复旦大学数学物理方法讲义

1、PAGE Chapter 1 复数和复变函数一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number)形如(，)的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子）复数（Complex number）的三种形式：1) ，（）代数式：;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：;（极坐标系下的表示）指数式：， 其中 . 称为欧拉公式。2) 一些术语（terminology）和符号(notation):, 实部（Real part）, ，虚部（Imaginary part）.，模（Modulus）, 称为幅角（Argument），记作. 而将满足或的值称为幅角的主值或主幅角，

2、记为，因此有 . 当取时，有关系3) ，称为的复共轭或共轭复数(Complex conjugate of )，当然，也是的复共轭。注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。*的充要条件为(单值可以，多值时没有定义幅角); (可以)复数的几何表示：复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点或与复数或做成一一对应，此时的平面称为复平面, 其自由矢量为（讨论：在哪里？）复数的运算规则：设 ，.1) 加法： 满足交换律和结合律。减法：.加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。2) 乘法：（）和多项式乘法一样, 乘积的模=模的乘积。，乘

3、积的幅角=幅角的和。特别地，.乘法的几何解释：在0 x轴上取单位线段0I， 作和相似，那么P点就表示乘积 这是因为 3) 除法：假设, ，.几何解释（）：先看(即设)，若，过点作射线Oz的垂线，交单位圆周于T，过T作单位圆周的切线，这条切线与Oz的交点就是，而它关于轴的对称点为. 设点到点的距离为，则图示三个直角三角形之间存在如下关系：解得 若，只需先作切线，再作垂线。若，.4) 整数幂：,De Moivre公式。（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式）1）， 三角形两边之和大于第三边;， 三角形两边之差小于第三边。证明：利用, 2）.3）. .复球面与无穷远点：考虑一个半径为R的球面

4、S（），点(0,0,0)称为南极，与复平面的原点重合，点(0,0,2R)称为北极，记为N. 对于C中的任一有限远点，它与N连接的直线只与S交于一点反之，球面S上任意一点（N点除外），它与N连接的直线也只与C交于一点. 所以，除N点外，球面S上的点和复平面C上的点都是一一对应的。对于N点，我们发现，当时，因此在复平面C中引进一个理想点，作为与N对应的点，称为无穷远点，记为 加上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样，与S建立起来的一一对应，称为球极射影。S称为复球面。注意：* 无穷远点只有一个，其模为，而幅角是不确定的。*

5、同样对于点，其模为0，幅角是不确定的。*：作变换，或复球面均是就大而言，其中为N与点之间的距离。二、复变函数（Functions of complex variable）1. 区域的概念（复习）：点集E：由复数点组成的集合。例如，表示以原点为圆心，半径为1 的圆（单位圆）的内部。，表示以为焦点，半长轴为2的椭圆。点的邻域：对于实数，满足条件的点的全体称为点的邻域，记为。点的邻域：满足条件（R是正实常数）的所有点z的集合，即以点为圆心，R为半径的圆的外部，记为。点集E的内点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域的点全部属于E，则称为点集E的内点。点集E的外点：设平面上给定一点集E，如果及其某邻域

6、的点全部不属于E，则称为点集E的外点。点集E的边界点：设平面上给定一点集E，如果的任一邻域中都含有E和非E的点，则称为点集E的边界点。区域D：满足下面两条的点集称为区域。D为开集: D中的每一点都是内点区域全由内点组成；D是连通集: 对于D中的任意两点，总可以用某一曲线段连接起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集区域内点连通。闭区域：由区域D及其全部边界点所组成的点集，闭域D通常记为.单连通域：在连通域D中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于D，则称D为单连通域。否则称D为复连通域！（请讨论之！）有界域D：若存在有限大的圆，使得，则称D为有界域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数

7、）。复变函数：复变函数定义：若对于复平面上区域D中的每一个复数，按照一定规律，都有一个（或几个）复数值w与之相对应，则称w为的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域D称为定义域。复变函数有两种表示形式：, （）, 均为实变量的二元实函数。例如： （1） 平移变换 （2） 旋转变换 （3） 缩放变换 （4） 设，三步：1/旋转；2/缩放；3/平移.（5） （广义）反演变换。如果,则 就是的复共轭；如果与是相同的量纲（例如长度），则亦具有相同的量纲。(2) 复变函数的极限：设是函数的定义域内的一点，如果对，都，（隐含，和）使得对于任意满足条件的复数，都有，那么复数（有限）称为函数当趋于时的极限

8、，记为. 如果复数无限，则称函数在处发散（divergence）。设，则.复变函数的连续与一致连续：，当，恒有，那么称函数在点连续（在点邻域连续） 等价定义：设是函数的定义域内的一点，那么称函数在点连续，如果函数在区域D上的每一点都连续，则称函数在区域D上是连续的。注：在处连续均在处连续。， ，对任何，只要，且，恒有，那么称函数在上一致连续等价定义：如果， ，只要，恒有，那么称函数在上一致连续。注：* 函数在区域上一致连续，一定在D上连续。*连续定义中的不仅与有关，还与点有关。一致连续定义中的只与有关，与点无关。例如，在区域上连续，但不一致连续。例：求函数 在的极限，并判断在该点的连续性。解：

