变异函数及结构分析

1、变异函数及结构分析第1页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二一、协方差函数的计算公式第一节 协方差函数和变异函数的性质设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,N(h),则计算协方差的公式为：第2页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第3页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二协方差函数曲线图：以h为横坐标，C#(h)为纵坐标作图第4页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二二、协方差函数的性质区域化变量Z(x)在

2、二阶平稳假设下，其协方差函数存在且平稳，定义为1.C(0) = VarZ(x) 0，即先验方差不能小于零2.C(h) =C(-h) ，即C(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数第5页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二证：令x-h=y，则x=y+h，带入上式得图形特征及含义第6页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二3.|C(h)| C(0) ，即协方差函数绝对值小于等于先验方差证：第7页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二4.|h|时,C(h) 0，或写作C() =0，即当空间距离很大时，协方差函数值很小意义(空间局限性)：当距离很大时，Z

3、(x)和Z(x+h)之间的线性相关基本不存在5.C(h)必须是一个非负定函数，由C(xi-xj）构成的协方差函数矩阵必须是非负定矩阵正定条件(positive definite condition)区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：第8页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二较难理解则由C(xi-xj）(i,j=1,2n)构成的协方差函数矩阵是非负定矩阵，即C(h)为非负定函数二阶平稳区域化变量的协方差函数是有条件的第9页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二三、实验(经

4、验)变异函数(experimental variogram)的计算公式设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳条件或(准)本征假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,N(h),则计算实验变异函数的公式为：变异函数曲线图：以h为横坐标， #(h)为纵坐标作图第10页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二变异函数计算实例（1）一维变异函数的计算x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x104 3 4 5 7 9 7 8 7 7以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采

5、样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算 #(h)第11页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第12页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第13页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二两方面理解：变异性的理解与相关性的理解第14页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二作业：x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2 4 3 1 5 3 6 4以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算 #(1), #(2), #(3)第15页，共59页，2022年，5月20

6、日，5点16分，星期二（2）二维变异函数的计算下图为正方形网格状的采样数据，*号处为无数据点，点间距离h为100米，请分别计算南北、东西、西北和东南方向上的变异函数值。第16页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第17页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第18页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第19页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意分隔距离h的确定和样本数据对的查找第20页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第21页，共59页，2022年，5月20日，5点

7、16分，星期二作业：下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为无数据点，点间距离h为a米，请分别计算南北方向 #(a), 西北东南方向上 #( a)。第22页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二四、变异函数的性质区域化变量Z(x)满足二阶平稳或本征假设条件，则变异函数存在且平稳，计算公式为1. (0) = 0，即在h=0时，变异函数为零2. (h) = (-h) ，即(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数第23页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二3. (h) 0,即研究现象的变异性只能大于或等于零4.|h|时, (h) C(0)，或写作() =C(0)

8、，即当空间距离很大时，变异函数值接近先验方差5.- (h)必须是一个条件非负定函数，即由- (xi-xj)构成的变异函数矩阵必须是条件非负定矩阵。第24页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：第25页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二区域化变量Z(x)的 变异函数(h)是有条件的，即需满足条件非负定条件第26页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二五、协方差函数与变异函数的关系第27页，共59页，2022年，5月20日

9、，5点16分，星期二协方差函数和变异函数的曲线图问题：为什么只画出了h0的关系图？当h足够大(即存在a0，当ha)时，可以使C(h) =0,(h)=C(0),a称为变程(range)1、变程a表示区域化变量从存在空间相关状态(当|h| a时)的转折点2、变程a的大小反映区域化变量影响范围的大小，或说反映该变量自相关范围的大小。也可说变程a是区域化变量空间变异尺度或空间自相关尺度变程a的意义：第28页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第二节 变异函数的功能一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围变异函数的跃迁现象 变异函数(h)是一个单调递增函数，当h超过某一数值(变程a)

10、后， (h)不再继续单调地增大，而往往稳定在一个极限值() 附近，这种现象称为“跃迁现象”(transition phenomena)()极限值称为基台值(sill),即C(0)【二阶平稳条件】，基台值的大小反映变量变化幅度的大小凡具有一个变程a和一个基台值的变异函数，称为“跃迁型”的变异函数“变程”反映变量的影响范围(图示）第29页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二二、不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性 变异函数表示的各向异性如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近，则称区域化变量是各向同性的，反之称为各向异性通过作出各个方向上的变异函数图，并放到一起来

11、比较、分析、研究，就可以确定区域化变量的各向异性（包括有无各向异性，及各向异性的类型等）第30页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第31页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二三、块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大小 变异函数的块金效应 当h=0时，变异函数(h)0，而等于一个常数C0 ，这种现象称为“块金效应”(nugget effect), C0称为块金常数或块金方差(nugget variance)块金效应的图形表示第32页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二“块金效应” 主要有两种来源：1、区域化变量在小于抽样尺度h时所具

