12数学教学目标模型

1、第二节数学教学目标模型如何将目标分类的界定具体转化为数学教学中所要实现的目标，建立起数学学科的教学目标模型，是一个值得深入研究的重要问题。一、威尔逊的数学教学目标模型美国佐治亚大学数学教育系系主任威尔逊(JWWilson)，根据布鲁姆的学说结合对数学学科的深入分析，写出了中学数学学习评价一书，书中编制了一个新的数学学业成绩评价模式。这个模式在对数学学习行为的分类上，既包括了认知领域的成果，又包括了情感领域的成果。其中认知领域的行为目标分为“计算、领会、运用、分析”四级水平，每级水平又划分为若干子类，类别详尽，概括性很强；情感领域的类别读来也令人耳目一新。这里主要介绍威尔逊认知领域数学教学目标中

2、每一级水平及其子类的特征，同时列举了该书中的一些测题，它们可以用于表征和测量属于某级水平上的数学行为。1计算算计算水平平是学生生作出的的作为数数学教学学成果的的最简单单的行为为，它要要求能回回忆基本本事实的的知识、术语的的知识或或按照学学生先前前已经学学过的规规则操作作问题中中的元素素，即能能进行记记忆的简简单练习习和常规规的变换换练习，重点是是知道或或实施运运算，而而不要求求作出决决策或进进行复杂杂的记忆忆。计算水平平包括三三个子类类。(1)具具体事实实的知识识。这个个子类包包括的目目标是：学生以以与课程程学习中中材料出出现的几几乎完全全一样的的方式复复述或辨辨别材料料；它也也可包括括基本的

3、的知识单单元，例例如数的的基本事事实等。(2)术术语的知知识。在在学习数数学的过过程中，学生会会遇到大大量的术术语，例例如，公公理、推推论、空空集、阶阶乘、绝绝对值、多边形形等。在在几何学学习中，学生应应该能够够辨别诸诸如锐角角、钝角角和直角角；在代代数学习习中，学学生应该该知道“化简表表达式”指导语语的涵义义是什么么，等等等。(3)实实施算法法的能力力。这是是根据一一些学过过的规则则，变换换一个刺刺激物的的元素的的能力，它并不不要求学学生选择择算法。上述三个个子类的的测题，分别如如下：例1 半半径为rr的圆的的周长公公式是 (A)CCr2； (BB)Cr；(C)CC2r； (DD)C2r2。

4、例2 55！等于于 (C)554321； (D)554321；(A)55%； (B)110%；(C)220%； (D)40%。2领会会领会水平平既与回回忆概念念和通则则有关，又与把把问题中中的元素素从一种种形式转转化为另另一种形形式有关关，重点点是反映映对概念念和它们们之间的的关系的的理解程程度，而而不是运运用概念念来作解解答。此此外，计计算水平平的行为为有时表表现为领领会水平平的行为为，或包包含在领领会水平平的行为为之中，但是，领会水水平是比比计算水水平更为为复杂的的一系列列行为。领会水平平包括六六个子类类。(1)概概念的知知识。一一个概念念的知识识和一个个具体事事实的知知识之间间的区别别并

5、不十十分明显显。实际际上，一一个概念念是一系系列相互互联系的的具体事事实的结结合体。当然，从认知知方面来来说，一一个概念念的知识识要比一一个具体体事实的的知识更更复杂些些。(2)原原理、规规则和通通则的知知识。这这一子类类要求学学生知道道概念之之间和问问题元素素之间的的关系。试题是是否表征征或测量量了原理理、规则则和通则则的知识识，取决决于学生生已学过过的材料料。如果果学生必必须形成成原理、规则或或通则，或者为为了回答答问题而而使用原原理、规规则或通通则，那那么这种种行为处处于比领领会水平平更高一一级的水水平。(3)数数学结构构的知识识。数学学教学的的内容可可以划分分为几个个大类，但是，对渗透

