高中数学选择性必修一 1.4 空间向量的运用

1、1.4 空间向量的运用学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理4.理解直线与平面所成角的概念.5.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.6.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲必备知识平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4

2、，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平

3、面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且E

4、B11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，因此B1D平面EGF.

5、结合(1)可知平面EGF平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b|eq f(|ab|,|a|b|).(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|eq f(|na|,|n|a|).(3)向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|eq f(|n1n

6、2|,|n1|n2|).例1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值【解析】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0

7、且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所

8、求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例3、如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED，SEAD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值【解析】(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD. BE平面ABCD，SEBE. ABAD，ABCD，CD3AB3，AEED，AEB30，CED60. BEC90，即BECE. 又SECEE，BE平面SEC. BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES

9、，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得x，z2，则平面SBC的一个法向量为n(，1,2)设直线CE与平面SBC所成角的大小为，则sin |eq f(n,|n|)|，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)(1

10、)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【解析】(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (a

11、vs4alco1(n0，, n0，)即取n(3，3)，cos，neq f(n,| |n|)，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，有(s，t，2)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2. 把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE. 此时，.1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.

12、例2、.如图所示，在直三棱柱ABCA1B 1C1中，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60？【解析】(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由(0,2,0)(1,0,1)0000，得，即C1B1CD.由(1,0,1)(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，

13、CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在当ADAA1时，二面角B1CDC1的大小为60.理由如下：设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(m0,m0)令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos 60eq f(|m|,|m|)，解得a(负值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一点D满足题意综合训练一、单选题1（2020黑龙江省牡丹江一中高一月考）在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦

14、值的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】解法一：如图，连接，易证得直线平面因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点又，所以直线与直线所成的角即连接，平面，平面，在直角三角形中，设，则，因此，因为，所以当时，取得最小值，最小值为解法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设，其中，则，因为与垂直，所以，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，此时取得最小值；解法三：如图，连接，易证得直线平面因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，于是，设，所

15、以，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，此时取得最小值故选：B.2（2020江苏省高二期末）若平行六面体的底面是边长为2的菱形，且，底面ABCD，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】连交于，交于，连，则，底面ABCD，底面ABCD，底面是边长为2的菱形，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.3（2020邢台市第二中学高二开学考试）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E为BB的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）ABC-D【答案】D【解析】直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立

16、空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：4（2020邢台市第二中学高二开学考试）在长方体中，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,为平面的一个法向量直线与平面所成角的正弦值为.故选：D5（2020浙江省高三其他）如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则，所以 设，由为

17、线段的中点，则，由，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以.设平面的一个法向量，则，即，解得，令，则， 所以，平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，将分子、分母同除以，可得 令，当时，则的最大值为：.故选：D6（2020广西壮族自治区两江中学高二月考（理）在正方体中，已知分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设直线与所成角为，则.故选：B7（2020广东省高三其他（文）已知直三棱柱，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】

18、B【解析】如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系.故，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：.8（2020绥德中学高三其他（理）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：EFG为正三角形；异面直线A1G与C1F所成角为60；AC平面EFG.其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】A【解析】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为：则，所以三角形是在三角形，正确.，所以，设异面直线与所成角为，则，所以，错误.，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由于，所以错误.综上所述，正确的命题序号为.故选：A二、填空题9（2020杭州市西湖高

19、级中学高二月考）正三棱柱中，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_【答案】【解析】如图，且，侧棱和底面垂直，且，异面直线与成角的大小为故答案为：10（2020上海高三专题练习）在长方体中，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成的角为_.【答案】【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,设,则,因为,所以,即有.因为,所以,即异面直线和所成角为.故答案为：.11（2020邢台市第二中学高二开学考试）在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_.【答案】【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为，故，所以，设直线和直线所成角为，则，所以.

20、12（2020广西壮族自治区两江中学高二月考（理）已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是_【答案】45【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为，D，P，M，所以，所以DM与平面PAC所成角为45.三、解答题13（2020湖北省高三其他（理）如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，(1)求的长；(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值【答案】(1) ；(2)【解析】因为多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，所

21、以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四边形是平行四边形，连结,交于，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以,所以的长为.(2)根据题意可取平面的一个法向量为，由(1)知，设平面的法向量为，则由，得，即，令，则，所以，所以，所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为.14（2020福建省福州第一中学高三其他（理）如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）延长交的延长线于点；连接；过点作交于点.（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而.依题意，两两垂直，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则，从而，设平面的法向量为，则即取，得.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.15（