9、因为， ，因此，又所以，在的极限存在，并连续。例：求函数 在的极限，并判断在该点的连续性。解：设，则，显然，在点的极限存在并连续， 然而，不存在，事实上，令，有，对于不同值，极限不同，故知在点的极限不存在。所以，在的极限不存在。（4） 复变函数的导数：设是函数的定义域内的一点，当z在的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点时，即当时，若极限具有同一有限值，则称函数在点可导，称此极限值为在的导数，记为或.注意:* 与的方式无关;*求导最多有两个方向，而可有多个方向。 *是偏导，是全导。复变函数可导的必要条件Cauchy-Riemann(C-R)条件：设在点可导，则,在处必定满足.证明： 在点可导,根

10、据定义， 存在，并且与的路径无关。 下面选择两个特殊路径：首先沿平行于实轴的直线（即为常数），,然后沿平行于虚轴的直线（即为常数），,既然在点可导,那么上面两个极限应相等,于是简记为.Cauchy-Riemann条件不充分，例如： 在 附近，我们有 显然的定义多余。虽然 这不是固定点的导数，而是严格意义下的 而因此，附近不可导！ (6) 复变函数可导的充要条件：在点可导的充要条件是:a),在处具有一阶偏导数且满足C-R条件必要条件;b),在处具有一阶连续偏导数且满足C-R条件充分条件.证明：假设, 在处具有一阶连续偏导数，因此, 在处可微，即 其中是数量级比更高阶的无穷小量，即. (由假设知)

11、 存在可导。反之，要存在，则需要存在并且连续（有极限且邻域可导），同理（反用CRCs）存在并且连续充分条件。(7)求导法则：与实函数的求导法则、公式相同。例:判断何处可导。解：，,，,由C-R条件，得，.解得，表明w除点外处处不可导，其次，四个偏导数在点存在且连续，故在点可导。三、解析函数（Analytic functions） 1定义:在及其某邻域内处处可导，称在点解析。 在区域D内处处解析称为在区域D内解析。 * 在区域D内解析在区域D内处处可导。* 奇点（sinqularity）: 函数的不可导点称为该函数的奇点。如是的奇点，亦是的奇点。2函数解析的充要条件：如果, 在区域D内具有一阶连

12、续偏导数（此条件可放宽为：在区域D内连续），且满足C-R条件，则在D内解析。3. 解析可导的必要条件：存在且满足CRCs；充分条件：存在和连续且满足CRCs.例：研究函数 的可导性、解析性。解：，.因为 ，且于全平面连续，故于全平面（当然不包括，此函数在无定义）处处可导，处处解析。又，其导数为其本身。注：.3解析函数的简单性质：同一区域D上的两个解析函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为解析函数。解析函数的实部等值线与虚部等值线（为实常数）相互正交。Grade in 3D real space ():.For examples, see below.若在区域D内解析，则在D内有， ,即它的实部

13、和虚部都是D内的调和函数具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程：,且称, 为共轭调和函数。4已知实部 或虚部 求解析函数： C-R条件使得解析函数的实部和虚部相互关联。 例：已知某一个解析函数的实部，且, 求此解析函数。解法一：，因此，由C-R条件，把作为参数，积分($)得 为待定函数.再由，得 ，积分($)得（为待定常数）.所以 .令，即，得，.于是，满足所给条件的解析函数为.* 当, 为有理函数时，令，就可以把解析函数化成的形式。 这是因为有理函数总可以写成泰勒级数：反过来用一次二项式展开有， 其中与之间存在二项式展开系数的关系。故 并且 当区域时此定理仍然成立。解法二：Math：有

14、全微分形式；Phys：要求是态函数。 配成全微分了，故有 .($):，积分与路径无关 这是因为解析函数有任意阶导数，因此, 有任意阶偏导数且连续；在此基础上此曲线积分满足与路径无关的条件：(See Adv. Math. Or Chapt 2 Cauchy Theorem，)；这是因为，所以此条件在这里成立.5解析函数的物理解释空间无源、无旋的平面标量场： 标量场(梯度); 矢量场(旋度); (散度). Maxwells Eqs.: 线性各向同性介质： 物理问题：无源、无旋平面标量场。例如，静电场、温度场和流场等，它的势满足Laplace 方程（see part II），. 如果它与三维空间的某

15、一方向（如方向）无关，那么，这种场称为平面场。此时满足二维Laplace方程，. 梯度、散度和旋度的定义see chapter 12. 解析函数的实部（或虚部）可以解释为某无源平面静电场的势。解析函数的实部和虚部之梯度是相互正交的，而我们知道平面静电场的等势线簇和电力线簇是相互正交的， 因此，如果我们将解析函数的实部或虚部 解释为某平面静电场的势，则其虚部 或实部将描述它的电力线。这些等势线族和电力线族是无旋的射线族，磁力线族才是有旋的同心圆族。 例1：考虑解析函数（其中）所对应的平面静电场，即问它是什么样平面静电场的复势？解： , 1） 如果将它的实部看作静电场的势，那么其虚部则表示电力线簇

