北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)第一章 三角形的证明(基础)

1、第一章三角形的证明（基础）等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在AB

2、C中，ABeqoac(,AC)，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)BC；1(3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三

3、角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角）但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC180A2.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等

4、腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件

5、和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理2三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3.含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法

6、叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、（2019春太仓市期末）如图，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度数【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以ABD和BDC都是等腰三角形，可设C=CDB=x，则BDA=A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形

7、内角和定理的推论，可以求出A，C度数【答案与解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，设C=CBD=x，则BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=253【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，设ECDEDCx，BCDBDCy，则AEDA

8、DE2x，AB1804x在ABC中，根据三角形内角和得，xy1804x1804x180又A、D、B在同一直线上，2xxy180由，解得x36B1804x18014436.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40，分别从40是等腰三角形顶角与40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案与解析】解：(1)当40的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和18040140，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1214070；(2)当40的角为底角时，另一个底角也为40，则顶角的度数18040401

9、00其余各角为70，70或40，100【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边4【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337；1(2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长1052这样得两组：3，3，75，5，33由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，37，故不能构成三角形，应舍去等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类

10、讨论同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC8cm，且|ACBC|2cm，那么腰AC的长为()A10cm或6cmB10cmC6cmD8cm或6cm【答案】A；解：|ACBC|2cm，ACBC2又BC8AC10或6AB10（cm）或（6cm）类型三、等腰三角形的性质及其运用eqoac(,4)、如图，在ABC中，边ABAC求证：ACBABC【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出AEC=ACE，根据三角形的外角性质求出AECA

11、BC即可【答案与解析】证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，AE=AC，AEC=ACE，AECB，ACBABC【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出AEC=ACE和AECABC是解此题的关键5举一反三：【变式】已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD求证：DB=DE【答案与解析】证明：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，ABC是等边三角形，ABC=2=60，BD是中线，BD是ABC的平分线，1=30，CE=CD，E=3，E=2=30，E=1，DB=DE类型四、等腰三角形的判定5、如图eqoac(,1)，在A

12、BC中，BO平分ABC，CO平分ACB，过点O作DEBC，交AB于点D，交AC于点E（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；（3）若AB=12、AC=9，求ADE的周长；（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，ODAB，OEAC，BC=16，你能得出什么结论呢？（【思路点拨】1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形两腰相等求解；（eqoac(,3)）由ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，得出BDO和ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出ODE

13、的周长等于BC的长度6【答案与解析】解：（eqoac(,1)）DBO和EOC是等腰三角形BO平分ABC，DBO=CBO，DEBC，CBO=DOB，DBO=DOB，DB=DO，DBO是等腰三角形，同理EOC是等腰三角形；（2）BD=4、CE=3，由（1）得出DO=4，EO=3，DE=DO+OE=4+3=7；（eqoac(,3)）ADE的周长=AD+DO+OE+AE；DO=DB，OE=EC，ADE的周长=AB+AC，AB=12、AC=9，ADE的周长=AB+AC=12+9=21；（4）ODAB，OEAC，BO平分ABC，CO平分ACB，BDO和ECO是等腰三角形，BD=DO，CE=OE，BC=16

14、，ODE的周长为16即ODE的周长等于BC的长度【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等举一反三【变式】如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O给出下列四个条件：EBD=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明ABC是等腰三角形【答案】；都可以组合证明ABC是等腰三角形；选为条件证明ABC是等腰三角形；证明：在EBO和DCO中，7，EBODCO（AAS），BO=CO，OBC=OCB，EBO+OBC=DCO+OCB，即

15、ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形类型五、含有30角的直角三角形6.如图所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求证：BD=3AD.【答案与解析】证明：CDAB，ADC=90，又A=60，ACD=30在eqoac(,Rt)ACD中，AD=又ACB=90，在eqoac(,Rt)ACB中，B=30，12AC，AC=11ABAD=AB，24则AD=13BD，即BD=3AD.【总结升华】根据直角三角形中30角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系此题主要考查含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中

16、，30角所对的直角边等于斜边的一半举一反三：【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，CD=4cm，ABC=DCB，求BC的长8【答案】解：ADBC，A=120，ABC=180120=60，BD平分ABC，DBC=ABC=60=30，又ABC=DCB=60，BDC=1803060=90，BC=2CD=24=8cm类型六、反证法7.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。【答案】已知：ABC求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60证明：假设ABC中没有一个内角小于或等于60则A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180即A+B+C18

