数字信号处理-习题答案素材charpter

1、2011/1月 违者必究 北京大学出版社 第8章时域离散系统的实现与数字信号处理量化效应引言离散事件系统的实现数字信号处理量化效应快速傅里叶变换FFT算法的有限字长效应【本章教学目的与要求】掌握时域离散系统网络结构编程实现的方法；熟练掌握数字信号处理过程中量化误差的分析与计算；学会分析FFT变换算法的有限字长效应。【本章知识结构】引言时域离散系统的实现方法一般分为软件实现方法和硬件实现方法。软件实现就是在通用计算机上编写程序实现各种复杂的处理算法。程序可以由处理者编写，也可以应用信号处理程序库中的现成程序来进行处理。硬件实现方法按照设计的运算结构，利用加法器、乘法器和延时器构成的专用数字网络，

2、或采用专用集成电路实现某种专用的信号处理功能。数字信号处理系统对信号处理的方法是数值计算方法，信号均采用二进制编码，而存放二进制编码的寄存器均为有限位，因此所有的数字信号的数值、系统参数、运算中的中间变量以及运算结果均需用有限位的二进制码表示，这样就带来了许多误差，使系统处理结果偏离原来的设计效果,甚至使理论上的稳定系统变成不稳定系统。量化效应对滤波器幅频特性的影响 IIR 6阶椭圆滤波器的幅频特性曲线 直接型结构滤波器系数量化处理前后幅频特性对比曲线 级联型结构时系数量化前后幅频特性曲线（两者基本上一样） 根据设计好的系统的网络结构，来设计系统实现的程序，这些程序可以在通用计算机上实现也可以

3、在信号处理专用芯片上实现。离散时间系统的差分方程、输入信号及初始条件已知的情况下，可以用递推法求得系统的输出。在已知系统单位采样响应和输入信号的情况下，可以由线性卷积和求得。但是这些求法都没有考虑系统实现的具体结构，并且延时大，误差累计多，同时也要求系统存储量大。8.1离散时间系统的实现系统网络节点排序实例起始数据，按照编号次序得到运算次序为 （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7）数据更新：（8）循环运行以上（1）（7）步。软件实现流程图量化及量化误差 A/D变换的量化效应 数字滤波器的系数量化效应 8.3数字信号处理中的量化效应8.3.1 量化及量化误差 序列值用有限长度的二进

4、制数表示称为量化编码。 例如序列值，用二进制数表示为，如果限制用六位二进制数表示，则为,而，引起的误差为,该误差称为量化误差。 假设用b+1位二进制数表示，1位表示符号，尾数用b位表示，能表示的最小单位称为量化阶，用表示， 。 如果二进制编码的尾数长于b，则必须进行尾数处理，处理成b位，称为量化。 尾数处理有两种办法:舍入和截尾。截尾法处理时将尾数的第b+1位以及后面的二进制编码全部略去。舍入法是将第b+1位按逢1进位，逢0不进位，然后将b+1位以后略去，显然这两种处理方法的误差会有不同。量化误差的范围:对于定点舍入法，原码、补码和反码的量化误差的范围均为 。对于截尾法，不同的编码其量化误差的

5、范围不同。定点补码的量化误差范围为 。定点负数原码的量化误差范围为 ，定点正数原码的量化误差的范围为 。舍入和截尾误差的特性 定点制和浮点制舍入误差和截尾误差的概率密度 量化误差的统计特性定点舍入量化处理,误差序列e(n)的概率统计密度函数及其统计平均值和方差量化误差的统计特性定点补码截尾量化处理，误差序列e(n)的概率统计密度函数及其统计平均值和方差8.3.2 A/D转换器的量化误差 A/D转换器将输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号的器件。b的数值可以是8，12或高至20。A/D变换器前一般都加一个前置模拟低通滤波器滤除高于折叠频率(采样频率之半)的频率模拟输入信号必须乘一个比

6、例因子A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的动态范围量化误差的统计分析 A/D转换器的统计模型 A/D转换过程中量化误差适合应用统计特性分析法，量化编码后 的信号用 表示，没有量化的信号用 来表示,则有：量化误差的统计分析e(n)是一个平稳随机序列e(n)与信号也不相关e(n)本身的任意两个值之间不相关，具有白噪声性质e(n)在其误差范围内均匀等概分布。 假设e(n)具有下列特性： 在采样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看作是相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因此信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。对于舍入处理，设信号的功率为 ,则信号功率与噪声功率

