2019年全国Ⅰ卷高考文科数学真题及解析(Word版,精校解析版)

1、- -2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学1. 设 z 3 i ，则 z ( )2iA. 2 B. 3 C. 2 D. 1 答案： C 解析：因为 z3i1 2i(3 i)(1 2i) 1 7i(1 2i)(1 2i) 52. 已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ， A 2 ，3，4，5 ，B 2，3，6，7 ，则 B CUA （A. 1,6 B. 1,7C. 6,7 D. 1,6,70. 2b20. 2 1，答案： C解析：U 1,2,3,4,5,6,7 ， A 2，3，4，5 ， 则 CUA 1，6，7 ， 又 B 2，3，6，7 ， 则B CU A 6 ，

2、7 ，故选 C.3. 已知 a log 20.2，b 20.2 ， c 0.20.3 ，则( )A. a b cB.a c b C. c a b D.bca答案： B解答：由对数函数的图像可知：a log 2 0.2 0；再有指数函数的图像可知：0 c 0.20.3 1，于是可得到： a c b.4.古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是 5 1（ 5 1 0.618 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”22 便是如此 . 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也 是 5 1 . 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头

3、顶至 脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是（）A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm 答案： B解析：方法一：设头顶处为点 A ，咽喉处为点 B ，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点 D ，腿根处为点 E ，足底 处为 F ， BD t ， ，2ABAD根据 题意 可知 AB , 故 AB t ；又 AD AB BD ( 1)t ， AD ， 故 BDDF1DF t ；所以身高 h AD DF ( 1) t ，将 5 1 0.618 代入可得 h 4.24t .2根据腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm可得 AB AC，DF EF ；1

4、5 1即 t 26，t 105 ，将 5 1 0.618 代入可得 40 t 422所以 169.6 h 178.08，故选 B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近， 故头顶至脖子下端的长度 26cm 可 估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 5 12( 5 1 0.618称为黄金分割比例) 可计算出咽喉至肚脐的长度约为 42cm ；将人体的头顶2至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 可计算出肚脐至足底的长度约为 110；将头顶至肚脐的长度 2与肚脐至足

5、底的长度相加即可得到身高约为178cm ，与答案 175cm 更为接近，故选 B.sin x x5. 函数 f (x) sin x x2 在 , 的图像大致为( )cosx x2B.D.答案： D解答：f ( x)sin x x2cos x xsin x xcosx x2f (x)f (x) 为奇函数，排除 A.sin2 2 4 2又 f( ) 2 2 2 20，排除 C，2coscos 2 2sinf ( ) 2 2 0 ，排除 B，故选 D.cos 16. 某学校为了解 1000名新生的身体素质，将这些学生编号为 1,2,3, ,1000 ，从这些新生中 用系统抽样方法等距抽取 100名学

6、生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中 被抽到的是() .A. 8号学生 B. 200 号学生 C. 616 号学生 D. 815号学生 答案： C 解答：从 1000名学生中抽取 100名，每 10 人抽一个， 46 号学生被抽到，则抽取的号数就为 10n 6(0 n 99,n N ，) 可得出 616 号学生被抽到 .7. tan 255 ( )A. 2 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 3答案： Dtan45 tan301 tan45 tan30解析： 因为 tan 255 tan(180 75 ) tan75 tan(45 30 )化简可得 tan 255

7、 2 38. 已知非零向量 a，b满足|a| 2|b|，且(a b) b，则 a与b 的夹角为( )A.6答案： BB.C.D.解答：|a| 2|b|，且(a b) b， (a b) b 0，有 a b |b|2 0，设 a与b的夹角为 ，则有|a| |b|cos |b|2 0，即2|b|2 cos |b|2 0，|b|2 (2cos 1) 0， |b| 0，1cos ， ，故 a与 b 的夹角为 ，选 B .2 3 319. 右图是求 2+2+12的程序框图，图中空白框中应填入(A. A 1B.2AC. A 1 21AD.A21 A 1A 1 2A答案： A解答：把选项代入模拟运行很容易得出