17、0，这与三角形的内角和为180度矛盾假设不成立ABC中至少有一个内角小于或等于60【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定举一反三：【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则a1”是假命题的反例是（）A.a=2B.a=1C.a=1D.a=2【答案】A【巩固练习】一.选择题1.（2019曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于10

18、0，则另两个内角的度数分别为（）A40，40B80，20C50，50D50，50或80，202.用反证法证明命题：如果ABCD，ABEF，那么CDEF，证明的第一个步骤是（）A.假设CDEF;B.假设ABEFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行3.将两个全等的且有一个角为30的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个9yy4.已知实数x，满足|x4|+(y8)20，则以x，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20C16D以上答案均不对D5.如图，是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点

19、A落在BC上F处，若B50，则BDF度数是（）A60B70C80D不确定6.（2019永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A1个B2个C3个D4个二.填空题7如图，ABC中，D为AC边上一点，ADBDBC，若A40，则CBD_8.（2019嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_.10.等腰三角形的一个角是70，则它的顶角的度数是.11.如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正

20、确答案的序号都填写在横线上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12.如图，ABC的周长为32，且AB=AC，ADBC于D，ACD的周长为24，那么AD的长为.10三.解答题13已知：如图，ABC中，ABAC，D是AB上一点，延长CA至E，使AEAD试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论14.（2019春安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长15.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：外角等于100，这个内角为80，当这个80角为顶角时，则底角

21、为=50，此时另两个内角的度数分别为50，50；当这个80角为底角时，则另一个底角为80，顶角为20，此时可得另两个内角的度数分别为80，20；故选D2.【答案】C；【解析】用反证法证明CDEF时，应先假设CD与EF不平行故选C3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】根据题意得y80 x40解得,11y8x4.（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B5.【答案】C；【解析】ADDFBD，BBFD50，BDF180505080.6.【答案】D；【解析】解：如图，以点O为圆心，以

22、OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D二.填空题7.【答案】20；【解析】AABD40，BDCC80，所以CBD20.8.【答案】12；【解析】解：2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，2+2=45，不能组成三角形，2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，能组成三角形，周长=2+5+5=12，综上所述，它的周长是12故答案为：129.【答案】两直线平行；【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，

23、即可求出答案.10.【答案】70或40；12【解析】解：（1）当70角为顶角，顶角度数即为70；（2）当70为底角时，顶角=180-270=40故答案为：70或40.11.【答案】；【解析】：当BAD=CAD时，AD是BAC的平分线，且AD是BC边上的高；eqoac(,则)ABDACD，BAC是等腰三角形；延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；AB+BD=CD+AC，DE=DF，又ADBC；AEF是等腰三角形；E=F；AB=BE，ABC=2E；同理，得ACB=2F；ABC=ACB，即AB=ACeqoac(,，)ABC是等腰三角形；ABC中，ADBC，根据勾股定

24、理，得：AB2BD2=AC2CD2，即（AB+BD）（ABBD）=（AC+CD）（ACCD）；ABBD=ACCD，AB+BD=AC+CD；两式相加得，2AB=2AC；AB=AC，ABC是等腰三角形故填12.【答案】8；【解析】解：AB=AC，ADBC，BD=DCAB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，AC+DC=16AC+DC+AD=24AD=8故填8三.解答题13.【解析】13证明：EDBC；延长ED，交BC边于H，ABAC，AEAD设BCx，则EAD2x，ADE1802x290 x即BDH90 xBBDHx90 x90，BHD90，EDBC.14.【解析】解：设等腰三角形的

25、腰长为x，底边长为y，则有或，解得：或，此时两种情况都符合三角形三边关系定理，答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为1215.【解析】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90；根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180；则该三角形的三个内角的和一定大于180，这与三角形的内角和定理相矛盾；所以假设错误，原命题正确；即等腰三角形的底角是锐角直角三角形-知识讲解（基础）【学习目标】1.掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系2.能够运用勾股定理解决简单的实际问题

26、，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理14直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a2c2b2，b2c2a2，c2ab22ab.（4）勾股数：满足不

27、定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.n21，2n，n21（n1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；2n22n,2n1,2n22n1（n是自然数）是直角三角形的三条边长；m2n2,m2n2,2mn（mn,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图