16、（），这是以原点为端点的一组射线（如图中的虚线所示）。等势线簇为，即，它是以原点为圆心的一组同心圆（如图中的实线所示）。物理意义：这是与轴重合的无穷长均匀带电直导线周围的静电场。由高斯定理和容易求得线电荷密度为 2）如果将它的虚部看作静电场 的势，那么其实部，即则表示电力线簇，（如图中的虚线所示），等势线簇为，（如图中的实线所示）。这是以正实轴为割线，上岸电势为0，而下岸电势为时的平面静电场。（Home Work）例2：已知一平面静电场的电力线簇C是抛物线簇 ，求等势线簇，并求此电场的复势。（见习题1.11）解：从电力线方程解出参数，（，因此取“+”）。不可以直接令，这是因为不是调和函数，即它

17、不满足Laplace方程，而解析函数要求是调和函数。那么，如何寻找呢？做法如下：令，取而是的函数，是参数，是参数方程的解；正因为如此，如果满足（即等值线簇），那么一定有（另外一个等值线簇），此正好是题意给定的电力线簇一种新方法。这样,.同理，,于是，即 ，或 .解之得，. 因此.下面求，改用极坐标系，又极坐标下的C-R条件（Home Work），. 于是，所以 ，即 . 由此解得等势线族: ;电力线族: . 复势为.三、初等函数（Elementary functions）整数幂函数： （）.当时，在除了点外处处解析;当时，为常数，在闭平面全解析（在闭平面解析的函数一定为常数, ，并且一般函数总

18、是可以展开成级数的，只能为常数）; 当时，在全平面解析，奇点：在不可导，不定）。2. 指数函数：，在全平面解析，奇点：.和实函数形式一样，其导数为，它是周期为的周期函数，即 .三角函数：，.（并非之线性组合）因为在全平面解析，所以，和也在全平面解析，是它们唯一的奇点。和实三角函数一样，和都是周期为的周期函数。和实三角函数不同，和的模可以大于1:其他三角函数，可以用和定义，形式和实数时一样。如 等等。实三角函数中的各种恒等式对于复三角函数仍成立，如 4. 双曲函数：，全平面解析，奇点：.双曲函数和三角函数之间可互化,如，,它们的导数为：，四、多值函数(Multi-value functions)

19、：1根式函数正整数幂函数的反函数（实数，复数）.多值函数,对任意（除外），有个与之对应。为了更清楚地看出多值函数的性质，现在仔细分析一下函数.如果记，根据定义有，所以，因此，对于给定的一个值，有两个值与之对应： （相当于上面的）; （相当于上面的）.这里，函数的多值性来源于幅角的多值性，准确地说，来源于宗量（而不是自变量）幅角的多值性。多值性的表现则是的幅角。为明确起见，可以把表示为：，.为了更进一步说明多值函数的性质，现在不妨规定好平面上某一点的值，而后研究沿一定曲线连续变化时，相应的值的连续变化。当沿一定简单闭曲线运行一周回到原处时，我们发现，可能出现两种情形。一种是闭曲线内不包含点，当运

20、行一周回到原处时，也还原，因此对应的值不变；另一种情形是闭曲线内包含点，当运行一周回到原处时，增加，而在平面上，值并不还原。现象1：从上面的分析可以看出，点在多值函数中具有特殊的地位：当绕点转一圈回到原处时，对应的函数值不还原；而当不绕点转一圈回到原处时，函数值还原。因此我们把点称为多值函数的支点(这里是一阶支点，因为绕两圈后还原)。现象2：同样可以看出，也是多值函数的支点。这是因为，如果作一个足够大的闭曲线，当沿这个闭曲线变化一周回到原处时，值一定不还原（只要这个闭曲线足够大，就一定会把点包含在内）。而这样的闭曲线，又可以看成是绕点转一圈。也就是说，当绕点转一圈回到原处时，函数值也不还原。因

21、此点也是的支点。解决办法：这样看来，为了完全确定多值函数的函数值与自变量值之间的对应关系，我们可以采用规定宗量的幅角变化范围。当宗量的幅角限制在某个周期内时，的幅角也就唯一地确定，因而值也就唯一的确定了。例如，规定或，等等。作为一个例子，设，规定，求，和.解：. 因为，所以 . . . .显然，在规定幅角下，的幅角一定限制在，即被限制在平面的上半平面。在这样的限制下，的值与自变量值之间存在一一对应关系。如果规定，则，将限制在下半平面，值与自变量值之间又有新的一一对应关系。在，或，的规定下，还会重复出现这些结果。由于它们并不给出新结果，所以就不必讨论了。这样看来，只要适当规定宗量的幅角变化范围，

22、就可以将多值函数单值化。幅角变化的各个周期，给出多值函数的各个单值分支。每个单值分支都是单值函数，整个多值函数就是它的各个单值分支的总和。在上面的讨论中，多值函数有两个单值分支，分别是的上半平面和下半平面：给出单值分支I：，给出单值分支II：.将多值函数划分为若干个（甚至无穷个）单值分支，其实质就是限制的变化方式，在上面的例子中，就是限制不得绕点或点转圈。这种规定可以用几何方法形象化地表现出来（Riemann面）：在平面上平行于实轴从点向右作一条割线，一直延续到点。如果规定在割线的上岸（接近这个实轴），就给出单值分支I；如果规定在割线的下岸，就给出单值分支II。这两个单值分支合起来，就得到一个

