高中数学选择性必修一 3.2 双曲线（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.2双曲线 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】如图所示，不等式所表示的平面区域内一点，可得点的轨迹为直线之间并且包括轴在内的区域，再根据三角形的面积为，即可求得点轨迹的一个焦点坐标.【详解】如图所示，则，.不等式所表示的平面区域内一点，可得点的轨迹为直线之间并且包括轴

2、在内的区域 三角形的面积为，即点轨迹方程为.焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题2已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由点到直线距离公式结合已知可得，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，从而可得结果.【详解】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，双曲线方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、定义与几

3、何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题.3已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得的面积为，可求得的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程.【详解】如下图所示：为的中点，为的中点，则，即，可得，且有，则，在中，由余弦定理得，则的面积为，解得，.因此，该双曲线的标准方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能

4、力，属于中等题.4黄金分割起源于公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数. 已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于的方程，解方程可得所求【详解】由题意得，在双曲线中，双曲线的实轴长与焦距的比值为黄

5、金分割数，解得故选A【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题5方程表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A 或B C D 或【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，方程表示双曲线，可得，解得的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可【详解】解：方程表示双曲线，可得，解得或；记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集，由于，故选：【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|

6、PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题7已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ）ABCD2【答案】A【解析】【分析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点

7、与圆心的线段，由内切圆的性质可得，再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，如图所示：连接，由内切圆的性质可得：，所以，所以，由双曲线的定义可知：，所以可得，重合，所以，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题8已知两圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）ABCD(x1)【答案】D【解析】【分析】设动圆圆心M坐标为（x，y），半径为r，由题意可得|MC2|MC1|2|C1C2|，可得点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支

8、根据2a2，c3，求得b值，即可得点M的轨迹方程【详解】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r， 由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|r+1，|MC2|r+3，相减可得|MC2|MC1|2|C1C2|，故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支由题意可得 2a2，c3，b，故点M的轨迹方程为 x21（x1），故选：D.【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题二、多选题9已知双曲线C的方程是：（，），则下列说法正确的是（ ）A当时，双曲线的离心率为B过双曲线C右焦点F的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；C过双曲线C右焦点F的直线

9、与双曲线右支交于M，N两点，则此时线段长度有最小值；D双曲线C与双曲线：（，）渐近线相同.【答案】ABCD【解析】【分析】由双曲线的性质分别判断【详解】A时，A正确；B过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上B正确；C过双曲线C右焦点F的直线与双曲线右支交于M，N两点，当是通径（即轴）时，的长度最小，C正确简略证明如下：如图所示，设双曲线方程为，又，同理：，又，易知当时，D双曲线的渐近线方程是，双曲线的标准方程是，渐近线方程是，渐近线相同，D正确故选

10、：ABCD【点睛】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键10已知双曲线的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）AB直线的斜率之积等于定值C使得为等腰三角形的点有且仅有8个D的面积为【答案】BC【解析】【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.【详解】在中，两边之差小于第三边，即，所以A不是真命题；设点，有，直线的斜率之积，所以B是真命题；根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，也且仅有一个点使，

11、此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C是真命题；，根据焦点三角形面积的二级结论，所以D不是真命题.故选：BC【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.11已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，则的取值可能为（ ）AB1CD2【答案】CD【解析】【分析】计算得到双曲线方程为，则，设，根据渐近线方程知：，代入计算得到答案.【详解】根据题意知：，故，双曲线方程

12、为，则，设，则，根据渐近线方程知：，故.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定是解题的关键.12已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（ ）A点到轴的距离为BC为钝角三角形D【答案】BC【解析】【分析】利用的面积可求出点的纵坐标，可判断A选项的正误；将点的纵坐标代入双曲线方程求得点的横坐标，即可求得的值，可判断B选项的正误；计算的值，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，所以，所以选项B正确；由对称性

13、，对于上面点，在中，.且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，所以选项D错误.故选：BC.【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，可得，根据椭圆与双曲线定义可求得，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得，进而求得双曲线的离心率【详解】设焦距为2c在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得 因为，代入可得，所以在椭圆中， 在双曲线中， 所以

