2013年gct数学基础讲义前五部分

1、欢迎使用目录目录1GCT 数学大纲要求2第一部分算术4代数16第二部分几何38第三部分第四部分数据分析63第五部分一元函数微积分72GCT 数学大纲要求一、目的数学基础能力测试，旨在考生所具有的数学方面的基础知识、基本方法，考生逻辑思维能力、数算能力、空间想象能力以及运用所掌握的数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。二、试题结构1题量与题型本部分共有 25 道题，时间为 45 分钟。试卷包含算术题、代数题、几何题、一元微积分题和线性代数题等五部分，每部分各占 20%，均为单项选择题。 2试题难易程度试题难度分为：容易、一般、较难三个等级，在每套试题中，容易题、一般题和较难题的题量之比约为 1

2、:4:1。3试题评分标准本部分试题满分为 100 分，每道题 4 分。考生须从每个问题所列出的 A、B、C 和 D 四，多选、不选或错选均不得分；所选均为 A 或 B、C、个备选中选出一个正确D 的答卷，一律视为废卷。三、命题范围数学基础能力测试题范围主要包括算术、代数、几何、一元微积分和线性代数的基础知识，及其在日常生活、科学研究和实际工的应用。要求考 生对所列数学知识内容有较深刻的理性认识；系统地掌握数学知识之间的内在联系；通过举例、解释、分析、推断以解决相关问题；运用相关知识和逻辑推理方法分 析、解决较为复杂的或综合性1 数学基础能力测试的知识要求数学基础能力测试所涉及的知识有：算术、代

3、数、几何、一元微积分和线性代数。算术数的概念和性质，四则运算与运用。代数。代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率等。（3）几何三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范及几何方面的知识。（4）一元微积分图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以 函数及其图形：集合，函数，函数的应用。 极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小和无穷大。 导数与微分：导数的概念

4、，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。 微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。 积分：不定积分和定积分的概念，公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。（5）线性代数行列式：行列式的概念和性质，行列式按行展开定理，行列式的计算。矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。向量：n 维向量，向量组的线性相关和线性无关，向量组的秩和矩阵的秩。线性方程组：线性方程组的法则，线性方程组解的判别法则，和非线性方程组的求解。 特征值问题：特征值和特征向量的概念，相似矩阵，特征值和特征向量的计算，n 阶矩阵可化为对角矩阵的条件和方法。2数学基础能力测试的能力要求（1）逻辑推理能力

5、对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推断。（2）数算能力根据数学的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。（3）空间想象能力根据数学问题的条件画出正确的图形，并根据图形想象出直观形象；能对图形进行分解、组合与变形。（4）综合思维能力理解和分析用数学语言所表述题。；综合应用数学的知识和方法解决所问第一部分算术一、大纲要求：1.整数（1）整数及其运算整除、公倍数、公约数奇数、偶数质数、合数分数、小数、百分数比和比例数轴与绝对值二、知识点讲解自然数表示数集 中最小的元素不存在表示数集 中最大的元

6、素元间的三种关系自然数的四则运算：（正确结论）结论：自然数集对“”（加法） 具有封闭性。（两个自然数在加法运算下的结果不会脱离集合）（错误结论）结论：自然数集对“”（减法）不具有封闭性。（两个自然数在加法运算下的结果会脱离集合）例如：，不在自然数里。但是现实生活中会出现的情况，所以，必须要对数系进行扩充。整数集正整数自然数（ 非负整数）非正整数负整数自然数的四则运算：（正确结论）结论：结论：自然数集对“ ”（乘法） 具有封闭性。（错误结论）在 右上角标*意味着除零，如 表示非零整数结论：自然数集 对“”（除法）不封闭，即“除不开”。在除法不能整除的情况下，有如下三种办法：带余除法 分数 小数，

7、以后会依次讲到。带余除法，除数一定严格大于余数。例如 ：7被除数3除数3=2商2 1余数+17=例如 ：185 4=46 1的余数可能是什么？ 可能是 0、1、2。把全体自然数（整数）按照除以 3 的若余数分类，分类要求不重不漏，即每个数必须属于某一类且只能属于一类。余数为 0:余数为 1:余数为 2:3n 3n+1；3n-23n+2；3n-1奇数与偶数把全体整数按照除以 2 的余数分类，只能是余数为 0 或余数为 1，余数为 0 的数称为偶数，余数为 1 的数称为奇数。奇数：不能被 2 整除的数，如1，3；偶数：能被 2 整除的数。注意，0 属于偶数。奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶

8、数=偶数有奇偶性，m+奇数，改变其奇偶性；m+偶数，不改变其奇偶性。结论：定理：奇数个奇数相加是奇数；偶数个奇数相加是偶数；奇数奇数=奇数，奇数偶数=偶数，偶数偶数=偶数。例如：1+3+7 是奇数，1+3+7+9+13 是奇数，1+3 是偶数，1+3+7+9 是偶数。数的整除数的整除：当整数 a 除以非零整数 b，商正好是整数而无余数时，则称 a 是能被 b 整除或 b 能整除a。63=2余数等于 0倍数约数、因数、因子称作 3 整除 6，或 6 能被 3 整除，记为。再如 2 。常见整除的特点：能被 2 整除的数：各位为 0，2，4，6，8能被 3 整除的数：各数位数字之和必能被 3 整除能