6、透在任何何一个类类别中的的一般可可统一起起来的内内容主要要有：集集合语言言和集合合符号的的使用、数学系系统的结结构(一种与与内容密密切联系系的结构构，不是是一种心心理结构构)和数学学过程。数学结结构是中中学数学学教学大大纲里一一个统一一的主题题，主要要包括数数系的性性质和代代数结构构的性质质。这个个子类中中的试题题所表征征和测量量的行为为与术语语的知识识是有区区别的，一般把把仅论及及现代数数学的术术语的试试题用于于表征和和测量数数学结构构的知识识。(4)把把问题元元素从一一种形式式向另一一种形式式转化的的能力。这是一一个重要要的领会会水平的的行为，它可以以指从语语言描述述向图形形表示的的转化，

7、或从语语言表达达向符号号形式的的转化，或者是是每一种种情形反反过来的的转化。值得注注意的是是，转化化的能力力并不包包括在转转化之后后实行一一种运算算。因此此，把一一个语言言论述转转化为一一个方程程需要这这种能力力，但解解答这个个问题应应是运用用水平的的任务。(5)延延续推理理思路的的能力。这一子子类主要要指阅读读数学表表达的能能力和倾倾听数学学论证的的能力，这是接接受数学学方面交交流的能能力。(6)阅阅读和解解释问题题的能力力。在阅阅读数学学材料和和问题的的过程中中，需要要一些特特殊的技技能和能能力，它它们属于于正常的的语言技技能和一一般阅读读能力范范畴之外外。阅读读和解释释数学问问题的能能力

8、所表表现的行行为，虽虽然还远远远没有有达到解解决问题题的能力力，但它它却是必必不可少少的第一一步。上述六个个子类的的测题，分别如如下：例4 复复数53i的共共轭复数数是 (A)53i； (B) 53i；(C)335i； (D)35i。例5 如如果把一一个数的的小数点点向右移移三位，这是在在 (A)用用10000除这这个数； (BB)用1000除这个个数；(C)用用3乘这个个数； (DD)用10000乘这个个数。例6 如如果(NN68)265444811，则(NN58)(N78)等于 (A)66543381； (B)65444711；(C)66544481(D)66545581；(E)66545

9、524。对于例66，学生生可能从从解方程程的角度度去回答答，但也也可能从从结构或或形式的的知识出出发作出出回答。例7 假假定对任任何数aa和 b，一一种运算算定义为为a*bbaab，则则5*22等于 (A)110； (B)112；(C)115； (D)220；(E)335。(A)如如果把xxy0代入第第一个方方程，这这个方程程变为xx2y225，因因此，方方程组变变为一个个含有两两个未知知数的方方程，所所以，原原方程组组有无穷穷多个解解；(B)如如果用xx去除第第二个方方程，得得y0，如果果用y去除它它，得xx0，把这这些值代代入第一一个方程程得出002，这是是不可能能的，因因此，原原方程组组

10、无解；(C)由由xy0，可得得x0或y0，把x0代入第第一个方方程，得得出y5；再把把y0代入这这个方程程，得出出x5，因此此，原方方程组恰恰好有四四个解；(D)如如果用xx去除第第二个方方程，得得到y0，既然然y0，就不不可以用用y去除第第二个方方程，把把y0代入第第一个方方程，得得到x5，因此此，原方方程组只只有两个个解；(E)把把两个方方程相加加得出xx22xyyy225，即即(xyy)225，例9 某某人上集集市买了了一张桌桌子，价价格标签签上标出出原来的的价格是是60元，若卖主主打200%的折折扣出售售，折扣扣额是多多少？这这里不要要求解出出，回答答下列的的问题：问题中中的比率率是什

