好好看看几何模型

1、创作时间：二零二一年六月三十日全等三角形相关模型总结之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GJ射线ACA、例题1、如图，在4ABC中，/C=90 ,AD 平分/ CAB,BC=6cm,BD=4c郦么点D到直线AB的距离是cm.2、如图，已知，/1 = /2,/3=/4,求证： AP平分/ BAC.3、如图，在四边形 ABCD中,BC AB,AD= CD,BD平分/ ABC求证：/A+ /C= 180 .（二）角平分线+垂线，等腰三角形必出现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF/射线OB例1、如图，在4ABC中，

2、/ABC= 3/C,AD是/ BAC的平分线,BE,AD于F .求证：BE （AC AB）.例2、如图，在 ABC中，/BAC的角平分线 AD交BC于点D,且AB=AQ,作CMLAD交AD的延长线于 M.求证：AM 1（AB AC）.（三）效线，分两边，对称全等要记全两个图形而昭线都是在射线ON上取点B,使OB= OA,从而使创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日AOAC2A o BC .A、例题1、如图，在 ABC中，/BAC=60 , /C=40 ,AP 平分/ BAC交 BC于 P,BQ 平分 / ABC交 AC于 Q,求证：AB+ BP= B0 AQ .2、如图，

3、在 ABC中,AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点 A 的任意一点，试比力PB+ PC与AB+ AC的年夜小，并说明理由.3、在zABC中,ABAC,AD是/ BAC的平分线,P是线段 AD上任意一 点（不与A重合）.求证：AB- AO PB- PC .4、如图，zABC中,AB=AC,/A= 100 , ZB的平分线交 AC于D,求 证：AD+ BD= BC .5、如图，zABC中,BC = AC,/C= 90 , ZA的平分线交 BC于D,求 证：AC+ CD= AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角极点，在斜边上任取一点的旋转全等：把持过程：（1）将4ABD逆时针旋

4、转 90 ,得ACMABD从而推出 ADM 为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点 C作MCLBC,使CM= BD,连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：把持过程：连结AD.（1）使 BF= AE （或 AF= C6，导出ABDI3 AADE.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日（2）使 / ED斗 /BAG= 180，导出BDF AADE.1、如图，在等腰直角 ABC中，/BAG= 90 ,点 M N在斜边BC上 滑动，且/MANk45 ,试探究 BM、MN CN之间的数量关系.2、两个全等的含有 30 ,60角的直角三角板 ADE和A

5、BC按如图 所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连 接 ME MC.试判断 EMC的形状，并证明你的结论.3、已知，如图所示，RtzABC中,AB = AC,/BAC= 90 ,0 为BC中点， 若M N分别在线段AG AB上移动，且在移动中坚持 ANh CM.（1）试判断 OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M N分别在线段AG AB上移动时，四边形AMON勺面积如 何变动？4、在正方形 ABCB ,BE = 3,EF = 5,DF = 4,求 / BA日 /DCF 为几多 度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；

6、（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：1、如图，在等腰直角 ABC中,AC=BC,/ACB= 90 ,P 为三角形 ABC 内部一点，满足 PB= PC,AP= AC,求证：/ BCP= 15 .三、三垂直模型（弦图模型）创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日A、例题已知：如图所示，在4ABC中,AB = AC,/BAC= 90 ,D 为AC中点,AFLBD于点E,交BC于F,连接DF .求证：/ ADB= /CDF.太P变式1、已知：如图所示，在AC解B： AC,AM= CN,AFLBM 于 E,交 BCT,连接

7、NF . 一证：/AMB= /CNF (2) BM= AF+ FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BMW FN分别延长交于点P,四、手拉手模型1、zABE和4ACF均为等边三角形结论：(1) AABfAAEC ./BOa /BAE= 60 .OA平分Z EOF .(四点共1拓展：ABCffi 4CDE均为等边三角形结论：(1) AD= BE; /ACB= /AOBPCQ为等边三角形；PQZAE;AP= BQgc圆证)J)创作时间：二零二一年六月三十日求证：(1) PM= PN (2) PB= PF+ AF .创作时间：二零二一年六月三十日CO平分/AOE (四点共圆证)OA=

8、 0打OCOE= OO OD .(7) , (8)需构造等边三角形证明)例、如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM BM CM以 AB为一边向外作等边三角形 ABE将BM绕点B逆时针旋转60获 得BN,连接EN.(1)求证： AM印AENB(2)若AM+BM+CM值最小，则称点M为4ABC的费尔马点.若点M 为4ABC的费尔马点，试求此时/ AMB /BMC /CMA勺度数；(3)小翔受以上启发，获得一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以 ABC的AR AC为一边向外作等边 ABE 和等边4ACF连接CE BF,设交点为M,则点M即为 ABC的 费尔马点.试说明这种作法的依

9、据.2、zABD和4ACE均为等腰直角三角形结论：(1) BE= CD (2) BE!CD .3、四边形ABE可口四边形 ACH国为正方形.结论：(1) BD= CF; (2) BDL CF .变式1、四边形 ABEF和四边形 ACHD匀为正方形,ASLBC交FD于T,求证：(1) T 为 FD中点；(2)?ABC S-ADF .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD匀为正方形,T为FD中点,TA创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日交BC于S,求证：AS BC .4、如图，以 ABC的边AB AC为边构造正多边形时，总有:36012 180五、半角模型条件： 1，且+

10、=180 ,两边相2思路：1、旋转 辅助线：延长 CD至U E,使ED=BM AE或延长CB至U F,使FB=DN,连AF 将4ADN绕点A顺时针旋转90得AABF,注意：旋转需证 F、B、M三点共线结论：(1)MN= BM DN (2)c%mn=2AB; (3) AM AN分别平分/ BMN /MND .2、翻折（对称）辅助线：作AP, MN交MNT点P将E要证明M P、N三点共线例1、在正方形ABCM ,若M N分别在 4ADN ABM分别沿 AZ AM!折，但一BC CD上移动，且满足 MN= BM DN,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日求证：(1) / MAN 45 ;Ckmn=2AB;AM AN分另U平分/ BMN和/DNM.变式：在正方形 ABCB，已知/MAK 45 ,若 M N分别在边 CBDC的延长线上移动，AHL MN垂足为H,(1)试探究线段 MIN BM DN之间的数量关系；(2)求证：AB= AH例2、在四边形 ABCM，/B+ /D= 180