基础统计复习文件汇编

1、 基础统计复习资料概论统计学中的常用差不多概念总体X 有X1,X2,X3,XN个单元 随机抽取n个组成样本单元：x1,x2,x3,xn则： N总体容量 n样本容量 统计资料整理一、数据的分组、整理写出最大值Xmax、最小值Xmin求出极差d = Xmax Xmin分组，算出组距、组中值据样本的单元数，求出分组数的经验值为：样本单元数40-5050-100100-200200-500500分组数6-87-109-1212-1717-20上限：每一组数据中最大的变量值下限：每一组数据中最小的变量值组距 = 极差分组数 = 上限 下限组中值 = （ 上限 + 下限 ） 2计算频数和频率频数 = 各组

2、分配的统计单元数频率 = 各组单元数占总体单元数的比重 = 频数 各单元数之和（n）作频率分布图例题例：设以不重复抽样方式从1600块面积为0.4公顷的林地所组成的总体中等概地抽取50块林地组成样本，样本各单元的蓄积量值为：1.5010.34.34.1711.18.5011.8.58.811.812.5312.32.78.73.5.17.4105.411.31.6010.75.4.77.64.97.611.24.2.5.32.9605.73.16.77.79.62.94.216.65.84.66.4试进行数据整理解：1. Xmax = 16.6 Xmin = 0 2. 求出d = 16.6 0

3、 = 16.6 3. 分组，计算组距、组中值 分为10组，组距 = 16.6 10 = 1.66 1.7 4.计算频数 （ f i ）、频率分组组中值划正（上限排外）频数 f i频率0 1.70.85正正一110.221.7 3.42.55正50.13.4 5.14.25正70.145.1 6.85.95正70.146.8 8.57.65正50.18.5 10.29.35正50.110.2 11.911.05正70.1411.9 13.612.7520.0413.6 15.314.450015.3 17.016.15一10.02合计5014. 作频率分布图静态分析指标一、平均指标的计算算术平均

4、数X = ( x1 + x2 + x3 + +xn ) n = ( x i ) n加权平均数X = ( x1f1 + x2f2 +x3f3 + +xnfn ) n = ( x i fi ) ( fi ) 众数 = 总体中出现次数最多或最普遍的标志值中位数 Me当n 为偶数时：中位数 = ( Xn/2 + Xn/2+1 ) 2当 n为奇数时： 中位数 = X(n+1)/2二、标志变异指标的计算极差 d = Xmax Xmin总体方差 2 = （ Xi X ）2 n = （ Xi2 ） n X2样本方差 S2 = （ Xi X ）2 ( n 1 )总体标准差= 2样本标准差 S = S2离散系数（

5、变异系数）V = X三、例题测量10株苗木高度（单位：cm），得下列数据：52.7，50，55.4，61.2，55.4，49.5，50，55.4，55.4，61.2求这10株苗木的算术平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差和变异系数。解：把数据整理为：数据52.75055.461.249.5出现次数（频数）12421则：算术平均数 = （ 52.7150255.4461.2249.51 ） 10 = 54.62 （cm）众数 = 55.4中位数 = （ X5 X6 ）2 = ( 55.449.5 ) 2 = 52.45极差 = 61.2 49.5 = 11.7方差 = 16.1616标准差

6、= 4.0201变异系数 = 4.0201 54.62 = 0.0736设有以下在胸径标志的样本分组资料，试计算其平均胸径、胸径方差、标准差、极差、中位数、变异系数。胸径分组0-11-22-33-44-55-66-77-88-99-10株数311118231613852100组中值0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5解：平均胸径 = （ 0.531.512.5113.5184.5235.5166.5137.588.559.52 ） 100 = 4.91方差 = 3.7219 标准差 = 1.9292极差 = 9 中位数 = 4.5 变异系数 = 0.3929抽样推断抽样

7、推断包括了随机抽样、统计可能和假设检验三方面的内容。一、有关概率论的知识事件随机事件：在相同条件下每次试验可能出现，可能不出现的事件。必定事件：每次试验中必定出现的事件。不可能事件：每次试验中不可能出现的事件。概率在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定地在固定常数p附近摆动，则称p为事件A的概率，表示为P(A) = p 。不可能事件的概率为0，必定事件的概率为1。随机变量的数学期望与方差随机变量的数学期望E ( X ) = 随机变量以概率为权数的加权平均数 = X随机变量的方差D ( X ) =2正态分布（常态分布）随机变量X在其平均值附近的概率分配较多，而远离平均值的概率分配专门少的最常见的