11、么么？原价价是多少少？要求求出的是是什么？3运用用运用水平平的行为为涉及学学生作出出的一系系列反应应。这一一特点使使它与计计算水平平或领会会水平相相区别。运用水水平需要要回忆有有关的知知识，选选择合适适的运算算并实施施之。运运用水平平涉及的的活动是是常规的的，它要要求学生生在一个个特定的的情景中中，以一一种他以以前实践践过的方方法去运运用知识识和方法法。运用水平平包括四四个子类类。(1)解解决常规规问题的的能力。常规问问题是指指那些与与学生在在课程学学习中遇遇到的问问题相类类似的问问题。解解决常规规问题的的能力涉涉及选择择一个算算法并实实施之。实质上上，它要要求学生生作出一一系列领领会水平平的

12、行为为后，实实行运算算直至获获得答案案。(2)作作出比较较的能力力。这一一子类需需要学生生决定两两组或几几组信息息之间的的关系并并形成一一系列的的决策。在这一一过程中中，需要要回忆有有关的知知识，如如概念、规则、数学结结构、术术语等，也可能能涉及一一些计算算，并引引出推理理和逻辑辑思考的的行为。但是，这是一一种常规规性的形形成决策策的过程程。例如如，从许许多可得得的备选选方案中中作出选选择的行行为便是是这种能能力的一一个重要要方面。(3)分分析已知知条件的的能力。这一子子类涉及及阅读和和解释信信息，使使用信息息并最终终作出决决策或下下结论。这个行行为能把把一个问问题分解解成它的的构成部部分，能

13、能从无关关信息中中鉴别出出有关信信息，能能与已经经获得解解答的子子问题建建立联系系。(4)识识别同型型性和对对称性的的能力。在这个个水平上上所需要要的行为为再次要要求作出出一连串串的反应应：回忆忆信息、转化问问题元素素、变换换已知条条件和识识别一个个关系，要求学学生从一一列数据据、已知知信息或或一个问问题情境境中，发发现某些些熟悉的的东西，应该假假定学生生已经学学过同样样的同型型性或对对称性，并且识识别出它它们是可可能的。上述四个个子类的的测题，分别如如下：例10 一个平平行四边边形的两两条边和和一个内内角分别别为122cm、20ccm和1200，求其其中较长长的一条条对角线线的长。例11 比

14、较如如图12所示的的两个三三角形的的面积，正确的的是 (A)ABCC的面积积较大；(B)PQRR的面积积较大；(C)ABCC和PQRR的面积积相等。例12 在一次次选举中中，3556人每每人投一一票，从从5个候选选人中选选出1人，谁谁得票最最多谁将将获胜，那么获获胜者至至少应得得的选票票数是 (A)1179； (BB)1778； (C)89；(D)772； (E)71。例13 410的末位位数字是是 (A)00； (BB)2；(C)44； (DD)6； (EE)8。4分析析分析是认认知水平平中最高高级、最最复杂的的行为水水平，它它包括了了布鲁姆姆教育目目标分类类学中描描述的诸诸如分析析、综合合

15、和评价价的绝大大部分行行为。分分析水平平是指需需要非常常规地运运用概念念，它要要求探测测关系，在一种种非实践践过的情情景中对对概念和和运算进进行组织织和使用用。分析水平平包括五五个子类类。(1)解解决非常常规问题题的能力力。这个个子类要要求学生生把先前前的数学学学习迁迁移到一一个新情情景中去去，发展展解决不不同于已已解决过过的问题题的能力力。这样样的解决决问题的的过程可可能涉及及把问题题分解成成几部分分，并从从每个部部分中探探求所能能知道的的东西，也可能能包括为为了求解解用一种种新方法法重新组组织问题题元素。总之，解决非非常规问问题，是是向学生生提供一一个问题题情景，学生没没有现成成的算法法来