9、被 4 整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4 整除能被 5 整除的数：个位为 0 或 5能被 6 整除的数：同时满足能被 2 和 3 整除的条件能被 8 整除的数：末三位（个位和十位、百位）数字必能被 8 整除能被 9 整除的数：各数位数字之和必能被 9 整除能被 10 整除的数：个位必为 0倍数，约数：当 a 能被 b 整除时，称 a 是b 的倍数，b 是 a 的约数，即。一个数有无穷多个倍数，最小的是它本身，最大的不存在；一个正整数的正整数约数一定是有限多个，最小的一定是 1，最大的是它本身。2 的倍数：2，4，6，8，10，12，3 的倍数：3，6，9，12，15，其中 6，12

10、，既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，称它们是 2 和 3 的公倍数。公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，2 和 3 的最小公倍数记为2,3；最大公倍数不存在。6 的约数：1，2，3，6；12 的约数：1，2，3，4，6，12；其中 1，2，3，6 既是 6 的约数，12 的约数，称它们是 6 和 12 的公约数。公约数和最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，6 和 12 的最大公约数记为（6，12）；最小公约数是 1。求两数最大公因数，最小公倍数的方法短除法以 12，18

11、 为例步骤如下：将两数并排写在一行，在短除号（即 | ）左侧逐步写上 12，18 的写上12，18 的除 1 以外的公约数，如 22| 12在短除号下对应、写出、分别除以 的商 6 和 92| 121869在 6、9 下画短除号，在短除号左侧逐步写上 6 和 9 的写上 6，9 的除 1 以外的公约数 3，在短除号下对应 6、9 写出 6、9 分别除以 3 的商 2 和 32| 12183| 6923重复以上步骤直到两个商互质。注：若两数最大公约数是 1，即（a，b）=1，则称这两个数互质。最大公约数、最小公倍数计算口诀：大公约不算大，只乘楼梯甩楼下；小公倍不算小，乘完楼梯乘楼下。即最大公约数

12、再大也过两个数中较小的那个，最大公约数等于短除号左侧所有数（楼梯）的乘积；最小公倍数再小也不小于两个数中较大的一个，最小公倍数等于短除号左侧所有数的乘积乘以最下面短除号下的两个商（楼下）。则 12 和 18 的最大公约数为（12，18）=23=6，12 和 18 的最小公倍数为12，18=2323=36。观察（12，18） 12，18=1218，即两个数的乘积等于两个数的最大公约数乘以最小公倍数。定理：若，则（十一）质数与合数将 按照约数个数分为三类质数（素数）2，3，5，1合数6，8，10，注意：1 既不是质数也不是合数。熟记 30 以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，

13、29。其中特别注意最小的质数2唯一一个偶质数（十二）分解质因数：，2 和 3 都是 12 的因数，且都是质数，并按质因数：如就是将 12 分解质因数的形式。照由小到大的顺序写成的形式，即质因数的求法：短除法（短除号上只有一个数）例：2|482|242| 122| 6 3下面研究一个数的因数的个数以及因数和。6 的因数：1，2，3，6，所以 6 的因子是：，.12 的因数：1，2，3，4，6，12，所以 12 的因子是：，.问：120 的因数有多少个？解：2|1202|602|303| 155，则 120 的因数有个。形式，每个质因数次数+1 的乘结论：一个数的因数个数等于将它做质因数分解写成积

14、。12 的所有因数的和：，12 的所有因数是：， 则12的所有因 数 的和为.（十三）分数主要了解分数的类型真分数：分子比分母小。最简分数（既约分数）：分子和分母互质。假分数：分子比分母大。如： 真分数、最简分数真分数假分数带分数定理：设， 并且则（1）（2）0a,a0=0,a=0=-a,a0 恒成立。均值不等式：,注：应用：（1），且。（2），且。例题选讲：例 1：代数式可能的取值有几个？。解：（1）三正（）：+3二正一负：+1一正二负：-1（4）三负（）：-3综上，一共可以取 4 个值，分别是3，1，-1，-3例 2：解不等式解：零点分段法，在数轴上标出两个零点，然后分区域。-1（1）：（

15、2）：与无交集，x 无解（3）：综上，解集（使不等式成立的所有 x 值的集合）为。例 3：三个人，每两个人的平均个人中最大和最小分别得到 47、61、60，问这三加上剩下一人的之差是多少？解：设这三个人的分别是 x，y，z 岁，不妨设，则有用，得到，即之差是 28。（十七）比和比例：比：比值：比值比例：相等的比就是比例。其中 a，d 称为比例外项，b，c 称为比例内项；比例外项和比例内项间有关系。若两个比例内项相同，即，则称之为比例中项，有。定理：（假设以下各式均有意义）（1）（合比定理）（2）（分比定理）（3）（合分比定理）（4）等比定理：，其中。y 和x 成正比：k 称为比例系数y 和x

16、成反比：例题选讲：例 1：，求 y=？解：首先理解比例的意义，例如，意思是 a 是 3 份，b 是 2 份，每一份的大小一样，每一份具体是多少由具体条件决定。，即 x先处理，所以，1 份=2，y 是 12 份，y=24。例 2：且，求代数式的值。解：（1）当时，由等比定理得，则=.（2）当时，则=.综上，的值为 8 或-1。第二部分代数一、大纲要求：1.整式整式及其运算整式的因式与因式分解分式及其运算函数集合一元二次函数及其图像指数函数、对数函数4.代数方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程组5.不等式不等式的性质均值不等式不等式求解：一元一次不等式（组），一元二次不等式，简单绝对值不等式，

