课件理论力学a2第十章-10c

1、第10章刚体动力学（二）刚体定点运动的运动学定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次定轴转动来实现。定点运动刚体有限位移的顺序不可交换。定点运动刚体无限小位移的顺序可交换。定点运动刚体的角位移不是矢量，但无限小角位移是矢量。定点运动刚体的角速度角加速度是矢量。常用角作定点转动刚体的广义坐标。1r Ar v r AA1r反称A A(t)由转动的矩阵表示：求导1 2 再导032AA 31 10d AA1 03 21dt30120 31 AA1 0AA1r r20 为刚体角速度1 2 a r v3 2解析法zzyyxxN节线 ( oxy 平面与 oxy 平面的交线)3角的定义角(

2、 ， )的几何意义zz y y = 常数xx N1 2 = 90510-2转动惯量 一、转动惯量的定义zJ m d222mxydiziiiiiri 二、对坐标轴的转动惯量y2 JJz2myoxxiii m z22xyiiiJmx22yziii6 三、转动惯量的平行移轴定理C 为质心zCzJ Jmd 2zzCC7d 四、对任意轴的转动惯量z取坐标系 Oxyz (一般为随体系)L，求： J已知： J, J, JdiLxyzriJ m d2 r 22mrLLiiiiiyr x i y j z koxiiiiL cosi cos j cos kcos2 cos2 cos2 18cos cos Jzmz

3、222222myxLiiiiiicos 2m y z cos cosy222mxiiiiii2mi zi xicos cos 2mi xi yi cos cos cos TJ cos JJxxyxz cos cos Jyz cos Jz cos zJxyJ xzJ yJyzmi m x yJzixyiiio mi xi zixiyJ xzJ yzyi mi yi zi9x惯性积和惯量主轴Jxz JxyJxJ JJJyz xyyJ xzJyzJz称为惯量矩阵L cosi cos j cos kcos TJ cos JJxxyxz 0JL cos JxyJyz cos J yJyzJ xz cos

4、 cos Jz J 为半正定对称矩阵。10z 惯性积和惯量主轴mi m x yJzixyiiio mi xi zixiJ xzyy m y ziJyziiix J yz 0 ， 则称z轴为O点的惯量主轴。如果 J xz刚体上任意一点至少有三根互相垂直的惯量主轴通过质心的惯量主轴称为中心惯量主轴11cos T J0 cos 0 x cos 00 cos JJ Ly cos 0Jz cos 0 Jx cos J cos J cos 222yz12如果 xyz 是刚体的惯量主轴 五、坐标变换下的惯量矩阵同一矢量在不同坐标系 (x,y,z) 与 (x,y,z) 下的分量关系：r Ar cos cos

5、cos 矢量 L： r cos r cos A cos 取 r 为 cos cos cos 则在不同坐标系下：cos Tcos Tcos cos JL cos J cos cos J cos cos cos cos cos 13cos T cos J Jz J cos J cos J LxyyyzJ cos cos J J cos xzyzzcos TJJJJxxyxz cos Acos JxyJ xzATJ yJyzyz cos cos JzJ ATJ A坐标变换下惯量矩阵关系：定理：对于任意对称矩阵 J ，存在正交变换 A ( AT A I )，使得 ATJ A为对角矩阵。推论：对于刚体上

6、的任意点，存在三根互相垂直的惯量主轴14 。 六、惯性积的平行移轴定理Y在质心坐标系CXY中，o(a,b)yaox mi xi yiiJ xyb mi ( Xi a)(Yi b)iCmi abX mi XiYii mi XiYiimibXi mi aYiiii对质心坐标系：仅平移一根轴，不改变惯性积。 bmXC0amYC mab0 J XY mab15Jxy JXY mab 七、惯量矩阵的平行移轴定理 ZzaycYbX在质心坐标系CXYZ中：在坐标系oxyz中：Jxz JXYJXZ JxyJXJxJ Jyz J JJJJJCXYYYZoxyy16 J XZJYZJJyzJZJxzzoCxZza

