2023届一轮复习北师大版 第4章 第7节正弦定理、余弦定理的综合应用 学案

1、 正弦定理、余弦定理的综合应用考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角的范围是0，360)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东：(2)南偏西：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即ieq

2、f(h,l)tan 提醒：涉及角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置如方位角135的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135得到终边；方向角南偏西30的始边是指南方向线，向西旋转30得到终边一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)()(4)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习

3、题衍生1点A在点B的北偏东60，则点B在点A的()A北偏西60B南偏东30C南偏西60D北偏西30C如图所示，点B在点A的南偏西60，故选C2如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50eq r(2) mB50eq r(3) mC25eq r(2) mDeq f(25r(2),2) mA由正弦定理得eq f(AB,sinACB)eq f(AC,sin B)，又B30，ABeq f(ACsinACB,sin B)eq f(50f(r(2),2),f(1,2)50eq r(2

4、)(m)3如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_eq f(r(3),2)a由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，所以ACa，所以在RtACB中，ABACsinACBeq f(r(3),2)a4在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔基在同一水平地面上，则塔的高度为_m40如图所示，BD10 m，则AB20 m，AD20 cos 3010eq r(3) m，在ACD中，CD10eq r(3)tan 6030 m，所以塔的高度CB301040 m 考点一解三角形的实际应用

5、典例1(1)(2021福建厦门市高三三模)故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75，冬至前后正午太阳高度角约为30图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()图1图2A3B4C6eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)1)D3eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)1)(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南

6、偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_(1)C(2)eq f(r(21),14)(1)如图，根据题意得ACB15，ACD105，ADC30，CD24，所以CAD45，所以在ACD中，由正弦定理得eq f(CD,sinCAD)eq f(AC,sinADC)，即eq f(24,sin 45)eq f(AC,sin 30)，解得AC12eq r(2)，所以在RtACB中，sinACBeq f(AB,AC)，即sin 15eq f(AB,12r(2)，解得AB12eq r(2)sin 1512eq r(2)sineq blc(rc)(avs4

7、alco1(6045)12eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)f(r(2),2)f(1,2)f(r(2),2)12eq r(2)eq f(r(6)r(2),4)3eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(r(6)r(2)6eq r(3)6故选C(2)在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20eq r(7)由正弦定理，得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)，即sinACBeq f(AB,BC)sinBACeq f(r(21),7)由BAC12

8、0，知ACB为锐角，则cosACBeq f(2r(7),7)由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30eq f(r(21),14)点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依据题意画出示意图跟进训练1(2021开封模拟)国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为()A17米B22米C31米D35米C如图所示，依题意可知ADC45，ACD180

9、6015105，DAC1804510530，由正弦定理可知eq f(CD,sinDAC)eq f(AC,sinCDA)，ACeq f(CDsinCDA,sinDAC)25eq r(2)米在RtABC中，ABACsinACB25eq r(2)eq f(r(3),2)eq f(25r(6),2)31米旗杆的高度约为31米，故选C2如图所示，为了测量A，B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45的方向上，B在C的北偏东15的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开2eq r(6)百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5的

10、方向上，则A，B两座岛屿间的距离为()A3百海里B3eq r(2)百海里C4百海里D4eq r(2)百海里B如图所示，根据题意知：ADCDAC67.5，ACB60，DC2eq r(6)，CE2，BCE75，CBE45，CEB60所以在BCE中，利用正弦定理eq f(CB,sinCEB)eq f(CE,sinCBE)，解得BCeq r(6)，在ADC中，ADCDAC67.5，所以DCAC2eq r(6)，则在ACB中，利用余弦定理AB2AC2CB22ACCBcos 60，解得AB3eq r(2)，故选B 考点二平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问

11、题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果典例2如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，ECeq r(7)，EA2，ADCeq f(2,3)，且CBE，BEC，BCE成等差数列(1)求sinCED；(2)求BE的长解设CED因为CBE，BEC，BCE成等差数列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BECeq f(,3)(1)在CDE中，由余弦定理得E

12、C2CD2DE22CDDEcosEDC，即7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得eq f(EC,sinEDC)eq f(CD,sin )，于是sin eq f(CDsin f(2,3),EC)eq f(2f(r(3),2),r(7)eq f(r(21),7)，即sinCEDeq f(r(21),7)(2)由题设知0eq f(,3)，由(1)知cos eq r(1sin2)eq r(1f(21,49)eq f(2r(7),7)，又AEBBECeq f(2,3)，所以cosAEBcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)cos eq f

