南京航空航天大学《复变函数》课件-第三章 复变函数的积分

1、 第三章 复变函数的积分第一节 复积分的概念及简单性质Math1.复变函数的积分的定义设在复平面上有一条连接 及b 两点的有向（光滑或逐段光滑）曲线C. 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 沿C有定义。把曲线C用分点 分成 n 个小弧，在这里分点 是在曲线C上按从a 到 b 的次序排列的.如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式当曲线C上的分点个数无穷增加且时, 如果和式有极限, 称这个极限为函数f(z)沿曲线C的积分，记为如果用 分别表示的实部与虚部,则有: 按照关于实函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，若f(z)连续, 则和式有极限:因此，我们有定理3.1

2、若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C 连续，则 f(z) 沿曲线 C 可积，且注： 沿曲线C可积的必要条件是： 在C上有界。例1、设C是连接 及 两点的任一曲线，那么如果是C闭曲线，即 ，那么上述两个积分都是零.2.复变函数积分的计算问题如果C是有向光滑曲线：并且 ，那么复积分可以写成黎曼积分的形式:称为复积分的参数方程法，或称变量替换公式注：当C是分段光滑简单曲线时，结论仍然成立3.复变函数积分的性质：设 f(z) 及 g(z) 在曲线C上连续，则有 （1）其中曲线C是由光滑曲线 连接而成；(6)定理3.2 如果f(z)在C上连续且而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数

3、，那么有，证明：因为两边取极限即可得结论.(5) 例3.2：设C是圆 ， 其中 是一个复数， 是一个正数，那么按反时针方向所取的积分证明：令 直接计算即可. 这个例子极为重要，以后会经常用到.第三章 复变函数的积分第二节 柯西(Cauchy)积分定理Math1. 柯西(Cauchy)积分定理定理3.3（1825年） 设f(z)是单连通区域D 内的解析函数，C是D 内任一条周线(逐段光滑的简单闭曲线)，那么柯西积分定理的证明有两种：Riemann的证明(1851年). 有附加条件 “ 在D 内连续”.2. Coursat的证明(1900年). 无附加条件.Riemann证明: 设f(z)=u(x

4、,y)+iv(x,y),则记D为C所围区域. 由C-R方程和Green公式得:故结论成立.定理3.4. 设函数f(z)在单连通区域D 内解析， C 是D 内任意一条闭曲线(不必简单)，那么 证明：将曲线C 分解为有限多条简单闭曲 线即可. 由柯西积分定理, 可得到如下结论：推论3.5 .设函数f(z)在单连通区域D 内解析,则 f(z) 在D 内积分与路径无关. 即对D内任意两点 , 积分之值,不依赖连接 的曲线2. 柯西积分定理Coursat证明.第一步: 设C 是三角形.第二步: 设C 是闭折线.第三步: 考虑一般情形, 用闭折线逼近.3.不定积分 设f(z)及F(z)是区域D 内的函数，

5、F(z)在D内解析，并且在D 内有 (z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域D 内的不定积分或原函数. 因此 f(z)的任意两个原函数差一个常数. 事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域D 内的原函数，则 设f(z)在单连通区域 D 内解析，那么积分 在 D 内定义了一个单值函数.定理3.6 设f(z)在单连通区域D 内解析，那么F(z)在 D 内解析，且 证明：依可微性定义直接计算.定理3.7 设（1）函数f(z)在单连通区域D 内连续；（2）f(z) 沿区域 D 内任意周线的积分为零，那么函数F(z)在 D 内解析且 由前边的证明, 事实上已得到如下结论：利用原函数求积

6、分定理3.8. 在定理3.6或定理3.7的条件下,如果G(z)是f(z)在单连通区域 D内的任意一个原函数，那么对D中任意两点 及z,有例3.6：在单连通区域D：内，其中lnz是任何单值解析分支。4. 柯西积分定理的推广先叙述定理3.3的一个等价形式:定理3.3 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域 上解析，那么定理3.9 设C是一条简单闭曲线，D为C 的内部，函数f(z)在D内解析，在D+C 上连续，那么柯西积分定理可推广为如下结论： 证明：(略).5. 柯西积分定理推广到复周线柯西积分定理可以推广到多连通区域：设有n+1条周线曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内，而且