28、（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.15，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.，（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系.若c2a2b2，则ABC是C90的直角三角

29、形；若c2a2b2，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当a2b2c2时，此三角形为钝角三角形；当a2b2c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理

30、，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角

31、形前加上“Rt”.16【典型例题】类型一、勾股定理eqoac(,1)、在ABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c（1）若a5，b12，求c；（2）若c26，b24，求a【思路点拨】利用勾股定理a2b2c2来求未知边长【答案与解析】解：（eqoac(,1)）因为ABC中，C90，a2b2c2，a5，b12，所以c2a2b25212225144169所以c13（eqoac(,2)）因为ABC中，C90，a2b2c2，c26，b24，所以a2c2b2262242676576100所以a10【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理

32、的原式还是变式举一反三：【变式】在ABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c（1）已知b2，c3，求a；（2）已知a:c3:5，b32，求a、c【答案】解：（1）C90，b2，c3，ac2b232225；（2）设a3k，c5kC90，b32，a2b2c2即(3k)2322(5k)2解得k8a3k3824，c5k58402、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（粗细不计）那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？17【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径DC长为16cm则在eqoac(,Rt)BCD中，BD2DC2BC2，所以BDDC2B

33、C216212220(cm)答：筷子最长不超过20cm，可正好盖上盒盖【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？（2）a4，b1，c；【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以C90，BC5m，AC12m，AB2BC2AC252122169AB16913(m)BCAB51318(m)旗杆折断前的高度为18m类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；33

34、4（3）am2n2，bm2n2，c2mn(mn0)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形18【答案与解析】解：（1）a2b272242625，c2252625，a2b2c2由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形abc，b2c2121，a2，（2）3292542161616439b2c2a2由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形（3）mn0，m2n22mn，m2n2m2n2a2c2(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2m42m2n2n4，b2(m2n

35、2)2m42m2n2n4，a2c2b2由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c2与a2b2是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小举一反三：【变式1】判断以线段a，b，c为边的ABC是不是直角三角形，其中a7，b3，c2【答案】解：由于acb，因此a为最大边，只需看a2是否等于b2c2即可a2(7)27，b2(3)23，c2224，a2b2c2，以线段a，b，c为边能构成以a为斜边的直角三角形【变式2】一

36、个三角形的三边之比是3:4:5则这个三角形三边上的高之比是（）A20:15:12B3:4:5C5:4:3D10:8:2【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：19125，即20:15:12.4、（2019春临清市期末）已知a、b、c满足|a|+（c4）2=0（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由（【思路点拨】1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可【答案与解析】解：（1）a、b、c满足|a|+（c4）2=0

37、|a|=0，=0，（c4）2=0解得：a=，b=5，c=4；（2）a=a+b=，b=5，c=4+54，以a、b、c为边能构成三角形，a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，此三角形是直角三角形，eqoac(,S)=【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、（2019春遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车

38、速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了20【答案与解析】解：在RtABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）小汽车的速度为v=20（m/s）=203.6（km/h）=72（km/h）；72（km/h）70（km/h）；这辆小汽车超速行驶答：这辆小汽车超速了【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条

39、件和问题放到直角三角形中，进行解决要注意题目中单位的统一类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚2原命题：对顶角相等.3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等【答案与解析】1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）（3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系.原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变

40、式1】下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形【答案】提示：的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2”也是正确的.【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等”解决下列问题：（1）写出逆命题

41、；21（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，AMN=DNM，求证：ABCD类型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABCD：（2）ADBCBDDB【思路点拨】先由“HL”证eqoac(,Rt)ABDeqoac(,Rt)CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB90在eqoac(,Rt)ABD和eqoac(,Rt)CDB中，ADBCeqoac(,Rt)ABDeqoac(,R

42、t)CDB（HL）ABCD（全等三角形对应边相等）（2）由ADBCBDADBC.【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC22AEAB，【答案】证明：AEAB，BCAB，DAECBA90在eqoac(,Rt)DAE与eqoac(,Rt)CBA中，EDACeqoac(,Rt)DAEeqoac(,Rt)CBA（HL）ECABCABEAF90，EEAF90，即AFE90即EDAC8、如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求证：EB=FC【

43、答案与解析】证明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DE=DF；DEAB于E，DFAC于F在RtDBE和RtDCF中RtDBERtDCF（eqoac(,HL)）；EB=FC【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）直角三角形-巩固练习（基础）【巩固练习】23一.选择题1如图，eqoac(,Rt)ABC中，C90，若AB15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算bc2.（2019春庆云县期末）下列各组数中，以a，为边的三角形不是直角三角