13、(2,3)cos sin eq f(2,3)sin eq f(1,2)eq f(2r(7),7)eq f(r(3),2)eq f(r(21),7)eq f(r(7),14)在RtEAB中，cosAEBeq f(EA,BE)eq f(2,BE)eq f(r(7),14)，所以BE4eq r(7)点评：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题跟进训练(2020江苏高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a3，ceq r(2)，B45(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，

14、使得cosADCeq f(4,5)，求tanDAC的值解(1)在ABC中，因为a3，ceq r(2)，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223eq r(2)cos 455，所以beq r(5)在ABC中，由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得eq f(r(5),sin 45)eq f(r(2),sin C)，所以sin Ceq f(r(5),5)(2)在ADC中，因为cosADCeq f(4,5)，所以ADC为钝角而ADCCCAD180，所以C为锐角故cos Ceq r(1sin2C)eq f(2r(5),5)，则tan Ceq f(sin C

15、,cos C)eq f(1,2)因为cosADCeq f(4,5)，所以sinADCeq r(1cos2ADC)eq f(3,5)，所以tanADCeq f(sinADC,cosADC)eq f(3,4)从而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC)eq f(tanADCtan C,1tanADCtan C)eq f(f(3,4)f(1,2),1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)f(1,2)eq f(2,11) 考点三与三角形有关的最值、范围问题1三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边

16、、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围(2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值2求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件，如ABC，0A，bcabc，三角形中大边对大角等求角(函数值)的最值(范围)典例31(2020浙江高考)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin Aeq r(3)a0(1)求角B的大

17、小；(2)求cos Acos Bcos C的取值范围解(1)由正弦定理，得2sin Bsin Aeq r(3)sin A，故sin Beq f(r(3),2)，由题意得Beq f(,3)(2)由ABC，得Ceq f(2,3)A由ABC是锐角三角形，得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)由cos Ccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)eq f(1,2)cos Aeq f(r(3),2)sin A，得cos Acos Bcos Ceq f(r(3),2)sin Aeq f(1,2)cos Aeq f(1,2)sineq blc(rc)(av

18、s4alco1(Af(,6)eq f(1,2)eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3)1,2)，f(3,2)故cos Acos Bcos C的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3)1,2)，f(3,2)点评：求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解求边(周长)的最值(范围)典例32(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB由余弦定

19、理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos Aeq f(1,2)因为0A，所以Aeq f(2,3)(2)由正弦定理及(1)得eq f(AC,sin B)eq f(AB,sin C)eq f(BC,sin A)2eq r(3)，从而AC2eq r(3)sin B，AB2eq r(3)sin(AB)3cos Beq r(3)sin B故BCACAB3eq r(3)sin B3cos B32eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3)又0Beq f(,3)，所以当Beq f(,6)时，ABC周长取得最大值32eq r(3)点评：求边(周长)的最值(范围)问题一

20、般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解求三角形面积的最值(范围)eq 典例33(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asineq f(AC,2)bsin A(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin Asineq f(AC,2)sin Bsin A因为sin A0，所以sineq f(AC,2)sin B由ABC180，可得sineq f(AC,2)coseq f(B,2)，故coseq f(B,2)2sineq f(B,2

21、)coseq f(B,2)因为coseq f(B,2)0，故sineq f(B,2)eq f(1,2)，所以B60(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCeq f(r(3),4)a由正弦定理得aeq f(csin A,sin C)eq f(sin(120C),sin C)eq f(r(3),2tan C)eq f(1,2)由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90由(1)知AC120，所以30C90，故eq f(1,2)a2，从而eq f(r(3),8)SABCeq f(r(3),2)因此，ABC面积的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),8)，f(r(3),2

22、)点评：求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值跟进训练1在钝角ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos Absin A，则sin Asin C的最大值为()Aeq r(2) Beq f(9,8) C1 Deq f(7,8)Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B为钝角，BAeq f(,2)，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2eq blc(rc)(avs4alco1(sin Af(1,4)eq sup12(2)eq f(9,8)，sin Asin C的最大值为eq f(9,8)2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若角A，B，C成等差数列，且beq f(r(3),2)(1)求ABC的外接圆直径；(2)求ac的取值范围解(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又因为ABC，所以Beq f(,3)根据正弦定理得，ABC的外接圆直径2Req f(b,sin B)eq f(f(r(3),2),sin f(,3)1(2