《几何学》课程教学大纲

1、几何学课程教学大纲课程编码：171100020课程性质：学科基础必修课程适用专业： 数学与应用数学、信息与计算科学、统计学学时学分： 60学时3.5学分所需先修课：高中数学编写单位： 数信系编 写 人：审 定 人：编写时间： 一、课程说明 1、课程简介解析几何是大学本科数学与应用数学及信息与计算科学专业的一门重要基础课，它是数学分析、代数等许多数学分支产生和发展的基础和背景。又是数学联系实际应用的重要桥梁。它体现了形与数的结合，演绎法与解析法的结合。它的直观性、实验性的特点启示了许多新思想、新原理的诞生。因此几何课程对于数学类专业大学生的综合素质的培养是十分重要的，有利于培养学生用代数方法解决

2、几何问题的能力和空间想象能力，为今后学习其它后继课程打下必要的基础。为此，解析几何课程担负着培养学生几何思想，加强他们的几何观念的重要任务。2、教学目标要求 解析几何是数学与应用数学及信息与计算科学专业的极为重要的基础课程之一，它的任务是使学生获得向量代数、图形与方程、空间解析几何以及几何变换等方面的系统知识，是进一步学习数学分析、射影几何，微分几何、拓扑学、物理学等后继课的阶梯，为后继课学习奠基。也是提高人才的数学素质的必备知识，是培养面向21世纪合格的中学数学教师以及其他行业的重要专业基础课程，是报考理工与经济类的硕士研究生的必考课程。解析几何是形数结合的典型学科。学生通过本课程的学习能够

3、系统掌握解析几何的基本知识和基本理论；正确理解和应用向量知识，熟练掌握和善于运用坐标法和向量工具把几何问题转化为代数方程；以培养和提高用形数结合的方法解决问题的能力。 3、教学重点难点本课程从内容上说不单是严格意义的空间解析几何，还包含有仿射几何和射影几何的内容。欧氏几何（传统解析几何的内容）仿射几何和射影几何在本课程中是有机地联系起来的，讲授中将以仿射几何为主线，欧氏几何作为其特殊情形，射影几何看作其延伸。加强对学生几何素质的培养是几何课程的重要目的，所有重要概念的定义都应是几何本义的。要强调几何思想的传授，如不变量、坐标变换和点变换、几何学的分类等等，使得学生通过学习能加深对几何学的认识。

4、在方法上，强调解析法与综合法并重，并注重几何直观与推理能力得到培养。空间解析几何中曲面方程的建立，由于缺乏空间抽象概念，是本课程的一个具体难点。这一难点应充分利用“数形结合”，根据对空间图形的分析加以解决。4、考核方式 本课程考核方式为：考试。考核成绩由平时作业及期末考试二部分组成，总成绩由二部分按一定比例予以评定。1）平时作业成绩占总成绩的20%；2）期末考试采用闭卷形式，考试前三周由授课教师或题库中提供。题型可采用填空、选择、判断、解答、证明及综合等，成绩占总成绩的80%。期末考试方法：1考试方法：闭卷笔试。2考试时间：120分钟。3题型及成绩比例。试卷题型分客观题和主观题两大类，其中客观

5、题约占40%50%，主观题约占50%60%。客观题包括单项选择题、问答题、填空题等。主观题包括计算题、证明题、应用题、综合技巧题等。5、学时分配表章次教学内容理论课学时数实验（实践）课学时数第一章向量与坐标14第二章轨迹与方程4第三章平面与空间直线14第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面14第五章二次曲线的一般理论14小计60总计60二、各部分教学纲要第一章 向量与坐标（14学时）教学目标向量代数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用，通过向量代数基本知识的教学，应使学生能以向量为工具，研究并简便地解决某些几何问题。本章主要讨论向量的两类运算：线性运算和度量运算，以及它们的性质和应用。基本要求是

6、：透彻理解有关向量的基本概念。牢固掌握向量的各种运算及其对应的几何意义。熟练地利用向量的坐标进行运算。熟练应用向量法处理几何问题。5利用向量代数的知识解决某些初等几何问题。本章重点向量的概念、向量的线性运算、向量的坐标、向量的乘积运算、向量在几何上的应用以及利用向量知识将几何问题转化为代数问题。本章难点 向量的乘积运算教学内容向量的概念向量的加法数量乘向量向量的线性关系与向量的分解标架与坐标向量在轴上的射影两向量的数量积两向量的向量积三向量的混合积三向量的双重向量积思考题向量为什么不能比较大小？两向量为什么永远共面？2、什么情况下两向量的比值有意义?3、仿射坐标系与直角坐标系的本质区别是什么？