8、结论选项 A 代入运算可得选项B代入运算可得A= 112+ 1 ，满足条件，2+12A=2+ 11 , 不符合条件，2+12 ,不符合条件，选项C代入运算可得选项D代入运算可得1A, 不符合条件，2A 1+1 , 不符合条件 .410. 双曲线 C：2x2aA. 2 sin 40答案： D解答：根据题意可知离心率 e2by2 1(a 0,b 0)的一条渐近线的倾斜角为 130 ，B. 2cos40 C.D.sin50cos50则 C 的离心率为1 a2b tan130 ，所以 ab21 sin2 50cos2 50tan50 sin50cos50cos2 50 sin2 50cos2 50co

9、s2 50cos50知 asinA b sinB 4c siC，n1bcosA则()4cA. 6B.5 C.4D.311. ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已答案： A解答：由正弦定理可得到： asin A bsinB 4c sin C a2 b2 4c2，即 a2 4c2 b2 ，又由余弦定理可得到：b2 c2 a2 1bcosA b c a 1 ，于是可得到 62bc 4c12. 已知椭圆 C的焦点坐标为 F1( 1,0) ， F2(1,0) ，过 F2的直线与 C交于 A， B两点，若AF2 2 F2B2A. x y2 12答案： B解答：AB BF1 ，则 C 的方

10、程为(B.22xy132C.2 x2 yD.2 x2 y114354)由AF22 F2B， ABBF1， 设F2 Bx， 则AF22x，BF1 3x ，根据椭圆的定义 F2B BF1 AF2 AF1 2a ，所以AF1 2 x，因此点 A即为椭圆的下顶点， 因为 AF2 2F2B ，c 1所b 91以点 B 坐标为 ( 3, b) ，将坐标代入椭圆方程得92 1 1，解得2 24a2 4a2 3,b2 2 ，故答案选 B.13.曲线 y 3(x2 x)ex在点(0,0) 处的切线方程为 .答案： y 3x解答： y 3(2x 1)ex 3(x2 x)ex 3(x2 3x 1)ex，结合导数的几

11、何意义曲线在点 (0,0) 处的切线方程的斜率 k 3 ，切线方程为 y 3x.314. 记Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 a1 1，S3 3，则 S4.45答案：8解析：a1 1 ， S3 a1 a2 a3设等比数列公比为 q a1 a1q a1q21 q 125所以 S48315函数 f (x) sin(2x ) 3cosx 的最小值为 答案： 4解答：32f (x) sin(2 x) 3cosx cos2x 3cosx 2cos x 3cosx 1，因为 cosx 1,1，知当 cosx 1时 f (x)取最小值，则 f (x) sin(2x ) 3cosx 的最小值为 4 16

12、.已知 ACB 90 ，P为平面 ABC外一点， PC 2，点 P到 ACB两边 AC,BC的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC的距离为.答案： 2解答：如图，过 P 点做平面 ABC 的垂线段，垂足为 O ，则 PO 的长度即为所求， 再 做 PE CB, PF C，A 由 线 面 的 垂 直 判 定 及 性 质 定 理 可 得 出OE CB,OF CA ，在 Rt PCF中，由 PC 2,PF 3，可得出 CF 1 ， 同 理 在 Rt PCE 中 可 得 出 CE 1 ， 结 合 ACB 90 ，OE CB,OF CA 可 得 出 OE OF 1 ， OC 2 ，POPC2 OC22

13、17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和 50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客30201) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；2) 能否有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附： 2 n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)2P( 2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解答：1） 男顾客的的满意概率为 P50 530 3 女顾客的的满意概率为 P .50 5(2)100(40 20 10 30) 4.762(40 10)(30 20

14、)(40 30)(10 20)4.762 3.841有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18.记Sn为等差数列 an 的前 n项和，已知 S9a5；（1）若 a3 4 ，求 an 的通项公式；（2）若 a1 0，求使得 Sn an的 n的取值范围 . 解答：9（a1 a9）（ 1 ） 由 S9a5 结 合 S91 99a5 可 得 a5 0 ， 联 立 a3 4 得 d 2 ， 所 以2an a3 （n 3）d 2n 10（2）由 S9a5可得 a14d，故 an （n 5）d， Sn n（n 9）d .1 n 2由a1 0知 d 0，故 Sn an等价于 n2 11n 10