7、 之比为表示为分贝值为: 量化信噪比与所需字长的关系 信号的平均功率 与量化噪声的平均功率 之比 信噪比用对数表示时，单位dB 信号功率 越大，信噪比越高；随着字长b的增加，信噪比也增大，字长b每增加一位，则信噪比增加约6dB。字长越长，A/D变换的信噪比越高 为了使信号不超过定点制运算所允许的动态范围，用一个小于1的正数C（0C1)去乘x(n) 信号的平均功率 与量化噪声的平均功率 之比 选择C值：使 例题【例题8-1】语音和音乐信号可以看作是一个随机信号，其特性可以用概率分布来表示这些信号，它们的幅值为零附近，概率分布曲线出现峰值，且随幅度增加分布曲线值急剧下降，采样幅度超过信号均方值3倍

8、或4倍的概率极小。如果人耳对声音信号的感觉范围大约为100dB，试确定A/D变换的字长。 人耳对声音信号的感觉范围为100dB，所以有A/D转换的至少应满足的字长为b=16。 解：因为采样幅度超过信号均方根值3倍或4倍的概率极小，取压缩系数 ，则不出现限幅失真的概率是极高的，此时信噪比为例题【例8-2】设一A/D转换器把最大输入为5V的信号量化处理为4位二进制（不包含符号位），用图形描述其输入输出关系。例8-2量化处理结果图结论：若需得到信噪比大于70dB，至少需要满足b12bit字长过长也无必要：输入信号xa(t)本身也有一定的信噪比，字长长到A/D变换器的量化噪声比xa(t)的噪声电平更低

9、则没有意义为提高信噪比，可以增大输入信号，但这受到A/D变换器动态范围的限制，还可以增加字长b，但这又受到输入信号xa(t)信噪比的限制 8.3.4数字滤波器运算中的量化效应量化噪声通过线性系统设e(n)是定点补码舍入误差，e(n)的均值为me 、方差为 则系统量化噪声的输出 的均值mf和方差 计算如下： 【例8-5】 一IIR滤波器的系统函数为 系统采用定点舍入法，试分别计算直接型结构、级联型结构和并联型结构的输出噪声功率。解：（1）直接型结构。考虑系统中的每一条乘法支路引入一个噪声源，直接型结构的统计模型如图8.12所示，系统结构图中有两个噪声源通过整个系统，两个直接输出。又设围线c为逆时

10、针的闭合单位圆，围线内只有两个极点z=0.9,z=0.8所以有（2）级联型结构。将滤波器系统函数分解为级联的形式其中：统计模型图（3）并联型结构，系统函数分解为并联型结构 1取：2统计模型图：3计算得到对比三种形式：直接型结构的所有舍入误差都经过系统全部网络的反馈环节，误差累积起来了，所以误差大；而级联型结构中的舍入误差只通过其后面的反馈环节，故舍入误差比直接型的小；并联型结构的每个并联网络的舍入误差只通过本网络，与其他网络没有关系，误差累积作用更小，所以在一般情况下，并联型结构的输出误差最小。理想数字滤波器的系统函数为 其中 是系数 的量化结果：对系数 量化后，其实际传递函数为：8.3.3数

11、字滤波器系数量化效应系数量化误差对极点的影响系数量化后的极点为：原系统函数H(z)的分母多项式为令A(z)0，得到H(z)的极点：极点位置的偏差量，由各个系数偏差 引起的，因此结论： 就是极点 对系数 变化的灵敏度 越大， 对 的影响也越大 越小， 对 的影响就越小下面根据A(z)来求这个极点位置灵敏度 的表达式： 而：得极点位置灵敏度为：分母中的每一个因子 代表着某一极点 指向当前极点 的矢量，而整个分母正是所有极点指向当前极点 的矢量积 。高阶直接型结构滤波器对系数量化误差的敏感性高于低阶直接型结构滤波器;并联型结构及级联型结构每对极点只受与之有关的两个系数的影响，且每个子系统的极点密集度