23、完整的平面，即整个多值函数。割线的作用就是限制的变化方式。由于割线连接了多值函数的两个支点，和，因此，不再能够绕一个支点转圈了（这时，绕两个支点转一圈还是允许的）。更进一步地，我们可以将两个割开的平面粘接起来，第一个面的割线下岸（）和第二个面的割线上岸（）相连，第一个面的割线上岸（）和第二个面的割线下岸（）相连。这就构成了二叶Riemann面。对于函数来说，二叶Riemann面上的点和平面上的点是一一对应的。这种做法的好处是，的变化路线不受限制，可以从一个单值分支运动到另一个单值分支。因此，只要规定了在某一点的值，并明确说明的连续变化路线，我们就可以得到唯一确定的值。注意： * 单值分支的划分

24、不是唯一的，或者说，宗量幅角变化范围的规定不是唯一的。例如，也可以规定：和，（即相当于从点沿负实轴方向到点作割线），或和，（即相当于从点沿虚轴正方向到点作割线）。*割线的做法多种多样，甚至不必是直线。在一般情况下，割线可能不止一条，也不一定需要用一条割线把全部支点都连接起来。* 支点必为奇点。这是因为在支点的邻域内无法把各单值分支分开，支点对各单值分支来说是共有的，这点的导数无法定义。*奇点不见得是支点。例如是奇点但不是支点。多值复变函数不能象实分析中那样分解为多个独立的单值函数，而是通过Riemann曲面单值化。关于Riemann曲面，可以用“时钟面”来帮助理解。即问当长针指在“1-12”圈

25、的“3”时短针指在“0-12”的何处？这一关系可理解为多值（12个值）函数。为指出短针的确切位置，可如此分析：长针走12圈，短针走一圈。假定长针从“12”开始走完第一圈进入第二圈时不是原来的平面，而是第二个平面。再第三、第四圈亦如此，直至十二个平面。长针走第13圈时才进入第一个平面，这时短针也回到原来的位置。虽然实际上长针所走的这十二个平面是重叠的，但不是孤立的，而成螺旋状，中心点（以及点）为这十二个面所共有。同时想象第十二平面的终了与第一平面的开始连接起来，这样一个几何实体（从正面看是一个平面，从侧面看有十二叶）就是一个Riemann曲面。中心点（与点）称为支点，且为阶支点，在Riemann

26、曲面上函数单值。例如，长针指在第5叶的“3”上，则短针必然在“4”与“5”间的某处。2对数函数指数函数的反函数对给定的z，满足方程的称为对数函数，记为.令，就得到.所以，（）.多值函数，有时也称为其主值。其多值性的来源是宗量幅角的多值性，多值性的表现则是函数值的虚部。对应每一个值，有无穷多个值，它们的实部相同，虚部相差的整数倍。的支点是和.作割线连接和，并规定割线一侧的值，即可得到的单值分支。有无穷多个单值分支，相应地，的Riemann面是无穷多叶的。每个单值分支内，都有.双曲函数还有，奇点：，以及，奇点：. 3一般幂函数：（任意复常数），多值函数，支点：.4反三角函数：;（双多值函数，只能取

27、一个）.（单多值函数）例1判断函数的支点，其中是不同的复常数。解：分析：可能的支点为. 常用方法：设是其内部包含a点而不包含b点的简单曲线，当沿绕a一圈时，的幅角增量为. 常用技巧：设，即 （，且），则 当沿绕a一圈后，即增加后，不还原，说明a点为的支点（其实为超越支点无穷阶支点）。同理，b点也是的超越支点。对点，此时，当绕原点转一圈后，即增加后，值还原，说明点不是的支点。对于点，此时，当绕点转一圈后，即增加后，值不还原，说明点是的支点，而且也是超越支点。例2判断函数的支点，求，？解：可能的支点为.（是奇点但不是支点。）1）点邻域，一阶支点；2） 点邻域，一阶支点；3） 点邻域，不是支点；因此

28、，是的两个支点。从作割线，有两个单值分支。我们选定的一个单值分支如下：规定在割线的上岸I：，则在割线的上岸有 ，因此， （上岸I）.当I上的点绕过左端点（）回到下岸II上具有相同坐标x点时，即在割线的下岸II上，有，. 因此， （下岸II）.练习：当然，我们也可以从I上的x点绕过割线的右端点回到II上的x点。这时，. 即有，.因此， （下岸II）. 结果一样。现在来求的值。在点处，（从上岸绕过点到）. 因此，.因此， .练习：如果从上岸绕过点到，则有，. 因此，. 因此， .例3判断函数的支点，并求解：可能的支点为.1） 点邻域，不是支点；2） 点邻域， 一阶支点；3） 点邻域， 一阶支点；4