17、简单分式不等式6.数列、等差数列、等比数列二、知识点讲解整式、分式单项式整式多项式（出现“ ”或“ ”）系数：变量前的数字。如：abc 系数为 1，3abc 系数为 3.单项式次数：单项式内各个变量的次数之和，用 deg 代表。如同类项：所含变量相同，且相同变量的次数也相同。如：3ab 与ab 是同类项。同类项之间可以合并，即系数之间可以进行加减。步骤一：去括号单项式的加减法步骤二：合并同类项例：解：=步骤一：系数相乘单项式乘法步骤二：字母相乘例：=解：多项式，如：多项式的次数：多项式中最高次的单项式的次数。例如：步骤一：去括号多项式的加减法步骤二：合并同类项例：解：=多项式乘法：分配律例：解

18、：=乘法公式：（平方差）；（完全平方）；（完全立方）（立方和）（立方差）多项式除法（一元）：带余除法或写作.类比于数的带余除法：，余数要比除数小，对于多项式，用次数进行比较，当时，除法停止。例：，求解：列除式计算。，由，r 是常数。当 r=0 时，说整除，记为。余式定理：关于 x 的多项式所得的余式为 f(a)。除以证明：由，令，得到。因式：若且都是整式，则称为的因式。因式定理：关于 x 的多项式的因式f(a)=0.，是因式分解：整式乘法的逆过程。整式乘法：积化和差（把几个因式乘积的形式展开成一个多项式）因式分解：和差化积（把一个次数比较高的多项式分成几个次数比较低的多项式相乘的形式）例如：从

19、左到右是整式乘法，从右到左是因式分解。因式分解方法：提取公因式：公式法（套公式）相乘法（针对二次三项式）例如：分解解：首先把分解，再把分解，由于分解方式不唯一，所以接下来按下述方法进行尝试：左侧一列乘积为，右侧一列乘积为，计算直线两端的因式的乘积相加得，所以该分解方式失败。重新分解如下：左侧一列乘积为，右侧一列乘积为，计算直线两端的因式的乘积相加得，所以该分解方式成功。接下来，将分解结果按行书写即。再如：分解解：把分解，再把分解，左侧一列乘积为，右侧一列乘积为，计算直线两端的因式的乘积相加得，分解成功，。分组分解法（分组要恰当）：例如：解：先观察分组然后逐步应用前三种方法进行分解【解题口诀】首

20、先提取公因式，再看是否用公式，相乘试一试，分组分的要合适，反复试用反复试，定能写成连乘式。例题选讲：例题 1：因式分解解： 原式例题 2：因式分解解：注意到若，则由，所以原式例题 3：因式分解解：原式综合例题：能被整除，求 m。解：从余式定理或因式定理的角度看均到分式：形如，且 A 和 B 均为整式，B 中含有变量（字母）。注意前提是，所以.从左往右是通分的过程，从右往左是约分的过程。定理：最简分式（既约分式）：分子分母没有高于或等一一次的公因式的分式。如：，通过化简得到最简分式。例：化简解：原式例：，问.解：原式 集合（set）集合用大写的英文字母代替：A，B，C，元素用小写的英文字母代替：

21、a，b，c，集合与元素的关系：属于，不属于集合的描述：列举法：如，描述法：，其中表示 x 的一个判断或一句话。如：.例：，求。错误解法：的图像，两函数图像交于 A、B 两点，所以画出函数和。正确解法：，所以.注：若是交点，则表示方法应该为，.集合的性质：确定性：或，两者必占且只占其一。无序性：互异性：不能出现，可以是集合间的关系：（真）包含于：A 包含于 B，记作；A 真包含于 B，记作。例：则集合 A，B，C 之间的关系有：。等于：.注：数集之间的包含关系。集合间的运算：交：，A，B 共同的元素组成的集合，如图中阴影所示。BA注：两个集合的交集是一个新的集合。例：，则。并：，A 和 B 的所

22、有元素组成的集合，如图中阴影所示。BA例：，则。差：，属于 A，但是不属于 B 的元素组成的集合，如图中阴影所示。BA例：，则。补： （），全集 U 中不属于 A 的元素组成的集合，如图中阴影所示。UA集合的运算律：，（交换律）；（结合律）；（反演律） 函数：一种数集之间的对应。记为：，其中 D 称为定义域，f 称为对应关系。二次函数：或，二次函数图像是一条抛物线：，时，开口向上；时，开口向下。其中，的一种典型情况如下图所示：函数()的图像与 x 轴交于，与 y 轴交于(0，c)，有且只有一条对称轴，对称轴与函数图像的交点叫做顶点。二次函数的表达形式：，其中(h，k)为顶点。 顶点式：两根式：

23、，其中 ， 是的二根。（并不一定存在）幂函数：（记住以下三种即可）指数（假设以下各式均有意义）：指数形式：，其中 2 称为底数，3 称为指数，8 称为幂。指数计算公式：.例：计算解：原式.指数函数：形如，恒过(0，1)点，.指数函数性质：（1）时，严格单调递减。（1）时，严格单调递增。对数：（2）时，严格单调递增。例：，求.解：，则由换底公式，.，比较 a，b，c 大小。例：，解：，所以 acb.方程和不等式方程：含有未知数的等式。方程的元：方程里的未知数，几元就意味着方程里有几个未知数。方程的次：未知数的最高次数。方程的解：使得方程两边等式成立的未知数的取值。方程的根：与解意义相同，但是只能

