对数的换底公式教案

1、高中必修一2.2.1对数与对数运算（3）对数的换底公式及应用一、教学目标：知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，以及科学分析问题的精神和态度过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，并应用换底公式简便运算情感、态度与价值观通过对数的运算法则、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质二、重点、难点、关键点重点：对数的运算性质、换底公式及应用难点：正确使用对数的运算性质和换底公式关键点：找准底数三、教学设计2.2.1对数与对数运算对数的换底公式及应用一、课题引入在前两节课，我们已经学习了对数的定义及性质，从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可以作为

2、对数的底。在历史上，前人已经为我们制作了常用对数表和自然对数表，我们只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数和自然对数，这样我们求任何对数都只需将他们的底数转换为以10或e为底的对数就行了。可是我们该怎样转换呢，这就需要一个换底公式，也就是我们今天所要学习的内容对数的换底公式。一疑常二、探究。现在就来看一个具体的对数，我们要怎样将它转换为以10或e为底的对数呢？已知/0，求1的值。分析：在这一个问题中，要求在此处键入公式。的值，我们应将它转换为以10或e为底的对数，而已知的值，因此，我们需要将转换为以10为底的对数，于是解：设2。9由对数的定义（有）2由与/,/的值可以将等式的两边同时取以10

3、为底的对数，于是TOC o 1-5 h z99等式两边同时取以10为底对数有2“/（由它们的底数相同，真数相等，从而99）由对数的运算性质有对数相等）（由对数的运算性质有）xa仃yy所以=9所以鼻3大家观察一下log这个等式有什么特点特点：log是用2真数的对数2底数的对数的商来表示的gglog转换为以10为底的对数好了，这些都是一些特殊的情况，那一般的情况呢？如果是任意的对数loga呢？它是否可以转换为以10为底的对数呢，或者更一般的情况，它是否可以转换为任意不等于1的正数为底对数呢？比如我们设任意的对数为log，它又是否可以转换为以C为底的对数呢？三对数的换底公式即我们可以猜想loga,是

4、否可以用真数的对数与底数的对数的商来表示，即log=酬是否成立但猜想总归猜想，这个等式是否成立，最终还是证明才能确定它的成立Fxlogclogclog=皿l9c由对数的定义a”c为底对数logcaxx=i，qcl9cl9c性，这就是我们数学思维的严密性下面就来具体的证明一下证明：设log等式的两边同时这样就证明了我们的猜想是正确的，而这一个就是对数的换底公式下面看这个等式，loga中aOaH为底数，b为真数，右边是以c，为底数的对数大家在运用这个公式的时候要注意这些限制条件大家要注意它是将loga转换为以c为底数的真数的对数与以为底数的底数的对数的商也就是一个数的对数，等于同一底数的对数与底数

5、的对数的商这样我们就一个数的对数变换成了原来对数的底数不同的两个对数的商四、应用例一：求log89Xlog332的值.83分析：大家观察，在这一个问题中，两对数底数不同，要计算它，就要利用对数的换底公式统一底数的问题，当底数统一时，再利用对数的运算性质将它们化简解：原式=lg9lg32=213512=10.lg8lg2731g231g39可是我们该选取怎样的底数呢，任意不等于1的底数都选吗？当然为了我们的计算简便，我们不能什么底数都要选，所以在解题的过程中要选取适当底数。下面我们来看这个对数式具体有什么特点，它们的真数为9,32；底数为8,27.即，我们发现2,3在真数与底数中各有出现，若取2

6、为底，即这样就使计算简便了，当然3也可以选取3为底就留给大家下来运算，下面我们以2为底运原式og29.log232=2log235=也log28log22733log239在这个解题过程中，是真数与底数会出现相同时，那要是真数与底数互不相同呢？我们又该怎么办呢？此时一般我选取常用对数，这样会使我的运算稍微简便写，这一个就留给大家来计算，在这里我们就不在细细的讨论了下面来看一个证明已知loglog，求证2op(分析：在整个问题中，我们发现它们的底数与真数均不同，但值相等，因此我们可以利用对数的换底公式将问题转换，统一它们的底数。这里先从问题入手，发现证logaa(-亠，再看已知统一它们的底数有型4l9aal9al9al9al9a于是我们思考要讲两者结合起来，就要用到初中的等比定理，于是就证明了，下面就具体证明一下证明：因为logaloga由换底公式有d4l9al9a由等比定理_馬=cl9al9a于是亠lgaa逆用换底公式logaa(在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是找准底数，换底的目的是实现对数的化简。六、课堂小结在这一节