8、分布规律。记为：X N ( , 2 )，其概率密度分布为:f （X）= EXP ( X X )2 ( 22)(2)E ( X ) = , D ( X ) =2标准正态分布当E ( X ) = 0 , D ( X ) =1时的正态分布，记为：N（0，1）二、常用统计量的无偏可能、渐近无偏可能无偏可能：样本某统计量的数学期望等于其可能的总体参数，则那个可能统计量就叫做该总体参数的无偏可能。样本平均数是总体平均数的无偏可能，即E（x）= X。样本方差是总体方差的渐近无偏可能，即E（S2）= 2。三、可能值的误差限和可靠性若统计量X为未知参数x的可能，则：绝对误差 = | Xx |相对误差= X可能精

9、度A = 1可靠性1，其中为危险率四、求点可能（定值可能）与区间可能的步骤点可能：求出平均数X、标准差S 计算绝对误差 下结论：以1的可靠性求出平均值为X，绝对误差为区间可能：求出平均数X、标准差S 计算绝对误差，置信区间X, X 下结论：以1的可靠性求出可能值为X，绝对误差为，置信区间为X, X五、总体平均数的抽样可能条件：正态：总体均服从（或近似服从）正态分布独立：总体是相互独立的等方差：各总体方差相等方法：重复抽样不重复抽样大样本（n50或2已知）求平均数X、标准差S计算绝对误差，置信区间 = uS(n-1)3. 结论：以1的可靠性求出可能值为X，绝对误差为，置信区间为X, X1. 求平

10、均数X、标准差S2. 计算绝对误差，置信区间 = uS(N n)/N(n-1)3. 结论：以1的可靠性求出可能值为X，绝对误差为，置信区间为X, X小样本（n50或未知1. 求平均数X、标准差S2. 计算绝对误差，置信区间 = tS(n-1)3. 结论：以1的可靠性求出可能值为X，绝对误差为，置信区间为X, X注：S 2 = 样本方差 = （n-1）2n (重复抽样情况下) = N (n-1) 2n (N-1) (不重复抽样情况下)2 = 总体方差u = 查附表2：标准正态概率双侧临界值表。如=0.05时，u0.5 = 1.96；=0.1时，u0.01 = 1.64t = 查附表3：t 分布临

11、界值表。如=0.05，n = 5时, t0.05（5-1）= t0.05（4）= 2.776例1：用重复抽样方法测得30株马尾松人工林的胸径数据如下：13.611.210.28.59137.18.214.511.78.75.110.511.510.911.110.212.67.210.59.49.78.712.210.21210.810.39.512.5试以0.95的置信度求林分平均胸径所在范围解：1. 求平均数X、标准差SX = 10.35 S = 2.012. 查附表3得t0.05（30-1）= t0.05（29）= 2.045 3. 计算绝对误差，置信区间 = tS(n-1) = 2.0

12、452.0129 = 0.76X = 9.59 X = 11.12 4. 下结论：以0.95的可靠性求出可能值为10.35，绝对误差为0.76，置信区间为9.59，11.12六、总体频率的抽样可能重复抽样不重复抽样大样本（n50）求频率pp = 样本具有某特点的单元数样本总单元数 = m n查附表2得u求绝对误差限、置信区间 = up(1-p)n4. 下结论：以1的可靠性求出总体频率的可能值为p，绝对误差为，置信区间为p, p1. 求频率pp = 具有某特点的单元数总单元数 = m n2. 查附表2得u3. 求绝对误差限、置信区间 = up(1-p)(N-n)n（N-1）4. 下结论：以1的可