29、） 点邻域，不是支点；因此，是的两个支点。从作割线，有两个单值分支。我们选定的一个单值分支如下：规定在割线的上岸I：，则在割线的上岸有，. 因此，（上岸I）.当I上的点绕过左端点（）回到下岸II上具有相同坐标点时，（转），（不变），即在割线的下岸II上，有 ，. 因此，（下岸II）.练习：当然，我们也可以从I上的x点绕过割线的右端点回到II上的对应点，这时，即有，. 因此，（下岸II）.再当然，绕过两个支点转一圈亦是允许的，这相当于绕无穷远点转一圈（此例中没有留下效果）。Home work: 1.1(2), (3) ; 1.4(6);1.5; 1.8(4).链接：/s/1gf1AbSZ 密码：

30、pcfxChapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 复变函数积分(Integrals of complex variable functions) 1定义：设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线，函数在l上有定义，沿l取分点，从的一小段上任取一点，作和数，如果当弧段（）的最大长度时，此和数的极限存在，且与和的选取无关，那么这个极限值称为沿曲线l的

31、积分，记作. *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合.因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果l是分段光滑的， 在l上连续，复变函数积分一定存在。 *) 可以把沿曲线的积分化为关于参数的积分参数方程：，即 其中由曲线端点的参数值确定。2性质：若，则.，其中表示的逆向。.，其中M是的上界，是曲线的长。例1求，l为：(i)沿实轴由，再平行于虚轴；(ii) 沿虚轴由，再平行于实轴；(iii)沿直线由.解：令，则，. 对于(i)， . 对于(ii)， . 对于(iii)，, .虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于不是解析函数。例2，其中l以为起点，为终点，路径为：(i)直

32、线段；(ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习）解：(i) l的参数方程为：，所以，则 .(ii) l的参数方程为：，所以，则 .(iii) l的参数方程为：，所以，则 .例3计算积分，其中l为实圆环的上半部分的边界，方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解：咋看起来在D内解析，应该有. 其实不然，仅仅依赖于 而非依赖于：，非解析。例4计算积分，（，其中C是以点为圆心，为半径的圆，积分方向为逆时针方向。解：曲线C 的参数方程为：.,这个积分与半径及常点的位置无关，并且必须在复平面上，其实是个纯虚数。科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。

33、一般来说，它们的值不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的能使积分与曲线段的具体形状无关这正是解析函数。Cauchy定理正是研究这类函数的有力工具（是基础，非目标）。 单连通区域：对于区域D，如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中，曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。 复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定（定义）为正向。 1. 单连通区域的Cauchy定理：如果在闭单连通域中解析，则沿中任何一个分段光滑的闭曲线l，有. 证

34、明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是在中连续（其实，后面会看到，只要在中解析，即存在，则也存在，因而连续），即四个偏导数连续。在此条件下可以应用Green 公式（*） 于复变函数积分，有根据Cauchy-Riemann条件，马上得到.注意（*）：由于Green公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界域，即，不能是包含点在内的（无界）域。以后我们会看到，即使在点解析，它绕点一周的积分也可以并不为0。推论一：如果在闭单连通域中解析，则复变积分与路径无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的Cauchy定理：如果是闭复

35、连通域中的单值解析函数（需要做手脚！），则有，其中是的全部境界线（正方向）。 证明：（略）推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。推论三：设是闭区域（单连通或复连通）上的解析函数，对于D内的一条闭曲线，当它在D内连续变形时积分值始终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。一个常用结果：，其中，在曲线C内。当，在全平面解析，由Cauchy Theorem，对于，在点不解析，由推论三，我们总可以把围绕的任一闭曲线C变为以为圆心的圆周，然后利用前面例题的结果。如果函数在环域内解析，且(这个数值类似于、但不是留数,Residue)

36、，则，曲线C为D内绕点的闭曲线。证明：.，即，任给，存在，使得时，有. （解析函数一致性定理！）所以. 因此，. 只要例2（X）设C为不经过与的正向简单闭路，为不等于零的任何复数，试就C与，的位置关系，计算.解：. 因为C不经过与，故C与，的位置关系有四种可能：（1）与同时位于C的外部，；（2）位于C的内部，位于C的外部，;（3）位于C的内部，位于C的外部，;（4）与同时位于C的内部，由推论二，有 .（X）解析函数不定积分 (Indefine integrals)定理：设是单连通域D内的解析函数，是D内的一个定点，在D内定义函数，则也是D内的解析函数，且，同时，对D内的任意两点和，有.证明：为

37、了证明是解析的，只需要直接求出它的导数就可以了。设是D内一点,是它的邻点，则 ，因为积分与路径无关，所以，由此可得，由于是解析的，它一定连续，即，对于任给，存在，使得当时，只要，同时点落在以点为中心，为半径的圆内，就有 所以，即得 .这就证明了在D内处处可导，是D内的解析函数，并且.根据原函数的定义：如果，则称为的原函数。可见是的一个原函数。对于给定的一个函数来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。这是因为，如果与都是的原函数，则，. 所以，即.现在证明. 设也是的一个原函数，那么，显然，于是上式又可写为： . 因而，.的原函数的集合称为的不定积分，记为.四、科希积分公式 (

