直线的倾斜角和斜率（尹福祎）

1、教学设计直线的倾斜角和斜率哈尔滨市第四十六中学校尹福祎直线的倾斜角与斜率一、教学内容与地位作用解析本节课是新人教版A版高一数学必修（2）的3.1.1节的内容。直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究。对直线的倾斜角和斜第，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧。二、学生学习情况分析直线的倾的倾斜角与斜率是人教版必修2第三章第一节的内容，在此之前，学生在初

2、二是接触了直线方程，当时只是大致提了一下一次函数方程为y=kx+b,其图象为直线，并未对两个参变量做解释。而高一的学生学习的自主性较差，知识还不完善，对于数学思想认识不深。通过本节课的学习，培养学生数形结合的数学思想，初步了解解析几何的思想，在形成概念的过程中，完善学生的数学知识结构。三、设计思想本节课从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法。引导学生认识到之所以直线在平面直角坐标系三倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要。本节课的教学设计中注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，

3、学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间。四、教学目标1、理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想。2、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,的斜率公式 ，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 3、培养的提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练。五、教学问题诊断分析1、关于倾斜角的概念：为什么要引入倾斜角？如何描述这个

4、角？这些地方都是教学中易忽略的，也是学生最难理解的地方。直接给出倾斜角的定义，会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的，你只要接受就可以了，这样我们就把活生生的、自然的数学演变成高不可攀的，为聪明人准备的学科，会渐渐使许多学生变得被动学习，缺乏数学学习兴趣及自信心。所以，在引入这节课时，应重点让学生感受引入倾斜角的必要性，要描述清楚倾斜角必须规定“基准”与“直线方向”，从而能自然地、准确地描述清楚定义。2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当倾斜角为90及0时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，使学生对所有直线的斜率情况有全面的

5、认识。另外，倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直线的倾斜程度，相比较斜率更具有优越性。3、斜率计算公式的得出，学生有两点不易把握。一方面，怎样将两点坐标与相联系；另一方面，图形分析不够全面。对前者，可提供学生探究发现的机会，对后者教师可先让学生在直角坐标系下联想坡度，找升高量与前进量，再引导其转化为坐标表示。公式的推导过程是多数学生能独立解决的，教学中应放手让学生推导并体会数形结合与分类讨论的思想，有助于培养学生研究问题的独立性、条理性、全面性。六、教学重难点重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式难点：斜率公式的推导，斜率存在与不存在的讨论七、本节课的教学方法：

6、计算机辅助教学与引导发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。八、教学过程设计（一）创设情境，揭示课题问题1在平面几何中，如何确定一条直线？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。问题2在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么

7、直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它叫做直线的倾斜角。由教师给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）图2中直线l的倾斜角为锐角，直线l的倾斜角为钝角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o。追问：由定义，倾斜角的范围是什么？设计意图：在定义的形成过程中主要上针对个别条直线，研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将

8、定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。（二）巩固旧知，同化新知问题3：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时给出游乐场里的水滑梯，大桥的引桥等教学情景。问题4：（1）观察图5，6，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？（2）观察图7，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？设计意图：从

9、具体图形出发，学生感觉更直观，理解起来更容易些。问题5：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。问题6 直线l的倾斜角=45 o，直线l的倾斜角=135 o，写出两条直线的斜率，并完成以下两个表格。表1倾斜角30 o45 o60 o135 o120 o150 o斜率表2的取值范围0o90o=90o90o180oK的取值范围k关于的单调性设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合以前学过的正切值，了解斜率取值的

10、特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。此处也可以多增加一些角，用计算器计算；初步体验斜率与倾斜程度的关系，并用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？设计意图：突出斜率刻画倾斜程度的优越性是更细致入微，使用方便简洁。（三）尝试推导，深化认识问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k？（学生活动）：在坐标系下画两点P1 、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐

11、标系中，类似升高量与前进量，用点的坐标表示线段长，请同学叙述各个图的推导过程与结果。设计意图：给学生提供充分的自主探索的时间与空间，克服公式推导中不易把握的两点（1、两点坐标与的联系；2、图形分析不全面），培养数形结合与分类讨论的思想，促进思维的独立性、全面性，逻辑性。思考：1、各种情形得出的结论一致吗？与两点坐标顺序有关系吗？2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结果适用吗？3、斜率公式使用时应注意什么问题？设计意图：熟悉公式的结构特征及适用范围。（四）例题训练，加深巩固例1如图5，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝

12、角。 图5设计意图：巩固本课时所学的基本知识。例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，、2及-3的直线。设计意图：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。（五）反思小结，概括提炼问题9：同学们，这节课有何收获？知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；方法：坐标法；数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的

13、问题进行质疑和概括。师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。（六）目标检测设计1已知直线的倾斜角为，若sin=，求此直线的斜率。2已知直线y=xsin-1，求该直线倾斜角范围。3在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150o,求点P坐标。设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。作业布置：1、P89 习题3.1 1，4 2、思考：直线的倾斜角的正弦sin也是的三角函数，为什么不用sin来做直线的斜率呢？设计意图：培养学生运用所学知识解决问题的能力。板书设计：311直线的倾斜角和斜率1、倾斜角的定义： 例题倾斜角的取值范围：00，1800 2、直线的斜率：k=tan 3、斜率公式 教后反思：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问题的核心思想方法。理解直线的倾斜角和斜率这两个概念，掌握斜率公式，体验化归过程，领会基本方