24、用在一元的情况。一元一次方程：形如的方程（若加上条件才为一元一次方程）：时，唯一解，时，无解，时，.例：解方程.解：二（三）元一次方程组：代入法，加减法（）例：解方程组一元二次方程：判别式：n 元 m 个方程组一元一次方程：一元 n 次方程：一元二次方程：对应于二次函数：一元二次方程的解法：（1）相乘法：降次例：解：或.（2）配方法：凑成或形式例：解：（3）求根公式法：只适用于一般式.，例：解：则或.定理：一元二次方程的根与系数关系一元二次方程，若，设，为方程的两根，那么.定理的应用：（1）（2）（3）（4）（5）例：方程,求。,37 是质数，且只能为 1解：由定理，所以和 37，那么，不等式

25、：由不等号连接的式子其中，指大于或等于，大于或等于出现其中一个即可，如：，但是是错的。不等式性质：（1）,且，则（传递性）（2）,且，则（3）,且，则（4），则（皆正倒数性）（5），且，则（皆正乘方性）（6），且，则（皆正开方性）一元一次不等式（组）：解集：满足不等式（组）的所有值组成的集合。例：解不等式解：不等式两边同乘 6，注意：两边若同时乘上一个负数，不等号变号。例：解：42一元二次不等式：或一元二次不等式的解法：数形结合，联系一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式。例：解不等式解：先把二次项系数变为正的再因式分解得到解例：解不等式解：,结合一元二次函数图像函数图像恒在 x 轴上方，

26、函数值于 0，所以不等式的解为.数列列数： ，角标是几，就是数列中的第几个。例：1，2，3，注意，数列是有顺序的，即使所有元素的一样，但是数序不一样也不是同一个数列。：第 n 项，一般项，通项：首项，所以数列是一种特殊的函数，定义域为正整数。例：写出下列数列的前五项（1）：1，2，3，4，5（2）：1，3，5，7，9（3）：2，4，6，8，10（4）：1，4，9，16，25前 n 项和：，前 n 项和与通项公式的关系：，知道通项公式，求前 n 项和：求和知道前 n 项和，求通项公式：差分常数列：.“ ”的定义：表示 k 从 1 变化到n，对所有求和，与 k 无关的地方保持不变，如：“ ”的性质

27、：常用公式：（选记）由通项公式，求前 n 项和：求和例：数列，,求解：由前 n 项和，求通项公式：例：数列，求解：（1）（2）简化表达式，得到。注意，最后一步简化并不是总能完成，反例如下。例：数列，求解：（1）（2）.例：,求解：,.,求例：已知满足解：(1)时，(2)时，综上，等差数列(记为)：1.定义：,任意相邻两项后项减前项差相等，称为公，差（可正，可负，可为 0）。2.通项公式：.3.若是，则：.当时，.4.定理：在中，若，则.证明：.5.性质：在中，注：只要左右两边项数相同且脚码之和相同成立。如：错误，但正确。若成，则称为和的等差中项。6.数列.是，或注：所有项都一样的数列叫做常数列

28、，常数列也是等差数列。等比数列（记为）：1.定义：是，,任意相邻两项后项减前项商相等，称为公比（可正，可负，不可为 0）。2.通项公式：.3.若.是，则：4.性质：在中，注：只要左右两边项数相同且脚码之和相同成立。若成，则称为 和的等比中项。注：箭头反向不一定正确，若 a 和b 异号则无等比中项，同号则有两个等比中项。6.数列是，一定要分开注：不为 0 的常数列是等比数列，公比是 1。例：中，求解：，由性质，则，.例：若，且，则解：由，；.例：若 a，b，c 既成等差数列又成等比数列，且是方程之二根，求解：先证若 a，b，c 既成等差数列又成等比数列，则一定有证明：由条件知,带入得由，且，则,

29、由一元二次方程公式，。第三部分几何一、大纲要求：1.平面图形三角形四边形（矩形、平行四边形、梯形）圆与扇形2.空间几何体长方体柱体球体3.平面几何平面直角坐标系直线方程与圆的方程两点间距离公式与点到直线的距离公式二、知识点讲解1.平面图形线段和角线段：直线的一部分，有固定长度。AB线段的垂直平分线（中垂线）：既垂直，又平分AMB中垂线性质：中垂线上任意一点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点一定在中垂线上。角：从一个点发出两条射线，如下（或 ）AMPCONB角平分线：平分角，如图中为的角平分线，角平分线性质：角平分线上的点到角两条边的距离相等；到角两条边距离相等的点一定在角平分线上。如图

30、中.角（ ）的分类：，零角，锐角，直角, 钝角, 平角,优角，角度制：把圆从圆心 360 等分，每一份为。弧度制：把圆（周长为），周长 1 所对应的圆心角的角度称为一弧度。角度制与弧度制的转化：三角形A顶点：cb边：aBC角：外角：的临补角，如角是，每个内角都有 2 个相等的外角。三角形的分类：斜三角形按角分类按边分类三角形的性质：A三角形的内角和为，即；cb三角形的外角和为，即；a三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和；BC三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。以为长度的三条线段可以组成一个三角形三角形的面积：AcbaBC1、2、3、半周长，公式三角形的四心：1、内

31、心：三条角分线的交点；三角形内切圆的圆心。三角形的内心一定在三角形里。AAFFEIEICBCBDD2、外心：三边中垂线的交点；三角形外接圆的圆心。三角形的内心不一定在三角A形里。AOBCOBC注：直角三角形外心就是斜边中点。3、垂心：三边高线的交点。三角形的垂心不一定在三角形里。AEFHBCD注：直角三角形外心就是直角顶点。4、重心：三边中线的交点。三角形的重心一定在三角形里。A1F23EG645DCBFEG1、重心定理：2、三角形全等：能够完全重合A，记为（对应点顺序一致）ABBCC三角形全等的判定：，（直角三角形）两个全等三角形所有性质均相同。三角形相似：，记为（对应点顺序一致）AABC，

