概率论与数理统计公式整理【全】

1、 /27第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式m!Pn=“从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。m（mn）!m!C、从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。mn!（mn）!（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随

2、机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是。的子集。为必然事件，0为不可能事件

3、。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：AuB如果同时有AuB，B二A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为AAB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A门B,或者AB。AB=0，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相

4、容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)厲A.=UAi德摩根率：TJAUB=AnB,AnB=AUB(7)概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：10WP(A)W1,2P(Q)=13对于两两互不相容的事件A1，A2，有PUA.二艺P(A.)i=1i=1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1=to,31，12n12P(

5、o)=P(o)=P(o)=一。12nn设任一事件A，它是由o,oo组成的，则有C12mp(a)=Ko)U(o)UU(o)j=P(o)+P(o)+P(o)12m12mmA所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，冋时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，、L(A)P(A)=Y：。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B

6、uA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时，P(B)=1-P(B)(12)条件概率P(AB)定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)=$浮。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)二P(A)P(B/A)更一般地，对事件A，A，A，若P(AA-A)0,则有12n12n-1P(A1A2An)-P(A1)P(A21A1)P(A31A1A2)P(An1A1A2An-1)。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P

7、(AB)二P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(BIA)=P(AB)=P(A)P(叽P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件BB2,，Bn满足1B1,B2，Bn两两互不相容

8、，P(Bi)0(i12,n)，AuJBi2i=i，则有P(A)二P(B1)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2)+-+P(BJP(AIBJ。(16)贝叶斯公式设事件B1，B2，Bn及A满足1B1，B2，,B两两互不相容，P(B)0，1-1，2,，AuJB2P(A)02i=1，则D/n/八P(B)P(A/B)cP(B/A)=，i=l,2,n。P(B)P(A/B)jj此公式即为贝叶斯公式。P(B),(i=1,2,，n),通常叫先验概率。P(B/A),(i=1,2,，iin),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验，且满

9、足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1P一q，用Pn伙)表示n重伯努利试验中A出现k(k-LoJ+gf(x)dx=12g。(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)qP(xXx+dx)qf(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)二P(Xx

10、)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)二F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-,x内的概率。分布函数具有如下性质：10F(x)1,gx+8；2F(x)是单调不减的函数，即ax2时，有F(x1)F(x2)；3F(a)=limF(x)=0，F(+a)=limF(x)=1；xT3xT+84F(x+0)二F(x)，即F(x)是右连续的；5P(X二x)二F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)=工p；kxQx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。g(5)八大分布0-1分布P(X=l)=p,P(X=0)=q二项分布在n

11、重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,n。P(X二k)二P(k)二Ckpkqnk，其中nnq-1p,0pbo当aWXx2Wb时，X落在区间(Xx2)内的概率为/、x-xP(xX0f(x)冷00 x0F(兀)彳o1-5XV0。记住积分公式：+8Jxne-xdx=n!0正态分布设随机变量X的密度函数为1(x-卩)2f(x)_e-2”，gx0为常数，则称随机变量x服从参数为卩、G的正态分布或咼斯(Gauss)分布，记为XN(卩，)。f(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于x=卩对称的；2当x二卩时，f(卩)为最大值；若XN(,G2)

12、，则星的分布函数为F(x)=Jxe2。2dt斗2兀GgO。参数卩二0、G=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0，1)1，其密度函数记为P(x)-，-e2V2兀，gx+8，分布函数为1xt20(x)-e2dt。J2(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。10(-X)=1-0(X)且0(0)=。X如果XN(,g2)，则-N(0,1)。P(xXx)-。1XGG(6)分位数下分位表：P(X卩)=a；a上分位表：P(X卩)=a。(7)函数分布离散型已知X的分布列为XX1，x2,xnP(X二X)P1,P2，Pn，Y二g(X)的分布列(y二g(x)互不相等)如下：Yg(x1),g(x2)

13、,，g(xn)，P(Y=y)，若有某些g(x,/相等，则应将对应的P.相加作为g(x)的概率。连续型i先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)WXYy),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。(1)联合离散型分布第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量g(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称g为离散型随机量。设匕=(X,Y)的所有可能取值为(x,y)(i,j二1,2,)，ij且事件匕=(x,y)的概率为pij,称ijj，P(X,Y)二(x,y)二p(i,j二1,2,)ijij为匕=(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也

14、用下面的概率分布表来表示:*yiy2yjjx1piiP12pijx2p21P22p2j:xiPiiPij:这里pij具有下面两个性质:1JP.20(i,j=l,2,);1JWp二1.ijij连续型对于二维随机向量E二(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(sx+s,sy+s)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cyd有P(X,Y)eD=Kf(x,y)dxdy,D则称E为连续型随机向量；并称f(x,y)为E=(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：f(x,y)20;+寸+8f(x,y)dxdy=1.gg(2)

