中科大数学实验课件4数列与级数

1、2022/9/8数学实验之四数列与级数2022/9/81、数列与级数数列 级数数列与级数的关系 给定数列（1），令 ，则数列（1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 则级数（2）等价于数列（1）。 2022/9/8给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时的极限状态又如何？2022/9/82、Fibonacci数列Fibonacci数列由递推关系确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55123452022/9/8为研究F

2、ibonacci数列的规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列 的折线图。2022/9/8易知故有 的阶在 与 之间。为进一步研究 的特性，在平面坐标系中画连接 的折线图。然后用直线去拟合之.2022/9/82022/9/8猜测将上式代入递推公式中得由此然而,上式并不满足进一步猜测2022/9/8由此得可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此，Fibonacci数列趋于无穷的阶为2022/9/8一般地, 给定数列的递推关系假设则 满足2022/9/8因此 的通项为其中 是上述方程的根。2022/9/83、调和级数调和级数研究数列的极限阶.2022/9/8首先研究 的折线图.2022/9

3、/8由于 下面研究 的极限.从上图猜测, 极限 存在.实际上,易知2022/9/8故知极限存在. 进而由此猜测用数据拟合发现, 称为Euler常数.2022/9/8也可以直接从数列 出发.猜测2022/9/84、3N+1问题问题：任给自然数n，如果n是偶数，则将n除2；如果n是奇数，则将n乘3加1。重复上述过程得到一个无穷数列。例如， 上述数列可递归地定义为 如果n为偶 如果n为奇 2022/9/8我们来研究上述数列的规律。先从简单的示例开始。2022/9/8用Mathematica编程验证：1、是否对任意n，从n开始产生的数列最后都落于421的循环中？2、数列在落于421循环之前，有什么规律

4、？2022/9/8对n=27得2022/9/82022/9/8该问题起源于20世纪50年代，被称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想，简称3x+1问题。目前有人验证到 猜想仍然成立。2022/9/8一些观察：如果 ，则对 ， 为奇数，则2022/9/8如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想成立。对 n=4k+1, 有对 n=16k+3, 有2022/9/8如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一1、数列落于有别于421的循环中；2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。2022/9/8引入一些概念：航班：从n开始迭

5、代产生的数列（直至1为止）。如第5次航班为5168421航程：航班的长度。如航班5168421的长度为5最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如第5航班的最大飞行高度为162022/9/8保持高度航程：从起点起连续不小于起点的数字的个数。如3105168421的保持高度航程为5。如果所有航班的保持高度航程有限，则3n+1问题成立。航程记录航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程为16。保持高度航程记录航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。2022/9/8最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于所有它前面的航班的最大飞行高度。对于一个固定航班N, 考虑它着陆前的表示奇变

6、换。其中除2的变换称为偶变换，乘3加1的变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。2022/9/8一些记录：保持高度航程：N=118303688851791519, G(N)=1471留数：N=993, R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527, F(N)=20392022/9/8显然3N+1问题与下列问题等价：1）所有航班的航程有限；2）所有航班的保持高度航程有限；3）对所有N, E(N)有限；4）对所有N, O(N)有限。2022/9/8一些探索：1）航程与起点的关系。2022/9/8上述图形中有没有规律？用f(n)表示航班n的航程。f(n)

7、的上界与n存在什么样的函数关系？例如，当n适当大后，是否有f(n)2p.一些保持高度航程记录：G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.2022/9/83）最大飞行高度与起点的关系。2022/9/8用t(n)表示航班n的最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n的关系如何？例如，是否有t(n)K*n*n ?2022/9/8偶变换与奇变换的关系：2022/9/8O(N)/E(N)的上界是什么？当N趋于无穷时，O(N)/E(N)的极限是什么？简单分析：其中 R(N)称为留数，它是所有形如的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，2022/9/8对于航班31

8、05168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取对数得故2022/9/8且如果则2022/9/8一些猜测：（1） R(N)= R(993) (2) 令 C(N)=O(N)/E(N), 则 C(N)C, Clog2/log3为常数。 2022/9/8启发式论证：注意每一次奇变换后必然是偶变换，但每一次偶变换后可以是奇变换，也可能是偶变换。假设这种可能性是一样的。从某一个N开始，我们考察航班高度的变化：（1）奇变换后做偶变换的结果为奇数，可能性1/2，高度变换 3/2；（2）奇变换后做偶变换的结果为偶数，可能2022/9/8性为1/4，高度变化3/4；

9、奇变换后再作三次偶变化，可能性1/8，高度变化3/8；.平均变化高度：高度最终下降。2022/9/8用c 表示保持高度航程中奇变换的次数的平均值。利用上述模型可以证明，c=3.49265. 对3到2000000000之间航班的保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926。这两个结果的惊人的一致性使我们相信上述启发式模型的正确性。2022/9/8一些理论结果：（1）R. Terra 和 C. Evertt证明了：几乎所有的航班都会下降到它的起点以下。（2）存在常数c, 当n 足够大时，在比n小的航班中，能够在1上着陆的航班个数大于或等于nc. 1978年，R. Crandal首先给出c=0

10、.05; 1989年I. Krasikov得到c=0.43; 1993年G. Wirsching给出c=0.48; 1995年D. Applegate 和J. Lagarias得到c=0.81.2022/9/8会不会永远证不出来？自从哥德尔发表他的著名的不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难的问题，都会疑神疑鬼这会不会证不出来？哥德尔的不完备定理，在包含皮亚诺的自然数公理的系统中，总有不可证明的命题存在。因而3N+1问题有可能不能证明，即使它是错误的。比如，我们可能发现一个航班，2022/9/8 它非得越来越高，但无论如何不能证明它永远也不会着陆到1。 数学家J. Conway（发明了生命游戏）定义了一个类似3N+1问题的不可证明的命题。但他的方法仍然不能说明3N+1是否可以证明。2022/9/8各种变化与推广（1）推广到负数。可以有三个不同循环： -1-2-1 -5-14-7-20-10-5 -17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17 是否有更多的循环？2