12、有的变异性2、采样分析误差当样点间的距离大于微域结构的范围，或样点的大小大于微域结构的范围就会出现块金效应（Webester，1985）第33页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二四、变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空间连续性 变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类型反映了变量的不同程度的空间连续性 1、抛物线型（parabolic type） 当|h|0时, (h)A|h|2(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条抛物线，反映区域化变量是具有高度连续性的，如矿层厚度第34页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 2、线性型（linear t

13、ype） 当|h|0时, (h)A|h|(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条直线，或说在原点处有斜向的切线存在，反映区域化变量是具有平均的连续性，如金属品位 3、间断型（discontinuous type） 当|h|0时, (h)C0，即变异函数曲线在原点处间断，说明块金效应存在，又称“块金效应型”，反映区域化变量的连续性很差，但当h增大时，(h) 又变的较为连续了，如金品位第35页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 4、随机型（random type） 这种变异函数可看成具有基台值C0和无穷小变程a的跃迁型变异函数，则无论h多小，h总大于a，故Z(x)与Z(x+

14、h)总是互不相关又称纯块金效应型，反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况，则本质上此区域化变量为普通随机变量此时，C0=C(0)第36页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 5、过渡型：介于抛物线型和随机型间 当|h|0时, (h)C0，即有块金效应； 当|h|=a时, (a)=C(0)，即有基台值(C0+C)和变程a,C称为“拱高”过渡型是实际研究工作中最常遇到的一种类型第37页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第三节 变异函数的理论模型 思考：是否有了采样数据及变异函数计算公式就可以获知任意距离h的区域化变量变异性？ 设Z(x)具有各向同性的变异函数

15、 (h)，则常见的变异函数模型如下：变异函数的理论模型有基台值模型无基台值模型可以有或无基台值模型：孔穴效应模型球状模型、指数模型高斯模型线性有基台模型纯块金效应模型幂函数模型对数模型线性无基台模型第38页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二一、有基台值模型 1、球状模型（spherical model） 若模型满足二阶平稳假设，且有有限先验方差， (h)值随h的变大而增大，当h达一定值(ha)时，(h)达到一定值基台值，则称此类模型为有基台值模型式中：C0为块金常数，(C0+C)为基台值，C为拱高，a为变程第39页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二当C0

16、=0，C=1，称为标准球状模型，其图形为：原点处切线的斜率为3/2a,与基台值线交点的横坐标为2a/3球状模型是地统计学应用最广的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用球状模型来拟合第40页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 2、指数模型（exponential model）式中：C0，C意义同前，但a不是变程当C0=0，C=1，称为标准指数模型，其图形为：由于1-e-3=1-0.05=0.951，则变程为3a第41页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 3、高斯模型（gaussian model）式中：C0，C意义同前，但a不是变程由于1-e-3=1

17、-0.05=0.951，则变程为3 a当C0=0，C=1，称为标准高斯函数模型，其图形为：第42页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二模型通过原点切线与基台值线交点的横坐标变程原点处的性状球状2a/3a直线指数a3a直线高斯无交点3 a抛物线三种模型的比较第43页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 4、线性有基台值模型（linear with sill model）式中：C0，C意义同前，A为常数，表示直线的斜率，变程为a第44页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 5、纯块金效应模型（pure nugget effect model）此

18、时，C0=C(0)此种模型意味着区域化变量为随机分布，样点间的协方差函数对于所有距离h均等于0，即变量不存在空间相关性第45页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第46页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二二、无基台值模型 1、幂函数模型（power model） 若与模型相应的区域化变量不满足二阶平稳假设，仅满足本征假设，(h)值随h的变大而增大，但不能达到一定值，即无基台值，则称此类模型为无基台值模型 当改变参数时，可以表示原点处的各种性状第47页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 2、线性无基台值模型（linear without

19、sill model）第48页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 3、对数模型（power model）第49页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二三、孔穴效应模型(hole effect model) 当变异函数(h)在大于一定距离后，并非单调递增，而具有一定周期波动，此种模型称为孔穴效应模型有基台值无基台值第50页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第四节 变异函数的结构分析一、结构分析、套合结构概念采样数据计算#(h)试验变异函数曲线对区域化变量进行分析合适的理论模型实际中区域化变量的变化性很复杂：(1)可能在不同方向上有不同的变异性；(2)在同一方向上包含不同尺度上的多层次的变异性这么复杂！？第51页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二矿床或矿体的变异性往往由多种原因引起采样、样品制备及分析等过程所产生的误差原因矿物成分的变化，如金矿等品位变化剧烈的矿床上尤为明显矿层与夹层的交替变化矿床分布引起的变异0 1n cm米至百米公里尺度不同原因引起的变异特性，其变异尺度的大小不同显然，大尺度的变异总是包含着小尺度的变异，小尺度的变异在大尺度变异曲线上只能作为“块金效应”出现第52页，共59页，2022年，5月20日，5点16分，星期二土壤的空间变异性与土壤母质、