14、即所以因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即 ，即所以化简得，等号两边同时除以 得，因为 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e，则上式可化为由一元二次方程求根公式可求得 因为双曲线中 所以【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题14如图所示，已知双曲线：（，）的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点 为，满足，且，则双曲线的渐近线方程是_.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的性质，推出，通过解三角形求出、的关系，再根据，即可得到、的关系，从而得到渐近线方程【详解】解：双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称

15、点为，满足，且，设左焦点为，连接、，由对称性可得、，可得，所以，所以，可得，又，所以，所以，故渐近线为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题15已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算

16、能力，是一道中档题.16中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线与圆有公共点，且圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为_【答案】【解析】【分析】由得，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于，从而可以设出双曲线的方程，代入点得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由的斜率为，则圆在点处的切线斜率为，所以双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，因点在双曲线上，所以，所以双曲线方程为，即，即，所以实轴长.【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.四、解答题17直线上的动点到点的距离是

17、它到点的距离的3倍.（1）求点的坐标；（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由于点在直线上，所以设点的坐标为，然后由到点的距离是它到点的距离的3倍列方程求出，从而可得点的坐标；（2）由可知，由此可，再将点坐标代入双曲线方程中，解方程组可得；（3）由可知线段的中垂线过点，再利用两直线斜率的关系可得结果.【详解】解：（1）因为点在直线上，所以设点的坐标为，因为到点的距离

18、是它到点的距离的3倍，所以所以，化简得，解得所以所以点的坐为；（2）因为，所以，所以点的坐标为，即因为点在双曲线上，所以，由，得，所以双曲线方程为（3）因为点关于直线的对称点为，所以点的坐标为，设直线为为，由得，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，化简得，由根与系数的关系得，所以，所以线段的中点为，因为，所以，化简得，所以，得，解得或，又因为，所以解得的取值范围为【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题18已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点、两点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线过原点，点是曲线上任一点，直线，的斜率都存在，记为、，试探究的

19、值是否与点及直线有关，并证明你的结论；（3）若直线过点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2），的值与点及直线无关，证明见解析；（3）存在， ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点代入即可求出双曲线的方程.（2）根据直线与双曲线的对称性知道点与点关于原点对称，设出点、，将其斜率表示出来，利用点、在双曲线上，化简即可说明为定值且直线与关.（3）根据题意设出直线与点，联立直线与双曲线，表示出，利用为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点与的值.【详解】（1） 因为渐近线方程为.所以可设双曲线为,将点代

20、入，解得所以双曲线的方程为（2）直线过原点,由双曲线的对称性知道，点、关于原点对称.设点 ，则点代入，有，所以，.将，代入得.所以，的值与点及直线无关.（3）由题意知直线斜率存在，故设直线为 ，点、由，得 ，且 又，所以 令解得，此时【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线求双曲线的方程,双曲线的性质，双曲线中的定值、定点问题，属于难题.本类题型的一般解法是：设直线-联立方程组-韦达定理-利用坐标表示出所求定值-化简即可得出答案.19双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程； （2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的

21、倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，联立得，求出，可证；（3）设直线方程，联立，（*），方程总有两个解，设，得到，根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线详解：（1）双曲线；（2）设直线的斜率，显然，联立得，；（3）设直线方程，联立，（*），方程总有两个解，设，根据得，整理得，符合题目要求，存在直线点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.20已知双曲线的

22、中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标【答案】(1) (2) 证明见解析，定点坐标为【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：，解方程组得（2）以为直径的圆过双曲线的左顶点,等价于,根据向量数量积得，结合直线方程得，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y得，再利用韦达定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得当时,的方程为,直线过定点.试题解析：（1）设双曲线的标准方程为, 由已知得又,解得,所以双

23、曲线的标准方程为.（2）设,联立,得,有,以为直径的圆过双曲线的左顶点,即,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.（）求此双曲线的渐近线的方程；（）若分别为上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【答案】（），（）的轨迹方程为 则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为，短轴长为的椭圆.【解析】试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，的中点，利用已知条件，得出相应的关系，再根据点分别为