16、解答答，需要要一种探探索性方方法，即即需要制制定一个个计划并并实施它它，或者者反复对对已知情情景和目目标进行行比较，以找出出区别，随着这这些区别别依次消消失，问问题也就就逐步得得到解决决。(2)发发现关系系的能力力。这一一子类需需要用一一种方式式重新组组织问题题元素，以发现现(形成)一个新新关系，而不是是在新的的已知条条件当中中辨别出出一个熟熟悉的关关系。(3)构构造证明明的能力力。这一一子类是是指构造造一种新新证明的的能力，它与模模仿性证证明、重重述证明明(运用水水平)或回忆忆水平(计算水水平)是完全全不一样样的。(4)评评判证明明的能力力。这一一子类主主要是指指能指出出隐藏在在“证明”中的

17、错错误的能能力。(5)形形成和证证实通则则的能力力。这一一子类是是指发现现一个关关系并构构造一个个证明来来证实这这个发现现的能力力。上述五个个子类的的测题，分别如如下：例14 在图13中，分分别经过过射线OOx和Oy上一一点，从从P到Q的最短短路径是是 (A)PPA1A2Q；(B)PPB1B2Q；(C)PPC1C2Q；(D)PPD1D2Q；(E)PPOQ。例15 一个牲牲口栅，长188m，宽宽9m，一一条长116m的的链条系系在牲口口栅中一一条较长长边的中中点，另另一条长长16mm的链条条系在牲牲口栅的的一个角角上。链链条都用用来拴住住一头吃吃草的奶奶牛。问问：哪一一条链条条给予拴拴住的奶奶牛

18、有较较多的活活动余地地来吃草草？两个个活动地地方的面面积之差差是多少少(用3.114作的近似似值)？例16 证明：对于任任何整数数n，是一个整整数。例17 下面是是“任何两两个实数数都相等等”的一个个“证明”：ii2ccab，iii22c(aab)(ab)(ab)，iv2aac2bcca2b2，vb22bccc2a22accc2，vi(bbc)2(ac)2，viibbcac，viiiiba，其中步骤骤不正确确的是 (A)从从ii到iiii； (BB)从iv到v；(C)从从v到vi； (D)从vi到viii。例18 在纸上上画三个个三角形形：一个个是锐角角三角形形，一个个是直角角三角形形，一个个

19、是钝角角三角形形。用直直尺和圆圆规，把把每个三三角形的的每一个个内角平平分。在在此过程程中，你你观察到到每一个个三角形形的三条条内角平平分线之之间有什什么关系系？这对对任何三三角形都都正确吗吗？为什什么？在中学学数学学学习评价价一书书中，威威尔逊还还特别指指出了以以下几点点：第一，行行为水平平具有顺顺序性和和层次性性。它的的顺序性性体现在在：在认认知上，分析水水平比运运用水平平更复杂杂，运用用水平比比领会水水平更为为复杂，而计算算水平包包括那些些在认知知上最简简单的测测试题。它的层层次性体体现在：例如一一个属于于运用水水平的测测试题也也许既需需要领会会水平的的技能(选择恰恰当的运运算)，也需需

20、要计算算水平的的技能(实施一一种运算算)。第二，为为了说明明一道试试题对于于测量某某个行为为水平是是否恰当当，需要要作出有有关学生生背景的的假设。一道试试题究竟竟处于哪哪一水平平，这要要看它是是对于哪哪个年级级水平上上的大多多数学生生或中等等水平的的学生能能否作出出回答而而言。第三，某某个学生生对一道道试题的的回答也也许不能能说明他他的行为为水平。例理数”这这一试题题也许引引出运用用水平的的行为，而不是是分析水水平的行行为。当当一个学学生第一一次遇到到一道题题目，给给出这道道题目的的解答也也许是一一种分析析或运用用水平的的行为；而下一一次遇到到同样的的题目时时，也许许是处于于计算水水平的行行为