32、则B相似三角形性质：C相似三角形判定：，（直角三角形）相似基本形一：AFEBC相似比：相似基本形二：BAODC相似比：三角形的中位线：A是的中位线MNBC，直角三角形（）：B1、a2、勾股定理：cCA3、b4、是斜边的中线，射影定理：C1、2、BAD3、4、特殊角度的直角三角形：（1）一个角为B三条边之比为2CA1（2）等腰直角三角形Bca 1C三条边之比为A1a等腰三角形：有两条边相等（）。A1、两条相等的边的夹角称为顶角()，其它两个相等的角()称为底角CB2、两条相等的边称为腰()，第三条边称为底边()3、三线合一：顶角平分线；底边中线；底边高线。注：在同一个三角形中，等边对等角，等角对

33、等边；大边对大角，大角对大边。等边三角形：1、A2、aRaOrCBDa3、4、5、四心合一，称为中心：内心、外心、重心、垂心6、 为外接圆半径 ，为内切圆半径 ，；A四边形DB1、称为对角线C2、内角和3、外角和梯形：一组对边平行，另一组对边不平行（必须指明哪对边平行）AD1、称为上底，称为下底，另两边称为腰，C上底与下底间距离称为高2、3、中位线：AB、CD 中点连线 MN等腰梯形：两个腰相等的梯形（AB=DC）ADBCBMN上下两底的连线为对称轴；直角梯形：一个腰垂直于上下两个底边的梯形（ADAB）ADBC定理：在梯形 ABCD 中，如果 ADBC，对角线交点为 OAD1、SO2、BC3、

34、平行四边形：两组对边分别平行，1、AB 平行且相等于 CD；AD 平行且相等于 BCO2、3、对角线互相平分矩形：有一个角是直角的平行四边形AD除平行四边形之外：1、四个角均为BC2、对角线相等 AC=BD菱形：一组临边相等的平行四边形AD除平行四边形之外：1、四条边都相等。*。*O2、对角线互相垂直*。*CBBCDA3、每条对角线平分一组对角4、面积为正方形：既是菱形又是矩形的四边形AD除矩形与菱形的性质外：a1、周长BC2、面积圆和扇形圆：一个平面内到定点距离为定长的点的集合。圆心通常用 O 表示，半径通常用 R 表示。C1、圆心通常用表示；A半径通常用表示；RO直径通常用表示D2、；周长

35、：；面积：弦：圆上任意两点的连线（如 AB）AD1、一条弦（非直径）将圆分成两条弧，其中短的M一条称为劣弧，长的一条称为优弧。一般指OB劣弧。2、定理：圆中最长的弦是直径。3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分两C个弧。如 图， ，则 ，,.注：在很多题目中，见到弦，要想到做弦的中垂线，如下：OdMRAB,则，则有：.圆心角:顶点为圆心的角弦 AB 所对的圆心角是，劣弧所对圆心O角也为， 同弧所对的圆心角只有一个。BA的度数设为，则定义劣弧的度数为，优弧的度数为。弧的度数一般用弧度制圆：顶点在圆周上的角同弧所对的圆有无数个，且同弧所对的圆相等，都等于同弧所对圆心角的一半。DOCBA即：弦切

36、角：一条边是圆的弦，另一条边是过该弦的一个端点的圆的切线A弦切角的大小等于所夹弧所对圆的度数。OM定理：圆内接四边对角互补。DAOBC（证明参考图中虚线）圆的切线：A过切点的半径垂直于切线OM切线长定理：AO一个圆的两条相交切线的交点到这两条切线切点P的距离相等，即B切割线定理：APBC切割线定理推论:BAPCD相交弦定理：ACMDBO扇形：RR注：必须是弧度制AB2.空间几何体长方体lcba所有棱长之和：表面积：体积：体对角线：注意：1、体对角线长度是长方体任意两点间最大距离。2、公式中，为从一顶点所连接的三条棱的棱长，是对角线的平方，是长方体表面积。正方体（立方体）：所有棱长相等的的长方体

37、al所有棱长之和：表面积：体积：体对角线：柱体1、圆柱体：R其中，圆柱体侧面积圆柱体表面积圆柱体体积2、棱柱：hS棱柱体积：注意：h 是上下底面间垂直距离。球:到空间内某点距离相等的点所组成的图形AORRh其中，球体表面积球体体积球的截面：圆。其中，通过球心的截面圆称为大圆，大圆半径与球半径相等，为 R .不通过球心的截面圆称为小圆，小圆半径设为 r .O某个小圆与和它平行的大圆之间距离设为 (0dR) ，则有。例题选讲：例 1：长方体三个侧面的面积分别是 2 平方厘米，6 平方厘米，3 平方厘米，求长方形体积。解：设长方体棱长为 a，b，c，由表面积，则，,则即长方形体积为 6.那么例 2：

