2022-2023学年北京大学附属中学高三数学理月考试卷含解析

1、2022-2023学年北京大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f(x)（xR）满足f(x+)=f(x)+sinx.当0 x时，f(x)=0，则=（A） （B）（C）0 （D）参考答案：A2. ”a0”是”函数在区间上单调递增”的 A.必要不充分条件 B.充要条件 C既不充分也不必要条件 D充分不必要条件参考答案：D略3. 是虚数单位，复数，则 （ ）（A） （B） 2 （ C） （D） 1参考答案：D4. 已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范

2、围是A B C D参考答案：B函数与的图象上存在关于轴对称的点，即函数与的图象有交点，即在区间有零点，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得最小值，要与有交点，则需.另一方面，故，综上所述，实数的取值范围是.5. 设则下列不等式成立的是()ABCD参考答案：D略6. 已知（其中以为常数且），如果,则的值为 （ ） A3 B5 C3 D5参考答案：C略7. 若，则下列不等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 参考答案：B8. log|x|log的解集为（）Ax|xBx|x，或xCx|x且xDx|x且x参考答案：C【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】由题意可得|x|，且x0

3、，由此求得x的范围【解答】解：log|x|log，|x|，且x0，即x，且x0，求得x，且x，故选：C9. 已知双曲线的离心率为2，则其两条渐进线的夹角为（）ABCD参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得c=2a，由双曲线的几何性质可得=，分析可得双曲线的渐近线方程为y=x，由此分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，则有e=2，即c=2a，则b=a，即=，又由双曲线的方程，其渐近线方程为y=x，则该双曲线的渐近线方程为y=x，则其两条渐进线的夹角为；故选：B10. 已知函数,则的图象在处的切线方程是A. B. C. D.参考答案：B

4、因为，所以，切点为，又，所以，故曲线在点处的切线方程为：，即.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合，且，则实数的值为_.参考答案：4略12. 已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小值等于 参考答案：413. 某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 .参考答案：5014. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 参考答案：15. 设为等差数列的前项和，若，则 参考答案：【知识点】等差数列的性质及等差数列的前n项和. D2【答案解析】36 解析：由，得

5、，即，所以.【思路点拨】根据等差数列的通项公式，等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，求得结论.16. 我们可以利用数列an的递推公式an=（nN+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=参考答案：66【考点】数列递推式【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66故答案为：66【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要

6、认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误17. 直线（t为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为参考答案：2略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（1）解不等式：；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围参考答案：（1）；（2）.当时，,得，所以成立. 4分当时, ,得,所以成立. 6分综上，原不等式的解集为 7分（2） 9分当 所以 10分考点：绝对值不等式的解法，恒成立问题.19. （本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，前n项和为，为等比数列，且（I）求与；（II）求参考答案：解：

7、（1）设的公差为的公比为，则为正数，.依题意有, 解得或（舍去） 故 6分（2）所以 12分20. （本小题12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是；（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值。参考答案：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即（2分）又，由已知得（4分）联立，解得.所以函数的解析式为（6分）（II）因为 令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.（8分）当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值（9分）当时，有两个实数根情况如下表：（10分）所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值. （12分）2

8、1. 已知f（x）是二次函数，不等式f（x）0的解集是（0，5），且f（x）在区间1，4上的最大值是12（1）求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在xt，t+1上的最小值为g（t），求g（t）的表达式参考答案：【考点】一元二次不等式的应用；二次函数的性质【分析】（1）根据题意，设f（x）=ax（x5）（a0），可得函数图象的对称轴x=，恰好位于区间1，4，得f（x）的最大值是f（1）=6a=12，得a=2，可得函f（x）数的表达式；（2）分t+1时、t时和t时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最小值，最后综合可得g（t）的表达式【解答】解：（1）f（x）是二次函数，且f（

9、x）0的解集是（0，5），可设f（x）=ax（x5）（a0），可得在区间f（x）在区间1，上函数是减函数，区间，4上函数是增函数f（1）=6a，f（4）=4a，f（1）f（4）f（x）在区间1，4上的最大值是f（1）=6a=12，得a=2因此，函数的表达式为f（x）=2x（x5）=2x210 x（xR）（2）由（1）得f（x）=2（x）2，函数图象的开口向上，对称轴为x=当t+1时，即t时，f（x）在t，t+1上单调递减，此时f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）210（t+1）=2t26t8； 当t时，f（x）在t，t+1上单调递增，此时f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t

10、210t； 当t时，函数y=f（x）在对称轴处取得最小值此时，g（t）=f（）=综上所述，得g（t）的表达式为：g（t）=22. （15分）已知数列an满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为an的前n项和（nN*）（）求S1，S2及数列Sn的通项公式；（）若数列bn满足 bn=，且bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）根据数列的递推公式得到数列Sn为以1为首项，以为公比的等比数列，即可求出通项公式，再代值计算即可，（）先求出bn，再根据前n项和公式得到|Tn|，利用放缩法即可证明【解答】解：（）数列an满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1