21、。第四，在在决定把把一道试试题置于于何种行行为水平平时，学学生解题题所用的的方法也也许能决决定他的的行为水水平。对对于某些些试题，某些学学生也许许以分析析水平的的行为作作出回答答，而另另外一些些学生也也许以常常规的、运用水水平的行行为作出出回答。例如，对于如如下这道道题目：“求从1至25的自自然数之之和”，解这这道题可可以直接接运用加加法法则则，简单单地做112325，这这显然是是计算水水平的行行为，然然而，如如果采用用像高斯斯(CFGauuss)那样的的解法，显然是是属于分分析水平平的行为为。二、国内内对数学学教学目目标模型型的探索索在我国历历次制订订的中学学数学教教学大纲纲中，都都没有教教

22、学目标标的提法法，而是是将教学学目标包包含在教教学要求求和具体体要求之之中。因因此，教教师在教教学中有有必要依依据教学学大纲制制定教学学目标。我国进行行数学教教学目标标实验研研究的教教师，多多数直接接采用布布鲁姆的的六级分分类法，或者根根据实际际和自身身的理解解建立目目标体系系。例如如，有的的将认知知领域数数学教学学目标划划分为五五级水平平：“记忆、了解、简单应应用、综综合应用用、创见见”；有的的划分为为六级水水平：“识记、理解、应用、分析、综合、创新”；也有有的划分分为四级级水平：“了解和和认识，理解、简单应应用、解解决较复复杂的问问题或提提出新见见解”。我们倾向向于按国国家教委委19992

23、年6月制订订的九九年义务务教育全全日制初初级中学学数学教教学大纲纲(试用)中教教学要求求的层次次来划分分学习水水平，即即将认知知领域的的数学教教学目标标划分为为“了解、理解、掌握、灵活运运用”四级水水平。其其理由是是：第一一，“了解、理解、掌握、灵活运运用”四级学学习水平平与威尔尔逊的“计算、领会、运用、分析”四级行行为水平平是吻合合的，比比较符合合数学学学科的特特点；第第二，我我国对数数学教学学目标的的研究目目前尚处处于起始始阶段，把教学学目标的的确定与与教学大大纲一致致起来，便于教教师理解解、掌握握和贯彻彻大纲；第三，大纲对对教学要要求的四四个层次次所作的的明确的的界说，是我国国广大数数学

24、教师师经验的的结晶，因而这这种划分分易于被被大多数数教师所所接受；第四，上述教教学目标标的四级级水平中中，了解解水平和和理解水水平是对对知识而而言的，掌握水水平是对对技能而而言的，灵活运运用是对对能力而而言的。这样的的分类体体现了教教学目标标的层次次性、顺顺序性和和相对性性等特点点，有利利于教师师在教学学中将学学生知识识的学习习、技能能的训练练和能力力的发展展落到实实处。下面详细细介绍“了解、理解、掌握、灵活运运用”这四级级学习水水平及其其子类的的特征。1了解解了解水平平是指对对数学概概念、定定理、公公式、法法则、图图形等知知识有感感性的、初步的的认识，能说出出这些知知识是什什么，能能够在有有

25、关的问问题中识识别它们们。了解相当当于识记记。了解解水平所所要解决决的是“知”与“不知”的问题题，即只只要求“知其然然”，知道道“是什么么”。描述述了解水水平的行行为动词词如：记记住、识识别、指指出、画画出等。了解水平平包括以以下两个个子类。(1)识识别、回回忆。这这一子类类是指能能再认、再现、复述学学习过的的材料，能记住住有关的的数学符符号、常常数、术术语等，能识别别相近的的或容易易混淆的的基本概概念和基基本规律律，在解解题过程程中能回回忆所学学的基本本概念、基本规规律和数数学方法法等数学学知识。(2)计计算、画画图。这这一子类类是指能能在标准准情境下下，进行行无需选选择算法法的简单单计算，