38、已知某正方体的体对角线为 a，问正方体的全面积是多少？解：设正方体棱长为，,则全面积为。例 3：一个长方体体对角线长，全面积为 22 平方厘米，求棱长之和。解：设长方体棱长为 a，b，c，全面积为，对角线长为，由，那么棱长之和为.例 4：一个正方体所有顶点都在球面上，若球的体积为 V，问正方体的体积是多少？解：此时正方体称为球的内接正方体，球称为正方体的外接球。不难看出，正方体的体对角ordR线是球的直径。设球的半径为 R，正方体的棱长为 a。因为正方体的体对角线是球的直径，那么，而.3.平面几何:形数结合把方程的解标在坐标系上曲线上的点都满足方程当两个箭头都满足的时候，方程称为曲线的方程，曲

39、线叫做方程的曲线。平面直角坐标系y数轴：有原点、长度、正方向平面直角坐标系：两个数轴正交，原点重合。xO平面上任一个点都可以通过平面直角坐标系表示出来。称为 P 点的坐标， 为横坐标，为纵坐标。yIII平面直角坐标系把平面分成了6 个部分：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，x 轴，y 轴。注：x 轴，y 轴不属于任何一个象限。xIIIIV点的位置与坐标的关系：平面内两点间距离公式：yOx线段的定比分点：有向线段：有方向，有长度。有向线段和有向线段不同。定义：P 分所得的定比为：例：M 是线段 AB 的中点，求：（1）A 分 MB 所成的（2）M 分 AB 所成的（3）B 分 AM 所成的

40、解：(1)(2)(3)P 分所得的定比,，则有,.需的特殊情况：,.分点为线段中点：，则三角形的重心：A,，则.GBC（十一）直线倾斜角：yx斜率：注：垂直于 x 轴的直线无斜率。斜率的取值变化：即，注：时，k 随 增加而增加，时，k 随增加而增加，上 k 随但是不能说在增加而增加。由坐标求斜率：，,，yx特殊的正切值：例：已知一条直线上两点,，求斜率。解：（十二）直线的方程：1.点斜式方程：y已知直线过一点和斜率，则直线方x.注：点斜式并不能表示出平面内所有直线，缺少形如这样的直线(无斜率)。2.斜截式方程：y已知直线（纵）截距 和斜率，则直线的方x.注：斜截式并不能表示出平面内所有直线，缺

41、少形如这样的直线(无斜率)。3.两点式：yx已知直线过两点和已知一点，则直线的方.注：两点式并不能表示出平面内所有直线，缺少形如和这样的直线。4.截距式：a横截距，直线与 x 轴焦点的横坐标 ；b纵截距，直线与 y 轴焦点的纵坐标 ；坐标可正，可负，可 0.yx已知直线纵截距 和横截距，则直线的方.注：截距式并不能表示出平面内所有直线，缺少形如和以及这样的直线。5.一般式：。点到直线距离：Pl已知一点，以及直线，dM则。注：直线方程一定用一般式。（十三）两条直线位置关系：在平面几何中：相交，平行。在平面几何中：相交，平行，重合。1.相交：直线和直线相交。,交点为。2.平行：（1）斜截式：，则。

42、（2）一般式：3.垂直：（1）斜截式：，则。（2）一般式：。（十四）两条平行线间的距离：直线和直线,()直线和直线,()，则。（十五）直线与直线之间的到角和夹角：到角：直线沿逆时针转到与重合的位置所转过的角度。且。注：若两条直线不垂直，则直线到的角不等于直线 到 的角。夹角：直线与所相交所得角的角度，如图，都是直线与的夹角。.（十六）直线系：拥有某个性质的所有直线所组成的集合1.过两条直线交点的直线系：直线和直线交点的直线系为:相交，过与例：直线过哪个定点？解：按照是否含有 改写，得到：，则该方程表示过直线和直线交点的直线系，联立,即直线系恒过点.2.与某条直线平行的直线系：与直线平行的直线系

43、（不包括本身）为：3.与某条直线垂直的直线系：与直线垂直的直线系为：例：已知，求：（1）与 平行过的直线；（2）与 垂直过的直线。解：利用直线系方程：（1） 与 平行，则，又过，带入得.（2） 与 垂直，则，又过，带入得.（十七）圆的方程：1.标准方程：,圆心：，半径：。2.一般方程：，圆心：，半径：。例：是不是圆？如果是，求圆心、半径。解：配方得,即，该方程表示的是圆，圆心是，半径是。（十八）直线和圆的位置关系：1.相离：O相离lM2.相切：OlM相切3.相交：Od MR相交AB若直线方程和圆方程已知，由点到直线距离公式可求， 已知，那么弦.（十九）圆与圆的位置关系：1.相离：drR相离有四

44、条公切线2.外切：d相离rR有三条公切线3.相交：dR相交r有两条公切线4.内切：Md内切有一条公切线5.内含：d内含无公切线当时，同心圆第四部分数据分析一、大纲要求：l计数原理加法原理、乘法原理排列与排列数组合与组合数2数据描述平均值方差与标准差 （新增加考点）数据的图表表示直方图，饼图，数表。 3概率事件及其简单运算加法公式乘法公式古典概型贝努里概型二、知识点讲解两个计数原理：加法原理（分类相加）：完成一件事情，n 种方法，每种办法分别有种互不相干的办法，那么完成这件事共有种方法。例：从到飞机 20火车 50先设计，后计数设计：一共三种方式汽车 10计数：注：加法原理中某法的其中一种办法必

