高中数学必修二 课时分层作业14余弦定理、正弦定理的应用举例

1、 课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理的应用举例(建议用时：60分钟)合格基础练一、选择题1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 mB8 mC3eq r(3) m D4eq r(3) mD由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，eq f(AB,sin C)eq f(AC,sin B)，即ABeq f(ACsin C,sin B)eq f(4sin 120,sin 30)4eq r(3).2一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向

2、的N处，则这只船的航行速度为()A.eq f(17r(6),2) n mile/h B34eq r(6) n mile/hC.eq f(17r(2),2) n mile/h D34eq r(2) n mile/hA如图所示，在PMN中，eq f(PM,sin 45)eq f(MN,sin 120)，MNeq f(68r(3),r(2)34eq r(6)，veq f(MN,4)eq f(17r(6),2) n mile/h.3我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/

3、时B14海里/时C14eq r(2)海里/时 D20海里/时B如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在ABC中，AC10220 海里，AB12海里，BAC120，BC2AB2AC22ABACcos 120784，BC28海里，v14海里/小时4在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 mC40 m D60 mC如图，设O为顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20eq r(3)，在RtAOD中，OAODtan 6060，ABOAOB40(m)5如

4、图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()A15eq r(6) m B20eq r(6) mC25eq r(6) m D30eq r(6) mD设建筑物的高度为h m，由题图知，PA2h，PBeq r(2)h，PCeq f(2r(3),3)h，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBAeq f(6022h24h2,260r(2)h)，cosPBCeq f(6022h2f(4,3)h2,260r(2)h).PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30eq r(6)或h30eq r(6)(舍去)

5、，即建筑物的高度为30eq r(6) m二、填空题6有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长 千米eq r(2)如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，eq f(AB,sin C)eq f(AC,sinABC)，ACeq f(ABsinABC,sin C)eq f(1f(r(2),2),f(1,2)eq r(2)(千米)7如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且C120，则A，B两点间的距离为 km. eq r(3)在ABC中，易得A30，由正弦定

6、理eq f(AB,sin C)eq f(BC,sin A)，得ABeq f(BCsin C,sin A)21eq f(r(3),2)eq r(3)(km)8一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4eq r(2) dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球7设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x) dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC

7、22ABACcos A，即x2(4eq r(2)2(172x)28eq r(2)(172x)cos 45，解得x15，x2eq f(37,3).AC172x7(dm)或ACeq f(23,3)(dm)(舍去)该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球三、解答题9在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq f(r(3)a,2)的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离解ADCADBCDB60，又ACD60，DAC60.ADCDeq f(r(3),2)a.在BCD中

8、，DBC1803010545，由正弦定理有eq f(DB,sinBCD)eq f(CD,sinDBC)，BDCDeq f(sinBCD,sinDBC)eq f(r(3),2)aeq f(f(r(6)r(2),4),f(r(2),2)eq f(3r(3),4)a，在ADB中，AB2AD2BD22ADBDcosADBeq f(3,4)a2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),4)a)22eq f(r(3),2)aeq f(3r(3),4)aeq f(r(3),2)eq f(3,8)a2.ABeq f(r(6),4)a.蓝方这两支精锐部队的距离为eq f(r(6),4)a.10岛

9、A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时10eq r(3)海里的速度前往拦截(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间解(1)根据题意得BAC45，ABC75，BC10，所以ACB180754560.在ABC中，由eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)得ABeq f(BCsinACB,sinBAC)eq f(10sin

10、 60,sin 45)eq f(10f(r(3),2),f(r(2),2)5eq r(6).所以海监船接到通知时，距离岛A 5eq r(6)海里(2)设海监船航行时间为t小时，则BD10eq r(3)t，CD10t，又因为BCD180ACB18060120，所以BD2BC2CD22BCCDcos 120，所以300t2100100t221010teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，所以2t2t10，解得t1或teq f(1,2)(舍去)所以CD10，所以BCCD，所以CBDeq f(1,2)(180120)30，所以ABD7530105.所以海监船沿方位角105航行，航行时

11、间为1个小时(或海监船沿南偏东75方向航行，航行时间为1个小时)等级过关练1如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A240(eq r(3)1) mB180(eq r(2)1) mC120(eq r(3)1) mD30(eq r(3)1) mC由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC1804530105，由正弦定理，得BCeq f(ACsinBAC,sinABC)eq f(120f(r(2),2),f(r(6)r(2),4)120(eq r(3)1)(m

12、)2甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.eq f(150,7) 分钟B.eq f(15,7) 分钟C21.5 分钟 D2.15 小时A如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t10028eq blc(rc)(avs4alco1(tf(5,14)2eq f(675,7).当teq f(5,14)时，D

13、C2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq f(5,14)60eq f(150,7) 分钟3台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 小时. 1设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240eq r(2)x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即图中的CD20(千米)，故teq f(CD,v)eq f(20,20)1(小时)4甲船在A处观察

14、乙船，乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的eq r(3)倍，则甲船应沿 方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了 n mile. 北偏东30eq r(3)a如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BCtv，ACeq r(3)tv，又B120，则由正弦定理eq f(BC,sinCAB)eq f(AC,sin B)，得eq f(1,sinCAB)eq f(r(3),sin 120)，sinCABeq f(1,2)，CAB30，甲船应沿北偏东30方向行驶又ACB1801203030，BCABa n mile，A

15、Ceq r(AB2BC22ABBCcos 120)eq r(a2a22a2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq r(3)a(n mile)5某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d.第一步：计算AM.由正弦定理AMeq f(dsin 2,sin