15、 0，解得 1 n 10， 所以 n 的取值范围是 n1 n 10,n N19. 如 图 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 是 菱 形 ， AA1 4,AB 2， BAD 60 ， E,M ,N 分别是 BC,BB1,A1D 的 中点 .（1）证明： MN /平面 C1DE（2）求点 C到平面 C1DE 的距离. 解答：（1）连结 A1C1,B1D1相交于点 G，再过点 M 作 MH /C1E交 B1C1于点 H ，再连结 GH ， NG.E,M,N分别是 BC , BB1, A1D的中点 .于是可得到 NG / /C1D ， GH / /DE ，于是得到平面 NGHM

16、/ 平面 C1DE ， 由 MN 平面 NGHM ，于是得到 MN / / 平面 C1DE(2) E 为 BC中点， ABCD 为菱形且 BAD 60DE BC ，又 ABCD A1B1C1D1为直四棱柱， DE CC1DE C1E ，又 AB 2,AA1 4 ，DE3,C1E 17，设点 C到平面 C1DE 的距离为 h由 VC C1DEVC1 DCE 得 解得 h 4 173 17 h3211132417所以点 C 到平面 C1DE 的距离为 4 171720. 已知函数 f (x) 2sin x xcosx x， f (x)是 f (x) 的导数.1)证明：f (x) 在区间 (0, )

17、 存在唯一零点；(2)若 x 0, 时， f(x) ax，求 a的取值范围 .解答：(1)由题意得 f (x) 2cosx cosx x( sin x) 1 cosx xsinx 1令 g(x) cosx xsin x 1， g (x) xcosx当 x (0, 时， g (x) 0， g( x)单调递增，2当 x (2 , ) 时， g (x) 0 ， g(x) 单调递减， g(x) 的最大值为 g( ) 1，又 g( ) 2， g(0) 0 g( ) g(2) 0，即 f ( ) f (2) 0， f (x)在区间 (0, )存在唯一零点 .(2)令 F(x) f(x) ax 2sin x

18、 xcosx x ax， F (x) cosx xsinx 1 a，由(1)知 f (x)在 (0, )上先增后减，存在 m ( , )，使得 f (m) 0，且 f (0) 0， 2f ( )= 1 0 ， f ( ) 2 ，22 F (x) 在 (0, ) 上先增后减， F (0) a ， F ( ) 1 a ， F ( ) 2 a ， 22当F ( ) 0时， F ( x)在(0, )上小于 0 ， F (x)单调递减，2又 F(0) 0，则 F(x) F(0) 0不合题意，当F ( ) 0时，即1 a 0，a 1时，2 2 2 若F (0) 0，F ( ) 0 ， F ( x)在(0,

19、 m)上单调递增，在 (m, ) 上单调递减，F(0) 0 则 解得 a 0 ，F( ) 0F (0) a 0而 解得 2 a 0 ，故 2 a 0，F ( ) 2 a 0若F (0) 0，F ( ) 0，F(x)在(0, ) 上单调递增，且 F(0) 0，F (0) a 0故只需 解得 a 2 ；F ( ) 2 a 0若F (0) 0，F ( ) 0，F(x)在(0, )上单调递增，且 F(0) 0，2故存在 x (0, ) 时， F(x) F(0) 0 ，不合题意，综上所述， a 的取值范围为 ,0 .21. 已知点 A, B关于坐标原点 O对称， AB 4，e M 过点 A,B且与直线

20、x 2 0 相切.( 1)若 A 在直线 x y 0 上，求 e M 的半径；(2)是否存在定点 P ，使得当 A运动时， MA MP 为定值？并说明理由 . 解答：(1) eM 过点 A, B ，圆心在 AB的中垂线上即直线 y x上，设圆的方程为 (x a)2 (y a)2 r2，又 AB 4，根据 AO2 MO2 r2得 4 2a2 r2；e M 与直线 x 2 0相切， a 2 r ，联解方程得 a 0,r 2或a 4,r 6.(2)设 M 的坐标为 ( x, y ) ，根据条件 AO2 MO2 r2 x 2 即4 x2 y2 x 2 化简得 y2 4x ，即 M 的轨迹是以 (1,0) 为焦点，以 x 1为准线的抛物线，所以存在定点 P(1,0) ，使 MA MP (x 2) (x 1) 1.22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为4t1 t21 t2（t为参数 ） .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线（1）求 C和l 的直角坐标方程；（2）求 C上的点到 l 距离的最