现代控制理论考点精讲第4讲控制系统稳定性

1、现代控制理论 考点精讲第4讲控制系统稳定性主讲人：单博网学天地本章的主要内容1.2.3.引言夫意义下稳定性的定义夫第二法4.线性连续系统的稳定性5.6.有界输入-有界输出稳定非线性系统的稳定性分析4.1引言稳定性问题的研究归纳为两种方法。法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原第系统的稳定性。第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例4-1一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分

2、方程描述。x ffxkx0kx 0m（1）xxm 1令xxx 1选取状态变量1x2fx则系统的状态方程为（2） kxx212在任意时刻，系统的总能量121E显然，当x 0 时 (Ekx（3）2而当 x 0 时0) x) 0，(E0而总能量随时间的变化率为E d x1E d xd1x ,2x) kx22 E ( d tfx22x1x2d td t 0 时d ，E /dt可见，只有在 x2E /dt，。0在其他各处均d0这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。平衡状态 一般地，系统状态方程为 x f ( x, t) ，其初始状态为x(t0 )。

3、系统的状态轨线 x(t)是随时间而变化的。当且仅当 x xe（当 tt0 ）则称 xe 为系统平衡。xe如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。4.2稳定的定义表示求夫意义下稳定性的定义4.2.1 x1 x 范数。xxx22则xn 1n（即：表示空间距离） ) x(f,xt非线性时变系统（4）xe 0定义 对于任意给定的实数 0 ，都对应存在实数( ,t ) ，0使满足x ( t0)( , t0 xe（5）)x0出发的轨线 x( t )有的任意初始状态x ( t0 x ( t )xe（对所有 t t0）（6）xe 0为Ly

4、apunov意义下是稳定的。成立，则称4.2.2渐近稳定Lyapunov意义下稳定如果系统的平衡状态 xe 0是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线 x(t) ，当 t 时，收敛于 0 ，则称 xe 0为渐近稳定。xe渐进稳渐进稳定定更精密的叙述如下：如果系统的平衡状态T t0 xe 0, ，对于，存在和 出发的x(t0 ) xex(t) xe当 t T 时，从x(t)，都有就充分小。则称 xe 0为Lyapunov意义下并且 T 充分大时，渐近稳定。当 t0与T 、无关时 ，则称 x 0为一致渐近稳定。e4.2.3大范围渐进稳定lim x(t) xx(t ) x如果是整个状态

5、空间中任一点，并且都有e00t 则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。不稳定4.2.4不稳定对于任意的实数 0，存在一个实数 0等式，不论取的多么小，在满足不 x0 xe的所有初始状态中，至少存在一个初始状态 x0 ，由此出发的轨线x(t)，满足x xe称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定4.3夫第二法定义 如果标量函数V( x )0，并且当 x 0 时，(Vx) 0；仅当x 0 时，(Vx 0 以外，还有x) 0；则称V(x )为正定的。除了半正定的。状态使(Vx) ，0 称 V( x为)定义 如果标量函数V(

6、 x )0，并且当 x 0 时，(Vx) ；0 仅当x 0 x) x 0 以外，还有时，(V0；则称V(x )为负定的。除了半负定的。x) 状态使(V定理4-1，0 称 V( x为) xf(x)设系统状态方程为（7）有连续一阶偏导在平衡状态 xe 0的某邻域内，标量函数V(数，并且满足：x 具)2） V(x )为负定。1）V( x 为)正定； 0 为一致渐近稳定的。则xex，V( x ) ，则 V(x )是大范围一致渐近稳定的。如果例4-2系统的状态方程如下，判别系统稳定性。x2x 1(V x) x x 0000解选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足(V x) 1212(x )2Vx

7、22)V而(x2x将状态方程代入上式，化简后得 V( x)00 (x22x)12可见，V( x )是负定的，即满足 (Vx) x x 00 (V x) 是一致渐进稳定的。 0因此，xe 0是一致大范围渐进稳定的。x， 有V(xex ) ，故系统当x f ( x)定理4-2设系统状态方程为在平衡状态 xe 0的某邻域内，标量函数V ( x)具有连续一阶偏导数，并且满足：1）V ( x) 为正定； 2）V ( x) 为半负定；3）除了xe 0平衡状态外，还有V ( x) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V ( x) 0 0 为一致渐近稳定的。xe则，则V ( x) 是大范围一致渐近稳定的。

8、，V ( x) x如果（注：本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点）x 11x2例4-3系统的状态方程为a (x2其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。 0( x)系统的平衡状态为 xe解选取Lyapunov函数：x2 2Vx12(V x) x x 0000显然它是正定的，即满足(V x) )x而 V(x2)x2 a1x 222将状态方程代入上式，化简后得V()x2x1 时，有V ( x) 0 ，而x2 0 和任意 x1可见，当x2 0和任意的时，V( x) 0。又因为 x1 x2，只要 x1 变化 x1 x2 就不为零，因此V ( x) 0在整条状态轨线上不会有。 0因此，xe是一

9、致渐进稳定的。 0是一致大范围渐进稳定的。 ，有V ( x) ，故系统xex当x f ( x)定理4-3设系统状态方程为在平衡状态xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x)具有连续一阶偏导数，并且满足：1）V ( x) 为正定；2）V ( x)为半负定； 0 为一致稳定的。xe则，则 xe 0是大范围一致稳定的。 ，V ( x) x如果（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）因为V ( x)0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V ( x) 0，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此xe 0 是一致稳定的。1例4-4 系统的状态方程为

