=P

2、B, 弧AC=弧BC, 弧AD=弧BD点拨：求线段相等，可以将两线段构建到不同的三角形中，通过求证三角形全等证得所求。也可构建到一个特殊三角形中(等边、等腰、直角三角形)，利用特殊三角形的特殊性质证得所求。本题中，可以连接_，则PA，PB就分别位于_和_中，同时也位于等腰_中。(请你选一种你认为简便的方法证明)根据(一)中实践探究和( 二)中推理证明，可得：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧.这一结论通常称“垂径定理”注意：垂直于弦的直径也可以是半径、甚至是过圆心的直线.(三)推论：类比上面的证明还可以得出以下推论：1.平分弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧.2.平分弧的直径 这

3、条弧所对的弦.画图并口头说明理由。三、针对练习：1.用垂径定理求半径的长已知，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm.求O的半径.2.用垂径定理求弦心距已知O的直径为10，弦AB=8，求圆心到弦AB的距离。3.用垂径定理求弦的长已知O的直径为26，圆心到弦AB的距离为5，求弦AB的长。四、课堂小结： 谈谈今天你的收获.五、课后作业： 数学同步练习册.2课时 随堂检测一、选择题：1.圆是轴对称图形,它的对称轴有( )条 条 条 D.无数条2.在半径为3的圆中,一条弦的长度为4,则圆心到这条弦的距离是( ) C. D.3.如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,若CAO=,OC

4、=6,则CD的长为( )A. B. 4.过O内一点M的最长的弦长为4 cm,最短的弦长为2 cm,则OM的长为( ) 5.如图,在O中,AE是直径,半径OC弦AB于点D,连结BE.若AB=,CD=1,则BE的长是( ) 6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,C是AB的中点,且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为() 7.已知O的直径CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) 或cm 或cm 第3题图 第5题图 第6题图 第8题图二、填空题：8.如图,在O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则O的

5、半径为.9.如图,在55的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是点.10.如图,在ABC中,已知ACB=130,BAC=20,BC=2,以点C为圆心,CB长为半径的圆交AB于点D,则BD的长为.11.如图所示,若O的半径为13cm,P是弦AB上的一个动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为cm.12.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.13.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为. 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图三、解答题：14.如图10,在O中,AB=2AC,ADOC于点D.求证:AB=2AD.15.如图12,在一块残破的轮片上,量得弓形的弦AB=24cm,弓形的高为8cm,求残破的