7、所有这些曲线都在 的内区域，围成一个有界多连通区域D，D 的边界为:定理3.10. 设区域D如前所述, 函数f(z)在D内解析，在D+C 上连续，那么或写为:亦即：证明：如图将D分割为两个单连通区域, 利用单连通区域的柯西积分定理. 利用定理3.10可以将复杂曲线上积分的计算转化为简单情形.例3.8. 设 是周线C内部的点, 则第三章 复变函数的积分第三节 柯西积分公式及其推论Math1.柯西积分公式设 f(z) 在以圆为边界的闭圆盘 D上解析，则 f(z) 沿 C的积分为零. 我们考虑积分:被积函数 在C上连续，故积分存在.但被积函数在上述闭圆盘上不解析，I的值不一定为0，例如：我们进一步考

8、虑更一般的情形.定理3.11 设区域D的边界是周线(或复周线)C. f(z) 在D内解析，在 上连续，那么对 D 内任一点z，有其中，曲线C的方向取正向. 我们称上式为柯西积分公式.注解. 柯西积分公式表明: 对于某些区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来. 该公式是解析函数的最基本的性质之一，是非常重要的.定义3.4. 在定理3.11的条件下，称为柯西积分.利用柯西积分公式可以计算某些积分.例3.10. 设C为圆周 , 计算积分:解:注：若C为圆周 ， 如何？解析函数平均值定理定理3.12 设 f (z) 在圆 内解析，在闭圆盘上连续，则即 f(z) 在圆心

9、处的值等于它在圆周上值的算术平均值.例3.11. 设函数 f(z) 在闭圆盘上连续, 在其内部解析, 如果存在实数a 0, 使得: 当 |z|=R 时, |f(z)| a,而且 |f(0)| a.则在|z|R 内 f(z) 必有零点.证明: 利用反证法, 对函数 F(z)=1/f(z)运用平均值定理.2. 解析函数的无穷可微性定理3.13 设区域D的边界是周线(或复周线) C. f(z) 在D内解析，在 上连续，那么 f(z) 在D内有任意阶导数, 且例3.12. 计算积分其中C是绕i的周线.定理3.14 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数，并且它们也在D内解析.注解

10、. (1) 以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导有非常大的差异. (2) 一元实函数无类似性质.3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理柯西不等式 设函数f(z)在以为边界的闭圆盘上解析，那么其中定义. 如果函数f(z)在整个复平面上解析，那么我们称它为一个整函数.例如:刘维尔 (Liouville) 定理： 有界整函数必为常数.代数学基本定理: 在z平面上, n次多项式 至少有一个零点.4. 摩勒拉（Morera）定理： 根据解析函数有任意阶导数的结论，可以证明柯西积分定理的逆定理，即Morera定理： 定理3.16. 如果函数 f(z) 在单连通区

11、域D内连续，且对于D内的任一条周线C，有那么f(z)在区域D内解析.定理3.17. 函数 f(z) 在区域 G 内解析的充要条件为:(1) f(z) 在区域 G 内连续;(2) 对任一周线C, 只要C 及其内部全含于G内, 就有例3.13 设 f(z) 是整函数, 且存在实数 M, 使得 Re f(z)M, 试证 f(z) 为常数.第四节 解析函数与调和函数的关系定义3.5. 连续的二阶偏导数，且满足: 拉普拉斯（Laplace）方程其中 为拉普拉斯(Laplace) 算子定义3.6. 满足CR方程: 调和函数在流体力学等实际问题中都有重要应用. 本节给出调和函数与解析函数之间的关系.注：-u 是 v的共轭调和函数定理3.18. 证： C-R条件,由解析函数的无穷可微性知, 函数u和v在D内具有任意阶连续偏导数.从而故有同理有给定一个调和函数 u, 如果能求出u的共轭调和函数v, 则自然得到一