10、 xkx2x1x 2 其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。系统的平衡状态为 xe 0解选取Lyapunov函数：( x)21002kxVx2(V x) x x 00显然它是正定的，即满足(V x) )x而(1 k1kxkxVxx2210 x22 0 为Lyapunov意义下一致稳定。由定理4-3可知，xex f ( x)定理4-4 设系统状态方程为 0的某邻域内，标量函数V ( x) 具有连续一阶偏导数，在 xe2）V ( x)并且满足： 1）V ( x) 为正定；为正定或半正定；xe 0则为不稳定的。x 1x2例4-5系统的状态方程为分析系统平衡状态的稳定性。系统的平衡状态

11、为 xe 0解x)x2 2选取Lyapunov函数V： (x12(V x) x x 0000显然它是正定的，即满足(V x) ( 而 ) V22x21由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。：到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的应该一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。4.4 线性连续系统的稳定性 A( t )x)状态方程为xx)对线性时变系统，其相应的 ( t , 0

12、t由第2章介绍的方法求出其解为()xt0t(由此可判别以及非系统的稳定性，如果收敛则都稳定；如果发散，则都不稳定。对线性定常系统x A( t )，x 可以用Lyapunov第二法。1nq12q2 n Q 22首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵nnq当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定的。即：n 2q121n2 nq, ,2200q1112 022nnqn 2如果方阵Q 是正定的，则Q 就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。TLyapunov函数V( x 为)Px状态变量如果P 为nxn维正定的对称常数矩阵，则V( x 为)正定的。dV(xx TA) P( x)xPTT(A T)PAxd t令

13、xV()Qx，其中Q 为正定实数矩阵，且满足TPAPQ0为稳定的。并xe如果给定Q阵，能够推出P 为正定的，则系统在且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。（注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具有负实部，既可以判别其稳定性。）x 01 x例4-6线性定常系统的状态方程为判别系统的稳定性。-1-1系统的平衡状态为 xe 0为简单起见，可以令Q 阵为AT P PA I解矩阵I。1 101P11P12 P11P12001PPPP 111012122211 22 3 22 P1121P12P1121P12 0P 01PP解得有1122PP1 22 2xe 0 为大范围一致渐近稳定的

14、。可见， P 为正定的矩阵，故4.6有界输入-有界输出稳定4.6.1有界输入-有界输出稳定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为BIBO系统。u K1 如果输入 u 有界，是指y K2 y有界，是指如果输入tttH (t ) u() d K1ttH (t ) u() d H (t )u() d yt000tH (t ) d K3y 如果于是 K1K3t0K2 K1K3可以取x Ax Buy Cx定理4-5由方程描述的线性定常系统。为初始松弛系统。其输出向量的解为ty(t) tH (t )u

15、() d （11）0BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有H (t ) d K3 0或者对于 H (t ) 的每一元素，都有hij () d K3 0 x ax uy cx例4-8线性定常系统方程为h(t) c eat其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为分析系统是否BIBO稳定。解1a 0a 0ch() d cead a 00可见，只有当a 0 时，才有有限值K3 存在，系统才是BIBO稳定的。4.6.2BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系x Ax Buy Cx（12）对于线性定常系统平衡状态 xe 0的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极

16、点决定的。G(s)的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是G(s)的极点。可能存在零极点对消。所以， xe 0 处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 xe 0处的渐近稳定。 0 渐近稳定呢？xe那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在xe 0处是渐近稳定的。4.7 非线性系统的稳定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。1.斯基法x f

17、()x)0（12） f(0非线性定常系统的状态方程为x和f (x)均为n维向f量( 。非)线性多有连续的偏导数。其中元函数，对各( xii 1,2,n , 都具)构造Lyapunov函数如下V ( x) x TWx f T ( x)Wf ( x)其中W 为 n n 正定对称常数矩阵V ( x) f T ( x)Wf ( x) f T ( x)Wf ( x)（13）（14）（15）f ( x) d f ( x) f d x fx J ( x) f ( x)而x d tf1xd t f1f1xxxf 12nff其中称为雅可比矩阵（16）2 2 2 x2f ( x)xJ ( x) x1xnfffn

18、x1n xn n x2V( x) J ( x) f ( x)T Wf ( x) f T ( x)WJ ( x) f ( x)f T ( x)J T ( x)W WJ ( x) f ( x) f T ( x)S( x) f ( x)S( x) J T ( x)W WJ ( x)（17）其中是负定的，则 V ( x) 是负定的。而 V ( x) 是正定的，故如果S( x) ，V ( x) ，则 xe 0 xe 0是一致渐近稳定的。如果x是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 W I，这时S( x) J T ( x) J ( x)x 1x1例4-10非线性定常系统状态方程为3x2xe 0试分析的稳定性。x 1x1x) f (解x32 f1f1雅可比矩阵x) f (x) x10 xf 1 J (2f2 1 x23x12 x12 x2J(选择 W=IS则( x) Jx) T()x 11 1 20102162 2检验S (x)的各阶主子式：0det212312x2012 x62 2x时，(有Vx)负定