26、能按已已经学过过的规则则作简单单套用或或机械模模仿，能能画出简简单的几几何图形形和基本本初等函函数的大大致图象象。上述两个个子类的的测题，分别如如下：例1 下下列等式式中不成成立的是是 2理解解理解水平平是指对对数学概概念、定定理、公公式、法法则、图图形等知知识达到到理性的的认识，能用自自己的语语言叙述述和解释释它们，不仅能能知道它它们是什什么，而而且能知知道它们们的由来来，并了了解它们们的用途途及其和和其他知知识之间间的联系系。理解水平平相当于于领会。理解水水平所要要解决的的是“懂”的问题题，即要要求“知其所所以然”，知道道“为什么么”。描述述理解水水平的行行为动词词如：能能(会)概述、能解

27、释释、能举举例说明明等。理解水平平包括以以下三个个子类。(1)解解释。这这一子类类是指能能用自己己的语言言对数学学问题所所涉及的的概念和和原理进进行叙述述，能用用语言概概述其一一般内容容，并能能抓住其其实质和和关键部部分。(2)举举例。能能举出确确切的实实例说明明被理解解的对象象。(3)转转换。这这一子类类是指能能将所给给出的数数学问题题从一种种形式向向另一种种形式转转化。具具体表现现为能将将语言的的表达形形式转化化为符号号表达形形式或图图形表示示方式；或者是是上述各各种情形形的逆过过程。上述三个个子类的的测题，分别如如下：例3 举举出解集集为空集集的一元元二次不不等式的的例子。例4 举举出几

28、个个轴对称称图形的的实例。例5 用用语言叙叙述“三角形形内角平平分线的的性质”定理，并用图图形和数数学式子子表示出出来。理解水平平包含了了解水平平，即具具有了解解水平是是达到理理解水平平的必要要条件。但是，理解水水平是比比了解水水平高一一层次的的认知状状态，理理解水平平的记忆忆高于了了解水平平的识记记。了解解水平的的识记可可以是机机械的，它只能能在标准准状态下下再认和和再现，是对数数学知识识的感性性认识；而理解解水平的的记忆是是意义记记忆或概概括记忆忆，能在在非标准准状态下下再认和和再现，是对数数学知识识的理性性认识。这是区区别了解解水平与与理解水水平的主主要标志志。例如，学学生学习习了函数数

29、概念以以后，能能复述函函数的定定义，知知道f(x)是是表示函函数的记记号，这这表示学学生对函函数概念念达到了了解水平平。如果果进一步步能用自自己的语语言叙述述函数的的定义，懂得函函数的两两个基本本要素是是它的定定义域和和对应法法则，此此外，还还知道函函数可用用解析式式、表格格和图象象等多种种方法来来表示，能辨别别函数的的肯定例例证和否否定例证证等，这这表示学学生对函函数概念念已经达达到了理理解水平平。3掌握握一般说来来，掌握握水平是是指在理理解的基基础上，通过练练习，形形成技能能，能够够(或会)用它去去解决一一些问题题。掌握水平平相当于于简单应应用。掌掌握水平平解决的的主要问问题是“会”与“不

30、会”的问题题。描述述掌握水水平的行行为动词词如：能能(会)计算、化简、解、证证明等。掌握水平平包括以以下三个个子类。(1)运运算。这这一子类类是指能能根据数数量关系系选择恰恰当的方方法，对对数、式式实施恒恒等变形形。(2)作作图。这这一子类类指能使使用一定定的作图图工具，作出符符合预先先给定条条件的图图形，能能正确反反映图形形的位置置关系和和度量关关系。(3)推推理。这这一子类类指能将将所给的的信息概概括成熟熟悉的模模式，然然后依据据基本概概念和基基本原理理揭示已已知信息息与未知知元素之之间存在在的因果果关系并并作出判判断。上述三个个子类的的测题，分别如如下：例7 如如图 114，求作作一点 P，使使PCPD，并并且使点点P到AOBB的两边边OA、OB的距距离相等等。例8 设设0 x1，a0，a1，试比比较logga(1x)与logga(1x)的大小小，并说说明理由由。了解水平