7、4、内积的运算律与多项式的运算律是否一致？第二章 轨迹与方程 （4学时）教学目标上一章介绍了向量并建立了坐标系，使得空间点有了坐标，在此基础上这一章将进一步建立起作为点的轨迹的曲线与曲面和其方程的联系，也就是曲线和曲面都可以用其方程来表示，这样几何问题也就转化为代数问题，我们也就可以用代数的方法来研究几何了。本章重点 理解并掌握求平面曲线与曲面的普通方程和空间曲线的一般方程的方法，以及能熟练地利用向量来求平面上或空间中的有质点运动而产生的轨迹的参数方程。本章难点 正确理解在化简轨迹方程、参数方程与普通方程（一般方程）的互化时方程的等价问题，并能初步正确处理这类问题。教学内容平面曲线的方程曲面的

8、方程 1、曲面的方程 2、曲面的参数方程 3、球坐标系与柱坐标系 第三节 空间曲线的方程思考题空间曲线的普通方程与参数方程可以一对一互化吗？第三章 平面与空间直线（14学时）教学目标本章通过图形与方程对应的学习，应使学生能够用坐标法及向量法建立图形的方程。 由于平面和直线是最简单的几何图形，又是空间解析几何的重要内容，本章充分利用向量作为工具，在此基础上重点讨论平面和空间直线方程的各种形式，以及点、平面和直线之间的位置关系，为研究复杂的图形打下基础。本章重点1了解参数的几何意义及应用。2理解和掌握平面与三元一次方程之间的互相关系。3能够熟练地根据不同的已知条件导出平面和直线方程的各种形式。 4

9、. 掌握并灵活运用点、平面、直线之间有关距离、夹角、平行、垂直的公式，进行某些几何量的运算。5.掌握几何条件与代数条件（方程）之间的互相转化。本章难点 平面束方程的应用。教学内容平面的方程由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程平面的一般方程平面的法式方程平面与点的相关位置点与平面的距离平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义 第三节 两平面的相关位置第四节 空间直线的方程由直线上一点与直线方向决定的直线方程直线的一般方程 第五节 直线与平面的相关位置 第六节 空间直线与点的相关位置空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置空间两直线的夹角两异面直线间的距离与公垂线方程 第八节 平面束 第四

10、章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面(14学时)教学目标本章介绍的几种常见空间曲面在数学、物理和工程技术中都有广泛的应用，它们是空间几何的基本内容。本章首先根据曲面的几何特点导出方程。如：柱面、锥面及旋转曲面。而对另一类二次曲面，则是由它们的标准方程研究其几何性质及形状，最终，通过对直纹面的研究使学生更深入认识曲面的本质。本章重点理解和掌握曲面与空间曲线的一般形式， 2.掌握几何条件与代数条件（方程）之间的互相转化。3.掌握几种常见曲面的形成规律，会由已知条件导出曲面方程。4.根据二次曲面的标准方程，研究其几何形状及特性。本章难点 旋转曲面方程的建立；直母线方程的应用。教学内容柱面柱面空间曲线的

11、射影柱面锥面旋转曲面椭球面双曲面单叶双曲面双叶双曲面抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 第五章 二次曲线的一般理论（14学时）教学目标 在不同的坐标系中，点的坐标不相同，从而图形方程也不相同。对于给定的图形，适当选择坐标系，可使其方程最简单。本章将利用线性代数中的矩阵知识讨论坐标变换的一般规律，即给出点、向量和图形的坐标变换的公式。同时，以平面上的二次曲线为典型例子进行讨论，提出“不变量”等重要几何思想。本章重点了解仿射变换的一般理论，会求直角坐标变换的过度矩阵、正交矩阵。会利用移轴、转轴变换化简二次曲线方程。熟练应用不变量判别二次曲线的类型。会求二次曲线的中心、渐近线、直径、切线、主直径及主方向；掌握中心型及非中心型二次曲线的化简及作图。本章难点理解仿射变换的一般理论；“不变量”的应用；二次曲线的化简。教学内容 第一节 二次曲线与直线的相关位置 第二节 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 1.二次曲线的渐近方向 2.二次曲线的中心与渐近线第三节 二次曲线的切线第四节 二次曲线的直径 1.二次曲线的直径 2.共轭方向与共轭直径 第五节 二次曲线的主直径与主方向第七节 应用不变量化简二次曲线的方程 1.不变量与半不变量 2.应用不变量化简二次曲线的方程 三、使用教材及参考书1、指定教材吕林根、许