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1、一维原子链的振动3.1 一维原子链的振动一、一维单原子链的振动 每个原子的质量为m，平衡时原子之间的距离为a，由于热振动各原子离开了平衡位置，用xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子与第n+1个原子的相对位移为xn+1-xn，第n个原子与第n-1个原子的相对位移为xn-xn-1 n-2 n-1 n n+1 n+2 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为u(a)，令，产生相对位移后，相互作用势能为 第1项为常数，第2项为0，高阶项可忽略，恢复力为简谐近似只考虑近邻原子之间的相互作用力，则第n个原子受到的作用力为xn-2 xn-1 xn xn

2、+1 xn+2如果两个相对位移符号是相同的，则第n个原子受到的这两个力方向是相反的。合力为由牛顿运动定律得第n个原子的运动方程为方程共有N个，组成联立的线性齐次方程组，设方程的解是一振幅为A，角频率为的简谐运动：n取1,2,N上式表明：一维原子链中的每个原子都在做角频率为的简谐振动，不同位置的原子位相可以不同，如果第n个原子与第n个原子的位相因子之差为则表明两个原子因振动产生的位移相同，由于n是任意的，因此，不同的原子总有与其位移相同的许多个原子，因此，在晶体中存在一定频率的波格波格波的波长为，波速为但是，并不是任一频率的格波都会在晶体中传播，将xn代入方程得：色散关系中的qa改变2的整数倍，即因此，qa取2范围内的值就可以给出所有的格波，qa再取其他的值并不给出新的解。qa取 - ， ，q的取值正是一维原子链的第一布里源区。当q很小时波速为常数二、一维双原子链对于一维格子，如果原胞内含有多个原子，则是一维复式格子。考虑两个原子的情况，即一维双原子链，设一个原胞的体积为2a，质量为m的原子分别位于2n-1,2n+1,2n+3,各点，质量为M的原子分别位于2n-2,2n, 2n+2, 各点，仍假设回复力为-，只考虑近邻原子的相互作用，则 2n-2 2n-1 2n2n+1 2n+2 a

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