38、Cauchy integral formula) Cauchy定理最直接、最重要的结果是Cauchy公式。对于区域上的解析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决定了它在D内任意一点的值。有界区域的Cauchy积分公式：设是闭单连通区域上的解析函数， 为区域境界线，则对区域内任一点，有，其中积分路线沿的正方向。证明：因为，所以只要证明即可。在D内做圆，根据Cauchy 定理推论三(回路变形)，. 因为又因为在点连续，即任给，存在，使得当 时，. 因此，只要上面的，就有. 所以有 .注意：* 此证明亦说明，在内（），虽然的原函数（对数函数）是多值函数，或者做回路积分时，转

39、一圈位相变化（明显地，是的奇点），但是是解析函数; 只不过是当时，. 这样就解析延拓了: 从离开一点点，可由完全决定，再离开一点点，仍然如此,解析函数的一致性定理。*）和由C-R条件以微分形式相互联系，而非独立；）解析函数是一种平面标量场，而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理意义是以复变函数的积分形式关联。* 对于复连通区域上的单值解析函数，只要将积分路线l理解为该区域的全部境界线（都取正方向），则Cauchy公式仍然有效。引理1 (大圆弧引理)（*动机：定积分计算）：如果在区域D：，上连续，且当时，一致地趋于一个复常数，则，其中是以为圆心、为半径、夹角为的圆弧，.（各向同性）证明：

40、因为，所以由于当，时，一致地趋于复常数K，这意味着任给，存在与无关的，使当时，所以 即 .无界区域的Cauchy积分公式：设在闭曲线C及其外部的无界区域上是解析的，且，则有 ，其中积分路线沿C的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。证明：在C外作一个以原点为圆心，为半径的 大圆，这样，对于C和所围的复连通区域，根据有界域Cauchy积分公式，.因为，所以，由引理1，马上得到. 因此，, 并延拓至了。解析函数的高阶导数：如果在中解析，则在D内的任何阶导数均存在，并且，其中积分路线沿的正方向 (在上，在内)。证明：首先求. 因为取极限，左边为. 因此只需证明. 因为由于在上连续，因此是有界的，故

41、在上有. 设到的最短距离. 设境界线的全长为，所以.因此，.用类似的方法，同样可以证明的情况。归纳法：若为真，假定正确，证明成立，则立论成立。无界区域的Cauchy导数公式：设在闭曲线C及其外部的无界区域上是解析的，且，则有，其中积分路线沿C的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。例：计算积分，其中闭曲线C为圆，逆时针方向。解：令，因为并且函数在外部解析，根据无界域Cauchy导数公式.(X) Cauchy公式的几个重要推论：（1）莫勒纳（Molera）定理（Cauchy定理的逆定理）：如果在单连域D内连续，且在D内任意围道积分为，则在D内解析。证明：因为，在D内任意围道积分为0，故与积分路

42、径无关，再考虑到的连续性，可得，所以，. 因此，解析，其导数为. 根据高阶导数的存在性可知，在D内也必解析。（2）Cauchy不等式：设在闭区域内解析，则在边界上连续，在上必有上界、而且达到上界. 因此， ，其中是边界的长度，是到边界的最小距离。 特别是，当边界是以为圆心，为半径的圆时，有 ，这就是Cauchy不等式。（3）最大模定理：若在闭区域内解析，则模的最大值在的边界上。 证明：设M为在边界上的上界，则由上面的推论，对于解析函数（m为正整数），有 ，即，此式对任何m均成立，故取极限，得，.（4）刘维（Liouville）定理：如在全平面解析，而且当时， 有界，则为常数。 证明：以任一有限

43、点z为圆心，R为半径做圆，则根据Cauchy不等式，有 ，其中是在圆周上的上界。 因为当时，有界，故时，有界。因此. 所以，即，由此可知，. 注意，这里事先对函数在无穷远点是否解析，并未作任何限定。Liouville定理告诉我们，在满足定理条件下，函数在无穷远点也一定解析。（5）均值定理：解析函数在解析区域D内任意一点的函数值，等于以为圆心，完全位于D内的任一圆周上的函数值的平均，即. 证明：由Cauchy积分公式，有 . 取积分闭曲线为以为圆心，为半径的圆（但要求完全在D内），故在上，有，所以 .Home work:2.1 (2), (3);2.3.Chapter 3 复变函数级数Abstr

44、act：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为Taylor级数和在孤立奇点附近展开为Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求（将此sum表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数是如此，况且对发散级数尤要cut off！-多项式展开。更有趣的是，这样便构成了本征函数系

45、早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。级数复习: 常数项级数：函数项级数： 几何级数； 指数级数； 三角函数级数。一般级数：解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。问题：设有序列，问，Key：divergence 发散.且 这是log发散。而收敛， convergence，且绝对收敛。 称为Riemann zeta function. ：，而发散（调和级数，和谐级数？）。发散 . 但是为何收敛呢？此几何级数收敛，收敛。再问一致收敛呢？要有学说，而非See (Sub. 1.3) below.在C平面 有无穷多个奇点。是的零点，其它零点落在Riemann 假设：上述