13、靠性求出总体频率的可能值为p，绝对误差为，置信区间为p, p例：为可能某针阔混交林中针叶林地面积所占百分比，用重复抽样方式抽取了100个点进行观看。观看结果有68个点为针叶林。试以0.95的可靠性可能该混交林中针叶林面积所占百分比的置信区间解：1.求频率pp = 68100 = 0.68 1p = 0.322.查附表2得u0.05 = 1.963. 求绝对误差限、置信区间 = u0.050.680.32100 = 0.09 p= 0.59, p= 0.774. 下结论：以0.95的可靠性求出总体频率的可能值为0.68，绝对误差为0.09，置信区间为0.59，0.77第八章 显著性检验（统计假设

14、检验）总体平均数的显著性检验重复抽样不重复抽样大样本（n50或2已知）假设：H0：=0，即总体平均值无显著差异H1：0，即总体平均值有显著差异计算统计量U =（X ）n = （X ）(n-1)S3. 查附表2得u下结论：若|U| u 则拒绝H0，即总体平均值有显著差异若|U|u 则同意H0，即总体平均值无显著差异1. 假设：H0：=0，即总体平均值无显著差异H1：0，总体平均值有显著差异2. 计算统计量U =（X ）N(n-1) (N-n) = （X ）N(n-1)S（N-n）查附表2得u下结论：若|U| u 则拒绝H0，即总体平均值有显著差异若|U|u 则同意H0，即总体平均值无显著差异小样

15、本（n50假设：H0：=0，即总体平均值无显著差异H1：0，即总体平均值有显著差异计算统计量T = （X ）(n-1)S查附表3得t(n-1)下结论：若|T| t(n-1) 则拒绝H0，即总体平均值有显著差异若|T| t(n-1) 则同意H0，即总体平均值无显著差异注：X = 计算出来的样本平均数 = 题目给出的总体平均数 = 题目给出的总体标准差 S = 计算出来的样本标准差总体成数（频率）的显著性检验大样本：n50或2已知1. 假设：H0：p = p0，即总体频率无显著差异 H1：总体频率有显著差异2. 计算统计量U = ( p p0 ) n p0 (1- p0 ) = (m np0) n

16、p0 (1- p0)其中：m = 具有某特点的样本个数 n = 样本总容量 p0 = 题目给出的总体成数（频率） p = mn查附表2得u下结论：若|U| u 则总体频率有显著差异 若|U|u 则总体频率无显著差异两总体平均数的显著性检验1. 假设：H0：1 = 2，即两总体平均数无显著差异 H1：两总体平均数有显著差异2. 计算统计量大样本： U = ( X1 X2 ) （1/n11/n2）= ( X1 X2 ) (n1n22) (n1S12n2S22)（1/n11/n2）小样本： T = ( X1 X2 ) (n1n22) (n1S12n2S22)（1/n11/n2）其中：X1、X2分不为

17、两个样本的平均数 n1、n2 分不是两个样本的容量S1、S2分不是两个样本的标准差3. 查附表2或3得u或t(n1n22)4. 下结论：大样本： 若|U| u 则两总体平均数有显著差异 若|U|u 则两总体平均数无显著差异小样本： 若|T| t(n1n22) 则两总体平均值有显著差异若|T| t(n1n22) 则两总体平均值无显著差异两总体频率（成数）的显著性检验1. 假设：H0：p1 = p2，即两总体频率无显著差异 H1：两总体频率有显著差异2. 计算统计量U = ( p1 p2) P (1-P )(1/n11/n2) 其中：p1、p2分不为两样本的频率 n1、n2分不为两样本的容量m1、

18、m2分不为两样本具有某种特性的个数p1 = m1n1 p2 = m2n2 P = （m1m2） (n1n2)3. 查附表2得u4. 下结论：若|U| u 则两总体频率有显著差异 若|U|u 则两总体频率无显著差异两个总体方差的显著性检验1. 假设：H0：两个总体方差无显著差异 H1：两个总体方差有显著差异2. 计算统计量F = n1S12(n21)n2S22(n11)其中：n1、n2分不是抽自两个正态总体的样本容量 S12、S22分不是两个样本的方差，且S12S223. 查附表5 (F分布临界值表)得F (n11, n21)4. 下结论：若F F (n11, n21) 则两个总体的方差有显著差

