新编数列极限(42)课件

1、新编数列极限(42)新编数列极限(42)第2章 极限与连续2022/9/92微积分-数列极限第2章 极限与连续2022/9/54微积分-数列极限一、数列概念数列可看作自变量为正整数的函数(下标函数)2.1 数列的极限2.特性:1)有界性:2)单调性:1.定义:按自然数编号依次排列的一列数称为无穷数列,简称数列,记为un.其中的每个数称为数列的项, un称为通项(一般项).称此数列单调增加 称此数列单调减少 2022/9/93微积分-数列极限一、数列概念数列可看作自变量为正整数的函数(下标函数)2.1“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现放映

2、1二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时，数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:极限：研究函数在自变量的某个变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的性质。对于数列：2022/9/94微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积2022/9/95微积分-数列极限正六边形的面积正十二边形的面积正 形(2) 庄子的截丈问题:第一天剩余u1第二天剩余u2第n天剩余un0但0n 时, un“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”2022/9/96微积分-数列极限(2) 庄子的截丈问题:第一天剩余u1第二天剩余u2第n01010-1

3、12.直观定义：数列un, 若当n无限增大时, un无限趋近于常数a, 则称数列un以a为极限, 或称un收敛于a, 记：发散无限增大例, 否则称 un发散.01010-112.直观定义：数列un, 若当n无限增大播放对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例:02010数列极限的严格定义？2022/9/98微积分-数列极限播放对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例:0201问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.2022/9/99微积分-数列极限问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.20223.“N”定义：例1证设有数列un, 若对任意 , 总 则称a是

4、数列un的极限，或称un收敛于a，记作:存在正整数N, 使得当nN时，恒有成立, 否则称数列un发散。则当nN时,103.“N”定义：例1证设有数列un, 若对任意 注:3.N一般与任意给定的正数有关,越小，N 越大。例2证说明:常数列的极限等于同一常数.1.具有二重性:任意性和不变性。在取时, 对其大小不加限制，正由于这种任意性，才能用 刻划un与a任意接近。而在根据找 N 时它是不变的.2.刻划un与a接近的程度, N刻划数列作为动点运动到什么时刻可使un与a接近程度小于给定的.若把数列看成函数, 则、N分别用来刻划因变量及自变量的变化过程.4. N是不唯一的，用定义证明数列极限时, 关键

5、是对任意给定的0, 由 来寻找N, 但不必要求最小的N.11注:3.N一般与任意给定的正数有关,越小，N 越大。例2例3证(不妨设N时,例3可用放大手法:P31例2.取,要设1注:1)“放大”是为方便解不等式。注意不能“放过头”, 上例若将 放大为1，则1不可能小于任意给定的正数。2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大例3证(不妨设N时,例3可用放大手法:P三、数列极限的几何意义使得数列从第N+1项起，以后所有项un 1, un2 ,都落在至多只有N项落在该邻域之外。2022/9/913微积分-数列极限三、数列极限的几何意义使得数列从第N+1项起，以后所有项un1.唯一性定理

6、每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.四、数列极限的性质2022/9/914微积分-数列极限1.唯一性定理 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收 (收敛数列的有界性的图示) 定理 收敛的数列必定有界.2.有界性例如,有界无界数轴上有界数列的点un都落在闭区间M, M上.2022/9/915微积分-数列极限 (收敛数列的有界性的图示) 定理 收敛的数列必定有界.2证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.定理 收敛的数列必定有界.取1，则nN时un有界2022/9/916微积分-数列极限证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列

7、五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性.2022/9/917微积分-数列极限五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,思考题：1.试判断下列论断是否正确1)若n越大， 越接近于零, 则有 3)若对 存在自然数N, 当nN时, 数列un中有无穷多项满足不等式 , 则有 2)若 , 则n越大， 越接近于零 4)若对 数列un中除了有限项外都满足不等式 , 则有 3.从几何直观层次思考：若数列为单调增加(减少)且有上界(下界)的数列，此数列的敛散性如何？ 定义：从数列un中用任意一种方式选取无穷多项并按原来的相对次序排列

8、，所得数列称为数列un的一个子列。2.若数列un收敛，它的子列将会出现什么情况？思考题：1.试判断下列论断是否正确1)若n越大， 作业：P662，3(4)思考 4预习并思考 62022/9/919微积分-数列极限作业：P662022/9/521微积分-数列极限下 课2022/9/920微积分-数列极限下 课2022/9/522微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/921微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不

9、可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/922微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/923微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又

10、割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/924微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/925微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早

11、期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/926微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/927微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无

12、穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/928微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.早期极限思想的体现二、数列极限概念当自变量n趋于无穷大时, 数列yf (n)的变化趋势(1)刘徽的割圆术:2022/9/929微积分-数列极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而2022/9/930微积分-数列极限2022/9/532微积分-数列极限2022/9/931微积分-数列极限2022/9/533微积分-数列极限2022/9/932微积分-数列极限2022/9/534微积分-数列极限2022/9/933微积分-数列极限2022/9/535微积分-数列极限2022/9/934微积分-数列极限2022/9/536微积分-数列极限2022/9/935微积分-数列极限2022/9/537微积分-数列极限2022/9/936微积分-数列极限2022/9/538微积分-数列极限2022/9/937微积分-数列极限2022/9/