12、要稀疏得多，因而极点位置受系数量化的影响比直接型结构要小得多 极点位置灵敏度与极点间距离成反比 【例8-3】 设一低通滤波器的传递函数如下，利用a2变化造成的极点位置灵敏度，为保持极点在其正常值的0.5%内变化，试确定所需要的最小字长。解 经计算求得 的极点分别是则：由式（8-17）得到a2变化的影响所以有采用定点二进制表示小数点后位数为b位，则分辨率为 ，有可得b=9时才能满足性能要求。 8.4 FFT算法的有限字长效应 FFT是计算DFT的快速算法，在数字滤波器和频谱分析中广泛采用DFT，所以弄清楚FFT中寄存器的长度影响是非常重要的。和数字滤波器一样，精确计算这种影响是困难的，一般为了选

13、择寄存器长度，采用简化的分析方法就够了，借助于可加性噪声分析。以时间抽取DIT为例进行有限字长效应分析，并且针对的是舍入情况，其他FFT算法及截尾运算结果是相似的。DFT变换中的有限字长效应分析 DFT的定义式为对于指定的k值可以把上式看成是卷积运算，与下式相当 在定点实现时，每个乘积均需作尾数处理。假设乘积 舍入引起的量化误差为 ，DFT的等效统计模型如下图 由于误差源直接加在输出端，所以总的输出误差为一般x(n)和 都是复数，因此计算一次 复数乘法运算需要四次实数乘法来完成，四次实数乘法引入四个实的舍入误差 及 。如果不考虑系数的量化误差，则经舍入处理后可表示成 8.4.2 定点FFT计算

14、中有限字长效应分析 定点制运算中只有乘法引入量化误差，加法运算不引入误差蝶形运算中只在乘系数 时引入一个误差源 是复数相乘，所产生误差 就是一个复数一个复数相乘要由四个实数相乘来构成、每个实数相乘都将引入一个相应的误差。一个复数乘法运算引入的误差的方差为误差源 通过后级蝶形运算，其方差不会改变，通过乘以系数 后方差也没有影响， 每一个输出端都与N1个蝶形相连，即有N1个量化噪声源对每个输出端有贡献 在终端，在离散傅里叶变换上叠加的输出噪声的均方值为当N很大时，可近似地认为8.4.3 系数量化对FFT的影响当系统确定后，系数值就是已知的，因而量化后系数值也是已知的，所以对于一个具体的系统，系数量

15、化误差不是随机性的。利用统计分析方法，目的是为了在不知道系统的具体数值时，在一定字长下，对系数量化造成的影响做一统计性估计。采用的办法是在系数上引入一个随机扰动，也就是系数用它的真值加上一个白噪声序列来代替，从而估计这个噪声引起的输出噪声/信号比值。这与量化引起的的系数误差有细微的不同，但二者大体上相同。 理想DFT为 当系数量化后，上式可以表示成式中F(k)是由系数量化引起的DFT计算误差 系数量化后，每一个支路的 变成了 ，因而由于故略去 的高阶项，并假定各 是统计独立、白色等概分布的随机变量，则有由于x(n)为已知，因而因为则可以得到因为 所以有可得输出误差F(k)的方差为了方便，令根据

16、DFT帕塞瓦定理可得输出均方误差与输出均方信号的比值为可以得到输出噪声/信号比值随信号点数N增大而增加的速度极为缓慢，只与 成正比，N加倍时L只增加1，输出噪声/信号比值增加极小。该式通常要比实际误差稍大，但仍可做粗略的估计用。可得输出均方误差与输出均方信号的比值为可以得到输出噪声/信号比值随信号点数N增大而增加的速度极为缓慢，只与 成正比，N加倍时L只增加1，输出噪声/信号比值增加极小。时域离散系统的软件实现法是按照所设计的软件在通用计算机上实现，硬件实现是按照所设计的运算结构，利用加法器、乘法器和延时器等组成专用的设备，完成特定的信号处理算法。一般理论设计完成后，只得到系统的系统函数或差分方程，因此还必须再具体设计一种算法，进行实现。本章主要介绍了利用离散时间系统的网络结构来编程实现的方法。用计算机处理信号就不可避免的遇到量化问题，也就是信号的量化问题（