46、零点全部在级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series)复数序列定义：按照一定顺序排列的复数，称为复数序列，记为。一个复数序列完全等价于两个实数序列。聚点：给定复数序列，若存在复数，对于，恒有无穷多个满足，则称为的一个聚点（或极限点）。一个序列可以有不止一个聚点，例如序列就有两个聚点，。有界序列和无界序列：给定复数序列，若存在一个正数，对所有的都有，称为序列有界；否则称为序列无界。极限：给定复数序列，如果对，自然数，使得只要，就有，则称收敛于，记为。一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点。显然，如果写成，则 例如，对于点列

47、，有 （5）序列极限存在（序列收敛）的Cauchy充要条件：任给，存在正整数，使对于任意正整数，有. 一个无界序列不可能是收敛的。 2 复数项级数复数项级数的收敛：一个复数级数，如果它的部分和所构成的序列收敛，即有极限，则称级数收敛，而序列的极限称为级数的和；如果级数不存在（无穷或不定），则称发散。注：，因此，一个复数级数完全等价于两个实数级数。若，都收敛，则收敛；若，至少有一个发散，则发散。收敛的充要条件（Cauchy收敛判据）：任给，存在正整数，使对于任意正整数 有. 特别是，令，则得到级数收敛的必要条件：.绝对收敛：如果收敛，则称绝对收敛。 绝对收敛的性质：绝对收敛的级数一定收敛（因为：

48、 ），反之不定。绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛。两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。例如，是绝对收敛的，则注意最后一步的及的取值范围因为和构成的实数级数收敛，所以构成的实数级数也收敛。由于是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之）比较判别法：若，而收敛，则收敛；若，而发散，则发散；比值判别法（DAlembert判别法）：若，则收敛； 若，则发散；若， 可能收敛，也可能发散；根值判别法（Cauchy判别法）

49、：若，则收敛； 若，则发散；若， 可能收敛，也可能发散；Gauss判别法：如果（至少n充分大） ，则当时，收敛（相当于）；而当时，发散。 3 复变函数级数（设为域D中的连续函数，） 函数级数的收敛：如果对于D中的一点，级数收敛，则称级数在点收敛；反之发散，则称在点发散。 如果级数在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。其和函数是D内的单值函数。一致收敛：如果对于任意给定的，存在一个与无关的，使当时，对于任意正整数对D中每一点均成立，则称级数在D内一致收敛。（X）一致收敛级数的性质：一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内的性质。（*）若在区域D内满足，与无

50、关且收敛，则绝对且一致收敛。（Weierstrass的M判别法）连续性：如果在D内连续，级数在D内一致收敛，则其和函数也在D内连续。这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限，或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，.逐项求积分：设C是区域D内一条分段光滑曲线，如果在C上连续， 则对于C上一致收敛级数可以逐项积分，逐项求导数（Weierstrass定理）：设在中单值解析，在中一致收敛，则此级数之和是D内的解析函数，可逐项求导，求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。 上面这些性质的证明见数学物理方法，北大 吴崇试，高等教育出版社。函数在处连续即可表述

51、为：对任意给定的，总存在，当时，使得成立。一致连续：不依赖于. 例如：，.对任意小的正数，所以连续，但并非一致连续。因为当时，.若，则连续; 若，则. 康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。幂级数( Power series)定义：以幂函数为一般项的级数称为以为中心的幂级数。反之，函数在附近的Taylor级数展开，其系数为.幂级数的收敛性：Abel定理：如果级数在某点收敛，则该级数在圆域内绝对收敛，而且在内一致收敛。证明：因为在点收敛，故一定满足必要条件， .因此存在正数M，使得，于是，.当，即时，几何级数收敛，故在圆内绝对收敛。而当时，而常数项级数收

52、敛，故根据Weierstrass的M判别法，在圆内一致收敛。推论一：如果级数在某点发散，则该级数在圆域外处处发散。当时，外处处发散）; 当时，内处处发散）。推论二：对于幂级数，必存在一个实数，使得在圆内级数处处收敛，同时在圆外级数处处发散。* 这个圆称为的收敛圆，而半径称为收敛半径。* 收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见p.11的第二个菱形的非常规方法更有效。幂级数的收敛圆和收敛半径：在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径：（1），这是因为，根据DAlembert判别法，有时级数收敛。因此得.（2），这是因为，根据Cauchy判别法，有时级数收敛。因此得.幂级数在

53、收敛区域内的性质：在收敛圆内绝对收敛，在收敛圆内的任何闭圆域上一致收敛。Abel theorem.和函数在收敛圆内解析。因幂级数的每一项都是解析函数，由Abel定理知幂级数在其收敛域的任一闭区域中一致收敛，再由Weierstrass定理知其解析和函数在收敛圆内可逐项积分、逐项求导任意次。同上证明积分和求导后级数的收敛半径不变。直接求出收敛半径即可 例：设幂级数的收敛半径为，求下列幂级数的收敛半径。（1）（为实数）； （2）.解： （1），.（2） 注：幂级数在收敛圆内的任何闭区域内是绝对且一致收敛的，因此，逐次求积分和导数任意次；收敛圆内是解析函数，因而可求收敛半径。（即，p.11的第二个菱形