19、异若F F (n11, n21) 则两个总体的方差无显著差异例题：例1：已知某炼铁厂的铁水含量在正常情况下有正态分布N (4.55,0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分不为：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？ （=0.05）解：1.假设： H0：总体平均值无显著差异 H1：总体平均值有显著差异2.计算统计量X = 4.364 = 4.55 2 = 0.1082U = (4.3644.55)50.108 = -3.85103.查附表2得u0.05 = 1.964.下结论：由于|U| 1.96 ，因此总体平均值有显著差异。例2：某厂生产

20、乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（公斤/厘米2）的正态分布。现从一批产品中抽取10根，测得其抗拉强度为：10512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10581，10666，10670。问：这批产品的抗拉强度有无显著变化？（=0.05）解：1.假设：H0：总体平均值无显著差异 H1：总体平均值有显著差异2.计算统计量X =10631.4公斤/厘米2 = 10560公斤/厘米2 S = 76.8404公斤/厘米2T = （10631.410560）（101）76.8404 = 2.78763. 查附表3得t0.05（101）= 2.2624.下

21、结论：由于|T| 2.262 ，因此总体平均值有显著差异，即这批产品的抗拉强度有显著变化。例3：林场与4个治理区订合同，造林成活率达到85%时认为达到要求，然后把4个治理区造的林，用重复抽样方式分不各调查200株，其中第一治理区成活180株；第二治理区成活185株；第三治理区成活168株；第四治理区成活170株。这4个治理区造林成活率是否达标？（=0.05）解：1.假设：H0：总体频率无显著差异 2.计算统计量p1 = 180200 =0.9 p2 = 185200 =0.925 p3 = 168200 =0.84 p4 = 170200 =0.85U1 = (0.90.85)200(0.85

22、0.15) = 1.9803U2 = (0.9250.85)200(0.850.15) = 2.9704U3 = (0.840.85)200(0.850.15) = -0.3961U4 = (0.850.85)200(0.850.15) = 03. 查附表2得u0.05 = 1.964.下结论：由于| U1| 1.96，| U2| 1.96，| U3|1.96，| U4|1.96 ，因此，只有第一、二治理区造林成活率达到要求。例4：两台机床加工同一种圆筒，抽样测量产品内径，结果如下：第一台机床：n1 = 100, X1 = 33.75, S1 = 0.1第二台机床：n2 = 100, X2 =

23、 34.15, S2 = 0.15试检验两台机床所加工圆筒内径均值有无显著差异（=0.05）解：1.假设：H0：两台机床所加工圆筒内径无显著差异2.计算统计量U = (33.7534.15)(1001002)(1000.121000.152)（1/1001/100） = -22.07683. 查附表2得u0.05 = 1.964.下结论：由于| U | 1.96 ，因此两台机床所加工圆筒内径有显著差异。例5：为了可能两个工厂所生产的产品质量，取出样品n1 = 200和n2 = 300件产品，在这两个样品中，分不出现m1 = 20和m2 = 15件废品。在显著水平0.05下，检验关于两个工厂生产

24、废品率相等的零假设：H0：p1 = p2, 备择假设H1：p1 p2解：1.假设：H0：p1 = p2 H1：p1 p22.计算统计量p1 = 20200 = 0.1 p2 = 15300 = 0.05 P = (2015)(200300) = 0.07 1P = 0.93U = (0.10.05)0.070.93(1/2001/300) = 2.14673. 查附表2得u0.05 = 1.964.下结论：由于| U | 1.96 ，因此两个工厂生产的废品率有显著差异。例6：依照抽自正态总体X1和X2的容量n1 = 9和n2 = 6的两个独立样本，求得样本方差S12 = 14.4和S22 =

25、20.5，在显著水平0.1下，检验关于总体方差相等的零假设H0：12 =22解：1.假设：H0：12 =22 H1：12 22 2.计算统计量S12S22F = 620.58914.45 = 1.51853. 查附表5得F0.05 (5,8) = 3.694.下结论：由于| F | 3.69 ,因此，在显著水平0.1下，两总体方差相等。第九章 相关与回归一、一元线性回归方程的建立x = 自变量 y = 因变量X = (xi )n Y = (yi )n Lxx = (xi 2 ) (xi )2n = nSx2Lyy = (yi2 ) (yi )2n = n Sy2 Lxy = xi yi (xi )(yi )n一元线性回归方程为：y = a b x其中：b = Lxy Lxx a = Y b X二、样本相关系数样