2009年上海高考数学真题（文科）试卷（解析版）

1、绝密启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1函数f(x)=x3+1的反

2、函数f-1(x)=_. 2已知集体A=x|x1,B=x|a,且AB=R，则实数a的取值范围是_. 3. 若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_. 4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_. 5.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_ w.w.w.c.o.m (结果用反三角函数值表示). 6.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_. w.w.w.c.o.m 7.已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_. w.w.w.c.o.m 8.若等腰直角三角形的直角边长为2，

3、则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。w.w.w.c.o.m 9过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10.函数的最小值是 。 11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。 12.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . w.w.w.c.o.m 13.已知函数。项数为27的等差数列满足且公差,若，则当k= 时， 。 14.某地街道呈现东西、南北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相

4、互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。 二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。15已知直线平行，则K得值是（ ）w.w.w.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 17点P

5、（4，2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是答（ ）（A）（B）（C）（D） 18在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是答（ ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 三解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分14分）已知复数（a、b

6、）(I是虚数单位)是方程的根 . 复数（）满足，求 u 的取值范围 . w.w.w.c.o.m 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .若/，求证：ABC为等腰三角形；w.w.w.c.o.m 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .21（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 w.w.w.c.o.m 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌

7、握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。求双曲线C的方程；w.w.w.c.o.m 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为. 23.（本题满分18分）本题共

8、有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. w.w.w.c.o.m 上海 数学试卷（文史类）考生注意：答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，

9、每个空格填对得4分，否则一律得零分。1函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_.1【答案】【解析】由yx3+1，得x，将y改成x，x改成y可得答案。2已知集体A=x|x1,B=x|a,且AB=R，则实数a的取值范围是_. 2【答案】a1 来 【解析】因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。3. 若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_. 3【答案】【解析】依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： 4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_.4【答案】【解析】当x1时，有yx2，当x1时有y，所以，有分段函数

10、。5.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_ w.w.w.c.o.m (结果用反三角函数值表示).5【答案】 【解析】因为ADA1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以，A1D1B。6.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_. w.w.w.c.o.m 6【答案】2【解析】由4，得2。7.已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_. w.w.w.c.o.m 7【答案】9【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：z，画直

11、线及其平行线，当此直线经过点A时，z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3269。8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。w.w.w.c.o.m 8【答案】【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V9过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9【答案】【解析】直线方程为yx1，代入抛物线，得：x24x10，4，1，则10.函数的最小值是 。10【答案】 【解析】，所以最小值为：11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿

12、者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。11【答案】 w.w.w.c.o.m 【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1。12.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . w.w.w.c.o.m 12【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。13.已知函数。项数为27的等差数列满足且公差,若，则当k= 时， 。13【答案】14【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为，w.w.w.c.o.m 所以，所

13、以当时，.14.某地街道呈现东西、南北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。14【答案】（3，3）【解析】设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为，这六个点的横纵坐标的平均值为，记A（2，），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处z取得最小值。二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应

14、编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。15已知直线平行，则K得值是（ ）w.w.w.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2 15、【答案】C【解析】当k3时，两直线平行，当k3时，由两直线平行，斜率相等，得：k3，解得：k5，故选C。16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）16、【答案】B【解析】从正面看，应看到直角边为3的顶点，而高为4，故正视图应为B。 17点P（4，2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是答（ ）（A）（B） （C）（D）17、【答案】A【

15、解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得：18在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是答（ ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 .18、【答案】D【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中

16、，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.三解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分14分）已知复数（a、b）(I是虚数单位)是方程的根 . 复数（）满足，求 u 的取值范围 . w.w.w.c.o.m 19.解：原方程的根为 w.w.w.c.o.m 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ABC的角A、B、

17、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .若/，求证：ABC为等腰三角形；w.w.w.c.o.m 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .20题。证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形 解（2）由题意可知由余弦定理可知， w.w.w.c.o.m 21（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 w.w.w.c.o.m 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；w.w.w.c.

18、o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.21题。证明（1）当时，来 而当时，函数单调递增，且故函数单调递减w.w.w.c.o.m 当时，掌握程度的增长量总是下降(2)有题意可知整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。求双曲线C的方程；w.w.w.c.o.m 若过原点的直线，且

19、a与l的距离为，求K的值；证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.22【解】（1）设双曲线的方程为 ，解额双曲线的方程为（2）直线，直线由题意，得，解得（3）【证法一】设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时，又双曲线的渐近线为 w. 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，； 将代入（2）得，w.w.w.c.o.m 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为23.（本题满分18分）本题共有3个

20、小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. w.w.w.c.o.m 23【解】（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。 （2）当时，则 即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.c.o.m 当为偶数

21、时，式不成立。由式得，整理得当时，符合题意。当，为奇数时， 由，得 当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立。w.w.w.c.o.m 一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函

22、数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?比较函数值的大小;解抽象函数不等式;求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于

23、零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为

24、前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即ab0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比

25、数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题

26、时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如

27、函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推

28、出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标

29、轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物

30、线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么

31、?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补