54、）三、解析函数的Taylor级数展开(Expand to the Taylor series)前面我们看到，一个幂级数在它的收敛圆内代表一个解析函数（虽然我们的课程目标是关注函数的非解析性）。现在，我们要提一个相反的问题（inversion problem）：如何把一个解析函数表示成幂级数？解析函数的Taylor级数:（有限远常点附近的级数展开）Cauchy-Taylor定理： 设函数在圆域D：内是解析的，则可以在D内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数 ，其中，并且这样的展开是唯一的。证明：我们要证明对任何（D内任意一闭区域），所展开的幂级数在闭圆域 D1：上是绝对且一致收敛的。在和之间取一圆：

55、，根据Cauchy积分公式，有 ，其中是闭圆域内的任一点。因为其中，即级数是收敛的。根据Weierstrass的M判别法，级数是绝对且一致收敛的。那么也是一致收敛的 一致收敛级数的每一项乘以同一有界函数仍为一致收敛级数，因此可以逐项积分，于是其中 (最后一步用到了阶导数的Cauchy积分式, , see Chapt 2. P.11)。由于是解析的，它必是连续的，因此，利用Cauchy不等式(see Chapt 2. P.13)，有 ，所以 .因为级数是收敛的，所以幂级数在闭圆域上是绝对且一致收敛的。下面证明展开的唯一性：假设两个级数在区域都收敛到，取极限，由于级数在收敛域内是一致收敛的，故有逐

56、项微商，再取极限，又得 .如此继续，即可证得，（展开了且用中心值确定）.Cauchy-Taylor定理的唯一性告诉我们：（1）可以用任何方便的方法来求其展开系数。（2）如果在同一点展开的两个Taylor级数，则可以逐项比较系数。因为Taylor级数在其收敛圆内是一个解析函数，所以被展开的函数如果有奇点的话，只能在收敛圆上或收敛圆外。因此，函数展开为Taylor级数，其最大收敛半径必等于展开中心到被展开函数最近的奇点的距离。，奇点为，因此收敛半径.而在实数范围内，就不能理解收敛半径为何是1了， 因为函数 在整个实轴上都是连续可导、并且任意阶导数都是存在的。函数的幂级数为，其中为Bernoulli

57、多项式（虽然它已知，但是写不出其通项，更写不出末项）。由解得。所以（分子有）推论：假如Taylor级数展开的函数在邻域为零，则即解析函数一致性定理证明： 而因为在内解析，函数除点外解析，所以C内函数解析。由于边界值 决定了其内部值，所以根据Taylor级数公式，容易求得常见的几个函数的Taylor级数：，（），（），（），（）.例：证明.证明：多值函数的Taylor级数（有限远常点附近的级数展开）： 对于多值函数，在确定单值分支后，可以象单值函数一样展开。例1：在的邻域展开.解：的支点为和，由沿负实轴到作割线（当然有其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。取单值分支：规定上岸，则下岸. 因

58、此， ，那么. 于是.又 于是， .自证：若取另一单值分支：规定上岸，则下岸.因此， . 那么，（此是因为再加上就有上岸的）. 于是 .又 于是 （）还可取其他分支: .（X）例2：在的邻域展开（为非整数）。解：的支点为和，由沿负实轴到作割线（当然有其它作法，只是这样作割线，其收敛半径最大）。取单值分支：规定上岸，则下岸. 因此， . 那么，. 于是, 因此， 若取另一单值分支：规定上岸，则下岸.因此 . 那么 . 于是，因此， 在无穷远点的Taylor展开（解析函数的Taylor级数展开）：如果在解析，则也可以在展开成Taylor级数。作变换，则在点解析，将在点展开成Taylor级数，故 ，

59、. 则 ，.在点的Taylor级数只有常数项和负幂项。例：解析函数的Laurent级数展开 (Expand to the Laurent series)Review：.CRCs：CI: CIF:（留数）大圆弧引理：如果在区域D：，上连续，且当时，一致地趋于，则，其中，是以为圆心，为半径，夹角为的圆弧:.习题2.2. 求积分解：令则 其中前因子是因为的幅角转动一圈时的幅角转动二圈，而其积分将仅转动一圈。因为的次幂的系数为所以 一个函数除了可以在解析点作Taylor（圆域内单连通、无奇点）展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数（环域内解析），此即Laurent展开。1Laurent定理：设函

60、数在环形区域内是单值解析的，则可以在此环形区域内展开为绝对收敛且一致收敛的幂级数，其中 是环域内围绕一周的任何闭曲线(详见证明过程，只要并且遍及全解析区域只能围绕一周)，积分沿逆时针方向，并且这样的展开是唯一的。证明：这里所谓的在环域内一致收敛，意即在任何一个外半径，内半径（点画线）的闭环域上一致收敛。设是环域内任一点，且（粗实线附近）. 再取两个圆，和（虚线），并满足和.根据复连通Cauchy积分公式，有(天衣无缝的手术刀，且两者积分方向相同).当在上时，因为，则，（内区域出现负幂次！）级数在上一致收敛，并且随着的减小，这种收敛愈加增快。当在上时，因为，则，（外区域仍然是正幂次！） 级数在上