15、二维随机变量的本质g(X=x,Y=y)=g(X=xY=y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二兀函数F(x,y)二PXx,Yy称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(,)lgX)x,sY)y的概率为函数值的一个实值函1212数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：0F(x,y)xi时，有F(x2,y)三F(xy);当y?yi时，有F(x,y?)三F(x,y);21212121F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)二F(x+0,y),F(x,y)二F(x,y+0)；F)=F

16、(s,y)=F(x,s)=0,F(+s,+s)=1.对于xx，y0.22211211(4)离散型与连续型的关系P(X=x，Y=y)沁P(xXx+dx，yYy+dy)沁f(x，y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P=P(X=x)=工p(i,j=1,2,)；ijY的边缘分布为P=P(Y=y)=工p(i,j=1,2,)。jj(/i连续型X的边缘分布密度为f(x)=卜f(x,y)dy；XY的边缘分布密度为f(y)=卜f(x,y)dx.Y(6)条件分布离散型在已知X=x.的条件下，Y取值的条件分布为1pP(Y=y1X二x)=-j；jipi在已知Y=y.的条件下，X取值的条件分布为JpP(X=x

17、1Y=y)二一j,ijpj连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x1y)=f”；f(y)Y在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(yix)=仔x(,y)f(x)X(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型p=ppijij有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fy)XY直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布1117丫2p(x片)(y瞩)丄Ty-丫f(x,y)=1e-(i-p2)LJ-叩-J2兀QQ(1-p212p=0随机变量的函数若X,X,X,X，X相互独立，h,g为连续函数，则:12mm+1nh(X，X,7)和g(X,-X)相互独立。1

18、2mm+1n特例：若X与Y独立，贝y：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则:3X+1和5Y-2独立。10Oxy1O1ydabxSD11D32xD2设随机向量（X,Y）的分布密度函数为(x,y)eD其他服从D上的均匀分布，记为（X,Y）图3.1图3.2（8）二维均匀分布f(x,y)=0,。0,1p11是5个参数，则称a,Y）服从二维正态分12,12布，记为（X,Y）N（卩,卩。2,。2,p）.12,12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（卩，。2）,YN（卩。2）.112,2但是若XN（卩，。2）,YN（卩。2），（X，Y）未必是二维正态分布。

19、112,2（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz（z）-P（Zz）-P（X+Y0,0,u0.我们称随机变量W服从自由度为n的X2分布，记为WX2(n),其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。X2分布满足可加性：设Y-x2(n),iiZ=工Yx2(n+nHFn).i12ki=1t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Yx2(n),可以证明函数T=JY/n的概率密度为rn+1Arf(t)=I2丿.rnarni12丿n2(gt+8).我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。t(n)=t(n)1aaF分布设XX2（件）,YX

20、2（n2）且X与Y独立可以证明X/nF=1的概率密度函数为Y/n2(n)r5)L2丿L2丿r、牛了”、n2专-11n1+yTy2丿Ln丿0,y0我们称随机变量F服从第一个自由度为气，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff（气,气）.F（n,n）=-a12F（n,n）21第四章随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望设X是离散型随机变量,其分布设X是连续型随机变量，其概率密随机期望就是平均值律为P(X=x)=p,度为f(x),变量的数kkk=1,2,，n.E(X)=fxf(x)dx字特v8征E(X)=乙xpkkk1（要求绝对收敛）（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)E(Y)=Xg

21、(x)pkkk=1+8E(Y)=fg(x)f(x)dx8方差D(X)=EX-E(X)2,D(X)=YxE(X)2pD(X)=fxE(X)2f(x)dx标准差kkk8b（X）=Jd（x）,矩对于正整数k称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为v，即v=E(Xk)=乙xkp,kii对于正整数k，称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为V,即kv=E(Xk)=J+8Xkf(x)dx,kik=l,2,.k=l,2,.对于正整数k,称随机变量X对于正整数k，称随机变量X与与E(X)差的k次幕的数学期E(X)差的k次幕的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为卩,k的k阶中心矩，记为卩

22、，即k即卩=E(X-E(X)k卩=E(X-E(X)kkk=工(X-E(X)kp，=卜(X-E(X)kf(x)dx,giiik=l,2,.k=l,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=p，方差D(X)=O2,则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式.C2P(|X-甘)2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(|X-的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)(1)E(C)=C期望(2)E(CX)=CE(X)的质性(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(工CX)=CE(X)i=1i=1(4)E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)

23、(1)D(C)=O；E(C)=C方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)的性(3)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b质(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4)期望方差常分见布0-1分布B(1,p)pp(1-p)的期望和二项分布B(n,p)npnp(1-p)方差泊松分布P(九)九九几何分布G(p)1p1-pp2超几何分布H(n,M,N)nMNn

