直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断x2y2设直线y=kx+b，双曲线a2-2=1(a0,b0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0(aw0)，=B24AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若A0,直线与双曲线相交，有两个交点；若A=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若A0,TOC o 1-5 h z0.k2-2解得k的取值范围是-2k2(其中O为原点)，求k的取值范围.x2y2解设双曲线C2的方程为a2-b2=i,贝Ua2=4-1=3,C2=4,由a2+b2=C2,得b2=1,x2故C2的方程为17

2、2=1.X2(2)将y=kx+,:2代入可-y2=1,得(1-3k2)x2-6，.J2kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1-3k2W0.1二(-6：12k)2+36(1-3k2).汰2.且卜20.-96、.；2k2=1-3k2.设A(x1,yj,B(x2,yj，则x1+x2=r2，x1x-x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+飞(kx2+飞3k2+7=(k2+1)X1X2+V12k(X1+X2)+2=3k2-I.又OAOB2,得xu3k2+7-3k2+9y1y22，10,解得3k23,TOC o 1-5 h z由得3k2o)y2二-2px(p0)4图形a范围x0,yeRx0

3、,b0)的离心率为2若抛物线C2：X2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A.X2=83yB.X2或yC.x2=8yD.X2=I6y(2012四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|二()C.4x2y2,c.：a2+b2自主解答(1):双曲线C1：,-r=1(a0,b0)的离心率为2,.七二一=1a2b2aal(m双曲线的渐近线方程为gxy=O,.抛物线C2:X2=2py(p0)的焦点0,到双P在巴曲线的渐近线的距离为2=2,.p=8,所求的抛物线方程为X2=16y.P

4、(2)依题意，设抛物线方程是y2=2Px(p0)，则有2+2=3,得p=2,故抛物线方程是y2=4x,点M的坐标是(2,2%.12),|OM|=、/+=2手.答案(1)D(2)B练习2:若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且IAM1=v17,lAF1=3，求此抛物线的方程解析设点A是点A在准线上的射影，则IAA1=3，由勾股定理知IMA上2V2，点A的横坐标为(2v2,3-p代入方程12=2py得P=2或4抛物线的方程12=4y或2=8y题型3:直线与抛物线的位置关系1.设抛物线方程为y2=2px(p0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线

5、方程联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0.(1)若mw0,当A0时，直线与抛物线有两个公共点；当A=0时，直线与抛物线只有一个公共点；当A0)上.求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q.证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点.自主解答依题意，|OB|二8，；3，NBOy=30.设B(x，y)，则x=|OB|sin30。=4飞，y=|OB|cos30=12.因为点B(4a,13，12)在X2=2py上，所以(4、)2=2px12,解得p=2.故抛物线E的方程为X2=4y.(2)证明：由知y=4X2，y=2x.1设P(x0，y0)，则xowo，y

6、o=4x2，且1的方程为y-yo=2xo(x-xo)，即y=2xox-4x0.由,11y=2xox-4xo得1iy=-i,x上1。，y二-1.所以Q为1设M(0，y1)，令MPMQ=0对满足y0=4x0(xowo)的x0，y0恒成立.仆-41由于MP=(xo,yo-yi),MQ二W，-i-yi，107X2-4由MPMQ=0,得-y0y1+y1+y2=0,即(y1+y1-2)+(1-y1)y0=o.(*)1由于(*)式对满足y0=4x0(x0w0)的y0恒成立，所以i-y广0,y2+y1-2=0,解得yi.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).练习3:(2012泉州模拟)如图，点。为坐

7、标原点，直线l经过抛物线1C：y2=4x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为2，求直线l的方程；，并给出证明.(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心/FAI为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系解：(1)抛物线的焦点F(1,0),当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意.k=0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x-1),即kx-y-所以，解得k二士3.3一故直线l的方程为：y=二3-(x-1)，即x:3y-1=0.直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则丫2=4x0.因为|8耳=木=乂0+1,所以B(-x00).所以

8、直线AB的方程为：y=2xL(x+x0),整理得：x2x0y-X。把方程代入y2=4X得：y0y2-8x0y+4x0y0:0,二64乂2-16x0y2-64x2-64X2=0,所以直线AB与抛物线相切.基础练习：x2y2.（2012济南模拟）抛物线的焦点为椭圆4+互-1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为（）A.X2-4“J5yB.y2-4：；5xC.X2-4.yi3yD.y2-4y13x解析：选A由椭圆方程知，a2-9,b2-4,焦点在y轴上，下焦点坐标为（0，-c）,其中c-飞晟-b2-；瓦.抛物线焦点坐标为（0，-肉，抛物线方程为X2-4；亏y.（2012东北三校联考）若抛物线y2-

9、2Px（p0）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为（）A.2B.18C.2或18D.4或16解析：选C设P（x0,y0）,则px0+2-10,|y0|-6,y02-2px0,(p),36-2P10-2,即p2-20p+36-0,解得p-2或18.I2)3(2013大同模拟)已知抛物线V2=2Px(p0)的准线与曲线X2+y2-6x-7=0相切，则P的值为()B11D-4A21C.2p解析：选A注意到抛物线y2=2px的准线方程是乂=-2,曲线x2+y2-6x-7=0,_一Pc_即(x-3)2+y2=16是圆心为(3,0)，半径为4的圆.于是依题意有2+3=4.又p0,

10、因P止匕有2+3=4,解得p=2.4.(2012郑州模勘已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()n5nA./或l66n3nB.4或彳n2nC.3或TnD-22p6解析：选B由焦点弦长公式|AB|=砌得sn品=12,2n3n所以sine=勺，所以e=4或彳.5.(2012唐山模拟)抛物线y2=2px的焦点为F,点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2).若点F恰为MBC的重心，则直线BC的方程为()A.x+y=0B.xy=0C.2x+y1=0D.2xy1=0解析：选C点A在抛物线上，4=2p,p=2,抛物线方程为y2=4x,焦点F(1,0)设点B(x1,y1)，点

11、C(x2,y2)，则有yI=4x1,y2=4x2,由-得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)得k二BC-X2%+丫2y+y0+2又丁-3-=0，+丫2=-2，kBC=-2.又/1+；2+1=1,.飞+勺二2,BC中点为(1,-1),则BC所在直线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.6.(2013湖北模勘已知直线y=k(x-m)与抛物线y2=2Px(p0)交于A、B两点，且OAOB,OD,AB于口若动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m=()TOC o 1-5 h zb1一二-厂，km解析选D设点D(a,b)则由ODAB于D得1ak则b=-1+2，、b=ka-m,

12、a二-bk；又动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,即a2+b2-4a=0,将a=卜代入k3mkm上式，得b2k2+b2+4bk=0,即bk2+b+4k=0,-1+k2-1+2+4k=0,又kw0,则(1+k2)(4-m)=0,因止匕m=4.x2y237.(2012安徽模拟)已知椭圆C1：-+b2=1(0b0)的焦点是椭圆的顶点.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M(-1,0)的直线l与抛物线C2交于E,F两点，过E,F作抛物线C2的切线11,l2,当ljl2时，求直线1的方程.c飞：Z-b2行解：(1).椭圆C1的长半轴长a=2,半焦距c=,：4-b2.由e二3二七一二-2-得b2二1,.椭圆C的上顶点为(0,1),即抛物线C2的焦点为(0,1),故抛物线C2的方程为X2=4y.(2)由已