45、须可以单独完成整个任务。乘法原理（分步相乘）：完成一件事情有 n 个步骤，每一步分别有种方法。每个步骤之间种互不相干方法，那么完成这件事共有是独立的，但是完成整件事必须完成每一步例：从到10050先设计，后计数设计：一共两步计数：计数原则：（1）先设计，后计数；（2）不重不漏。例：从甲到丙有多少条路？解：先设计：一共有两种方法甲乙丙甲丁丙23乙甲丙后计数：方法（1）45丁方法（2）一共方法。排列与排列数排列：从 n 个完全不同的元素中取出 m 个按照一定的顺序排成一列。这样排列的个数叫做排列数，记为。例：字母 a，b，c 的全排列有：6 个，则排列数为6.注：的注意事项： ；直线排列或类直线排

46、列；算法推导（以两个原理为基础）：m123m 个盒子nn-1n-2n-m+1先计划：一共 m 步，每一步挑出一个球按顺序放入盒子中。后计数：计算时，其中 m 为项数，从 n 开始，每项减1，共 m 项。记，规定。如：要求记住 0 到 7 的阶乘：；.组合与组合数组合：从 n 个完全不同的元素中取出 m 个放在一起。这样组合的个数叫做组合数，记为。例：字母 a，b，c 中任意两个的组合有：3 个，则组合数为 3.的注意事项： ；算法推导（以算法基础）：先设计：的计算分成两步，第一步从 n 个完全不同的元素中取出 m 个，第二步把这 m 个排序。后计算：例：计算解：；.性质：；解题方法： 特殊元素

47、优先法：例：5 个人排成一排，甲不在最左边，有多少种不同的排法？解：优先排甲。先设计：除了最左侧，甲先选择余下某个位置；其余四人进行全排列。后计算：科学分类法：例：从 5 件一等品和 4 件二等品中拿出 5 件，要求一等品和二等品的数量均不少于2 件，问有多少种不同的取法？解：分类（越细越好，不重不漏）：两件一等品+三件二等品：三件一等品+两件二等品：总共：法：相邻问题例：5 个人站成一排，甲，乙必须相邻，问有多少种不同的排法？解：把甲乙看成一个，那么问题就变成了 4 个人的全排列，但是甲乙的站位需要单独排列，所以有种方法。插空法：不相邻问题例：5 个人站成一排，要求甲，乙不相邻，有多少种不同

48、的排法？解：先排其余 3 人，然后把他们看成固定的，就出现 4 个空，那么甲，乙两人只要选择这其中两个空就一定不相邻，所以有种方法。排除法：正难则反，多除少补例：5 个人站成一排，要求甲不站最左边，有多少种不同的排法？解：若 5 个人没有任何约束，有种方法，不许甲站最左边，就把甲站在最左边的排除，甲站在最左边的有种，那么甲不站最左边有种方法。数据描述：（1）平均值：，描述数据集中的趋势。（2）方差：，描述数据分散趋势。标准差：。例：求 5，6，4，7，3 的均值，方差和标准差。解：，.例：已知的平均值为 a，方差为 b，标准差 为 c，求的均值，方差和标准差。解：记住一个结论，若已知的平均值

49、，方差，标准差，那么该组数据全部进行相同的线性变换生成一组新的数据则的平均值为，方差为，标准差为。（3）数据的图表表示：直方图；饼图；数表。随机试验（E）：既满足以下三条的试验可重复性：只要试验条件满足，就可以重复实施。确定性：知道可能出现结果的集合。不确定性：不知道每次的具体结果。例如：:抛一枚硬币，观察其哪个面朝上。，为该试验的结果集，称为样本空间，称为样本点，即该试验的若干结果，代表正面朝上，代表朝上。：掷一枚，观察其哪个面朝上。，代表第 i 点朝上。随机事件（）：例如：上题的随机试验，随机事件 A：奇数点向上或，做一次试验，若试验结果在A 中，那么说随机事件 A 发生，若试验结果不在

50、A 中，那么说随机事件 A 未发生。随机事件 A 发生与否随机，是样本空间的一个子集。每一个样本点组成的事件称为基本事件，多于一个样本点组成的随机事件称为复合事件。其中两个特殊的随机事件：事件间的关系：（1）包含：B,发生发生A（2）相等：A，B,发生发生事件的运算：（1）和事件：事件 A 发生或事件 B 发生BA（2）事件的积：BA事件 A 发生和事件 B 都发生（3）差事件：AB事件 A 发生且事件 B 不发生（4）对立事件：A 不发生注：对集5.De. Man 律：立的运算法则对时间运算同样成立。（1）（2）互斥事件：，不能同时发生。注意与后面独立事件区分。注：（十一）概率：事件发生的可

51、能性，记为性质：，注：不可能事件的概率是 0，但概率为 0 的事件不一定是不可能事件（见几型举例）。若 ，两两互斥，即，则常用公式：，特别地，若，则。A,特别地，若，则。（十二）古典概型：（等可能事件）,样本点有限古典概型中事件 A 发生的概率：，其中和都可以用排列组合计算。（十三）几型：,样本点有限等可能（只与大小有关）例：雨点均匀等可能的落到一块田地上，雨点落到其中一个区域中的概率就是该区域占总田地面积的比。例：粒子均匀打到区间上，打到的概率是 ，打到 这一个点的概率是 0，但该事件不是不可能事件。（十的独立性：，则称事件 A 和事件 B 独立。若两两独立：相互独立：注：两两独立推不出相互