24、MN(M)IN丿(Nn0,D(Y)O,则称bXYD(Y)为X与Y的相关系数，记作P(有时可简记为P)。XY|PIW1,当|P|=1时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=1、正相关，当P=1时(a0)，完全相关负相关，当p=-1时(a0)，而当P=0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：P=0；XYcov(X,Y)=0;e(xy)=e(x)e(y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y);d(x-y)=d(x)+d(y).协方差矩阵(bb)XXXY匕b丿vYXYYy混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYi)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为v；k+l阶混合中心矩记为：klu=E

25、(XE(X)k(YE(Y)1.ki(6)协方差的性质cov(X,Y)二cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X+X2,Y)二cov(X,Y)+cov(X2，Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独立和不相关(i)(ii)(1)大数定律若随机变量X与Y相互独立，则P=0；反之不真。XY若(x,y)n(y,yq2,g2,p)，1212则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理切比雪夫大数定律设随机变量X1,X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(Xi)C(i=l,2,)，则对于任意的正数，有11工X1

26、工nin1i=1i=1limPnfg二1.特殊情形:则上式成为若X1,X2，具有相同的数学期望E(XI)=p,limPns+另X1i=1y=1.丿伯努利大数定律辛钦大数定律设p是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有pn丿二0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设X，X，X，是相互独立同分布的随机变量序列，且E12n(X)=p，则对于任意的正数有nXyN(卩，)nkkYXnpZrYk丄n的分布函数Fn（x）对任意的实数x,有limF(x)=limP-Xnpk=Je2dt.n8nn8JndJ2兀-8此定理也称为独立冋分布的中心极限定理Io棣莫

27、弗设随机变量X为具有参数n,p（Op1）的二项分布，则对于拉普n拉斯定任意实数x,有理=limPX-npn8Vnp(1p)J2兀-8（3）二项定理若当N时,p（n,k不变），则NCkCn-kM_N-MCkpk(1-p)n-k(N8).CnNn超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当n8时,np九0，则Ckpk(1p)n-k九k-e_九(n8).nk!其中k=0,1,2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

28、个体总体中的每一个单兀称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品x,x，,x称为样本。样本12n中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x,x，,x表示n个随机变量（样本）；在具体的一次12n抽取之后，X,x，,x表示n个具体的数值（样本值）。我们12n称之为样本的两重性。样本函数和统计量设x,x，,x为总体的一个样本，称12nq=q(x,x，,x)12n-bFU-ts、人、卄/宀pXi-rmrrxU-r/t/-r/r+为样本函数，其中9为一个连续函数。如

29、果9中不包含任何未知参数，则称9（x,x，,x）为一个统计量。12n常见统计量及其性质样本均值x=工x.n1i=1样本力差S2=1(xx)2.n1ii=111_样本标准差S=1Y(xx)2.Ln1i1i=1样本k阶原点矩M=工xk,k=1,2，.knii=1样本k阶中心矩M=-!-工(x一x)k,k=2,3，.knii=1b2E(X)=R，D(X)=，nn1E(S2)=b2，E(S*2)=b2,n其中S*2=-工(X一X)2,为二阶中心矩。nii=1(2)正态总体下的四大分布正态分布设x,x，,x为来自正态总体N(Ji,c2)的一个样本，则样12n本函数udefxiN(0,1).c/Jnt分布

30、设x,x，,x为来自正态总体N(J1,c2)的一个样本，则样12n本函数廿一二t(n-1),s/Jn其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。X2分布设x,x，,x为来自正态总体N(i,c2)的一个样本，则样12n本函数def(n1)S2(1、wdefX2(n一1),C2其中X2(n1)表示自由度为n-1的X2分布。F分布设x,x，,x为来自正态总体N(i,c2)的一个样本，而12n1y,y，y为来自正态总体N(u，c2)的一个样本，则样本2n2函数FdefS12/cf(n-1,n-1),S2/C21222其中S2-I5(x-x)2,S2-1X(y-y)2；1n1i2n11i-12i-1F(

31、nhn1)表示第一自由度为n1，第二自由度为121n-1的F分布。2(3)正态总体下分布的性质X与S2独立。第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体x的分布中包含有未知数e,0，,0，则其分布函数可以表成TOC o 1-5 h z12mF(x;0,0，,0)它的k阶原点矩v二E(Xk)(k二1,2,m)中也12mk包含了未知参数0,0，,0，即V二V(0,0，,0)。又设 HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 12mkk12m叭，x2，,x为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为12n15为xk(k-1,2,m).nii=1这样，我们按照“当参数等

32、于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有v(0Q，,0A)=-Hx,TOC o 1-5 h z112mnii=1V(0A,0A，,0A)=1Hx2,212mniV(0,0，,0)=Hxm.m12mnii=1由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(0,0,0)即为参数12m(0j,02,-,0)的矩估计量。12m若宀为0的矩估计，g(x)为连续函数，则g(0)为g(0)的矩估计。极大似当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为然估计f(x；e,9,月)，其12m中9,0，,9为未知参数。又设12mx,x，,x为总体的一个样本，称12nL(9,9,，9)=nf(x；9，9,9)i=1为样本的似然函数，间记为Ln当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX=x