7、ycYbX(b2 c2 )ab(c2 a2 )bcacbc J m JabacoC(a2 b2 )17oCxz解:lacyxb 1 c2 )m(b200121 Jm(c2 a2 )00C121m(a b )22001812Co例: 均质长方体质量为 m , 尺寸，求关于对角线的转动惯量。l cosi cos j abJ m(a b b c c a )2222226a2 b2 2z例：定轴转动刚体惯性力系的简化)FFIR FIi (miai ) maCIiMM (r F ) r (m a )IoFIoiIiiiiIRy将主矢和主矩在连体坐标轴上投影F m( 2 x y )xIxccF m(x 2

8、 y )IyFIzcc 0J m x z J xz J2yz 2 J Jxzyz JzM IxM IyM Iz刚体对xy轴和yz轴的惯性积xziiiJ m y zyziii20 xc , yc质心的坐标10-3、刚体定点运动的动力学方程z 一、刚体定点运动的动量矩zOxyz为随体参考系Oxyz为惯性参考系rx刚体对O点的动量矩：yoxLo M r vdm M r ( r)dm M (r r) ( r)rdmy21zzxryoxyLo M (r r) ( r)rdm 将动量矩矢量在随体坐标系中表示 xi y j zk xi y jzkr xi yj zkr x i y jz kLo LoxiLo

9、y jLozk J xz x J x yLox J x J LJJyz y oy x yy J xz z Loz J yz J z JxxiJ yy jJzzkLo23如果 x y z 是刚体的惯量主轴问题：Lo与是否共线，在什么情况下共线？Lo JxxiJ yy jJzzk xiy jzk结论：1.当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与共线。2.当刚体的三个主转动惯量相等时，Lo与共线。3.一般情况下，Lo与不共线。24zmimizixiyioxiyyix mi xi zi mi yi zi 0 0J xzJ yzzmizioxiyyizix25(2) 如果刚体有质量对称面，如oxy面。则垂直于该对

10、称面的轴必为该轴与对称面交点的惯量主轴。(1) 如果刚体有质量对称轴，如z轴。则对称轴是该轴上任意一点的惯量主轴之一，也是中心惯量主轴。惯量主轴判据：解：一、取随体坐标系Cxyz:二、惯量矩阵：2mL202mL2 cos2 2mL2 sin cos0z 2mL2 sin cos J00C2mL2 sin2 0 B 0 y三、角速度：mg LC四、动量矩：Amg0 2mL2 sin cos LC2mL2 sin2 26例1：已知：, , L, m ，求刚体关于 C 的动量矩。解：一、取随体坐标系Cxyz:二、惯量矩阵：2mL2002mL20 0J000zBC0 sin 三、角速度：mg cosL

11、C四、动量矩：Amgy0L 2mL2 sin C027例1：已知：, , L, m ，求刚体关于C 的动量矩。 二、刚体定点运动的动力学方程dLo ML J iJ jJk(F (e) )ooxxyyzzdtdLo dLo Lodtdt y J J ) (JJMy y x z x z Mz J zz J x )x y (J y 28 三、刚体定点运动动力学的解法 x y JMx y y z JMy z x z Mz z Jxx y sin sin cos sin cos sin cos ,xy,z,29 四、刚体定点运动的动能zzOxyz为随体参考系Oxyz为惯性参考系r刚体的动能：xyT 1 oxv vdm2My1 (r ) (r )dm2 M30zzxryoxyT 1 1 1 L (r ) r dm(r ) (r )dmo222MM 将动能用随体坐标系中的分量表示 31 xi y j zk xi y jzkr xi yj zkr x i y jz kT JJ y x z x 1 T 2 y Jy z y Jz z Jx y J x z J y Jy z z T 1 (J J J )