52、独立，但是相互独立可以推出两两独立。例：正四面体涂色，VAB 涂红色，VBC 涂蓝色，VAC 涂黄色，ABC 平均分成三等份分别涂上红色、蓝色和黄色。将正四面体随机抛件 B：有蓝色着地；事件 C：有黄色着地。事件 A：有红色着地；事由，则两两独立。但，即不相互独立。AVBCACB例：100 件产品，95 件是正品，5 件次品，求同时拿出三件有两件次品一件正品的概率。解：设同时拿出三件有两件次品一件正品为事件 A ，（十五）独立重复试验：多次相互没有影响的相同的试验。若试验进行了 n 次，则称之为 n重独立重复试验。试验：结果只有两种情况的试验。其中的两个结果分别称为成功和失败。做 n 次试验恰

53、好成功 k 次记为,设每次试验成功的概率为 p，则例：天气预报每次准确的概率是 ，问五次有三次准确的概率。.解：第五部分 一元函数微积分第 1 章 函数极限与连续1.11.21.31.4函数极限的概念极限的运算函数的连续性1.1函 数1.1.1函数的概念定义 1 设 x 与 y 是两个变量，若当变量 x 在非空数集 D 内任取一个数值时，变量 x 按照某种对应法则 f 总有一个确定的数值 y 与之对应，则称变量 y 为变量 x 的函数，记作 xD，y=f (x)。称 D 为该函数的定义域.记为 Df 称 x 为自变量，称 y 为因变量.当自变量 x 取数值 x0D 时，与 x0 对应的因变量

54、y 的值称为函数 y=f (x)在点 x0 处的函数值，记为 f (x0)或 y|x=x0.当 x 取遍 D 内的各个数值时, 对应的变量 y 取值的全体组成数集称做这个函数的值域.记为 Zf 。1.1.2函数的表示法公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.如例 1 是用公式法表示函数.例 1已知某商品的总成本函数为： C=C(Q)=100+Q2/4表格法自变量 x 与因变量 y 的一些对应值用表格列出例 2某工厂全年 16 月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系(3) 图示法用函数 y=f(x)的图形给出自变量 x 与因变量 y 之

55、间的关系.例 3需求函数与供给函数 Q=f(P)，Q=(P)，如图.P 表示商品价格,Q 表示需求量,供给量,E 点为需求和供给平衡点说明：三种表示法各有，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三T（月）123456Q（吨）111012111212角函数，可以相互补充。注:函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是相同的函数 (3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.(4)在研究由公式表达的函数时，实数值所组成的数集.约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切例 4求函数的定义域时,此函数式都有意义，因此函数的定义域

56、为 (-,-3)(-3,+)解 当分母x+30例 5求函数 y=的定义域.解要使函数 y 有定义，必须使含 f (u)的定义域，即(x)U，xD，则 y 通过 u 的联系也是 x 的函数，称此函数是由 y =f(u) 及u=(x)复合而成的复合函数，记作 y = f (x)，并称 x 为自变量，称 u 为中间变量.例 8分析函数反函数改写成 y=f -1(x)，在直角坐标系中的 y=f -1(x) 图形与 y=f(x)的图形是关于直线 y = x 对称的.例 11解设函数 y=2x3，求它的反函数并画出图形.于是得反函数隐函数变量之间的函数关系，是由某个二元方程 F(x,y)=0 给出的，这样

57、的函数称为隐函数例有些隐函数可以改写成显函数的形式，而有些隐函数不能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做隐函数的显化.1.1.6函数的基本性质1 奇偶性设函数 y =f (x) 的定义域 D 是关于原点对称的，即当 xD 时，有-xD.如果对于任意的 xD，均有 f (x) =f (-x)，则称 f (x)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称；如果对任意的 xD，均有 f (-x) =f -(x)，则称函数 f (x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.例 12下列函数的奇偶性:解2周期性设函数 y=f (x), 如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何 x 均有 f (x +

58、 T)=f (x) 成立，则称函数 y=f (x)为周期函数，T 为 f (x)的周期.显然，若 T 是周期函数 f(x)的周期，则 kT 也是 f (x)的周期(k=1,2,3)，通常周期就是指最小正周期.说的周期函数的解 根据题意可列出函数关系如下这里运价P 和运送里程s 之间的函数关系是用分段函数表示的1.1.8常见的经济函数1 总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本组成平均成本是生产一定数量的产品，平均每产品的成本在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本与平均成本都是产量的函

59、数总成本函数平均成本函数2 总收益函数总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，是销售量的函数设 p 为商品价格，为 Q 销售量，为总收益，则有总收益函数 R=R(Q)=PQ平均收益函数3总利润函数设某商品的成本函数为 C，销售收益函数 R 为，则销售某商品个时的总利润函数为 L=L(Q)= R(Q)-C(Q)4需求函数与供给函数例 15已知某产品的总成本函数为 C(Q)=0.2Q2+2Q+20，求当生产 100 个该种产品时的总成本和平均成本解 由题意，产量为 100 时的总成本函数为 C(100)=0.21002+200+20=2220 ，平均成本为1.2极限的概念1.2.1 数列的极

60、限1 数列的概念定义 1一列数自变量为正整数的函数，将其函数值按自变量 n 由小到大排成称为数列，将其简记为，称为数列的通项或一般项 。(1)，即 1， ， ， ， ，数列(2)数列，即 ， ， ， ，(3)，即 1，数列， ，(4)数列，即奇数的数列 1， ， ，2.数列的极限数列（1）当 n 无限增大时,无限趋近于 0，即数列（1）以 0 为它的变化趋向；数列（2）当 n 无限增大时, un =无限趋近于常数 1,即数列（2）以 1 为它的变化趋向；数列（3），当 n 无限增大时，其奇数项为 1，偶数项为-1，随着 n 的增大，它的通项在-1,+1 之间变动，所以当 n无限增大时，没有确定