44、形的是（）Aa=1.5，b=2，c=3Ba=7，b=24，c=25Ca=6，b=8，c=10Da=3，b=4，c=53三角形的三边长分别为a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定4（2019岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A8米B10米C12米D14米5（2019春天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（）A全等三角形的对应角相等B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C两直线平行，同位角相等D如果两个角都是45，那么这两个角相等

45、6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二.填空题（72019春东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB2cm，点E在BC上，且AEEC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B重合，则ACcm.249.已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形10.如图，AB5，AC3，BC边上的中线ADeqoac(,2)，则ABC的面积为_11.如图，已知ABBD于B，EDBD于D，ECAC，ACEC，若DE2，A

46、B4，则DB_.12.如图，已知AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BFAC，FDCD.则BAD_.三.解答题13.已知在三角形ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，CD3，BD5，求AC的长14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB3，AD9，求BE的长2515.（2019春和县校级月考）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？16.如图，已知ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分

47、别是点E、F.求证：12.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】面积和等于AC2BC2AB2225.2.【答案】A；【解析】解：A、1.52+2232，该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、72+242=252，该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、62+82=102，该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、32+42=52，该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意故选：A3.【答案】A；【解析】(a2b2)22ab2(a2b2)2，满足勾股定理的逆定理.264.【答案】B；【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CEAB于E，则

48、EBDC是矩形，连接AC，EB=4m，EC=8m，AE=ABEB=104=6m，在RtAEC中，AC=故小鸟至少飞行10m故选：B=10（m），5.【答案】C；【解析】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；B、绝对值相等的两个数相等，错误；C、同位角相等，两条直线平行，正确；D、相等的两个角都是45，错误故选C6.【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二.填空题7.【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角；8.【答案】4；【解析】ABEABE90，又因为AECE，所以BE为AEC的垂直平分线，AC2AB4cm.9.

49、【答案】61或3479；【解析】60cm长的边可能是斜边，也可能是直角边.10.【答案】6；【解析】延长AD到E，使DEAD，连结eqoac(,BE)，可得ABE为Rt11.【答案】6；【解析】DBDCCBABED426；12.【答案】45；【解析】证ADC与BDF全等，ADeqoac(,BD)，ABD为等腰直角三角形.三.解答题13.【解析】27解：过D点作DEAB于E，AD平分BAC，C90，DECD3，易证ACDAED，AEAC，在eqoac(,Rt)DBE中，BD5，DE3，BE4在eqoac(,Rt)ACB中，C90设AEACx，则AB4xAB2AC2BC24x2x282解得x6，A

50、C6.AEAF14【解析】解：设BEx，则DEBEx，AEADDE9x在eqoac(,Rt)ABE中，AB2AE2BE2，329x2x2解得x515【解析】解：BM=82=16海里，BP=152=30海里，在BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，MBP=90，1809060=30，故乙船沿南偏东30方向航行16.【解析】证明：AEEC，AFBF，AEC、AFB为直角三角形在eqoac(,Rt)AEC与eqoac(,Rt)AFB中ABACeqoac(,Rt)AECeqoac(,Rt)AFB（HL）EACFABEACBACFABBAC，即12

51、.28线段的垂直平分线-知识讲解(基础)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于12（2）作直线CD，CD即为所求直线要点诠释：AB的长为半径作弧，两弧

52、相交于C，D两点；(1)作弧时的半径必须大于12AB的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要点诠释：“线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法，线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上要点诠

53、释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合29要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心.要点诠释:，1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点）该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写

54、出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理eqoac(,1)、如图，ABC中ACBC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则BCD的周长是（）A9B8C7D6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点

55、到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长举一反三：【变式eqoac(,1)】如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）ABD平分ABCBBCD的周长等于AB+BCCAD=BD=BCD点D是线段AC的中点30【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用（【变式2】2019秋江阴市校级月考）如图，ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、eq

56、oac(,G)求AEG的周长【答案】解：DE为AB的中垂线，AE=BE，FG是AC的中垂线，AG=GC，AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周长为BC的长度即7类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,ABD=ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线【答案与解析】证明：AB=AC（已知）ABC=ACB(等边对等角)又ABD=ACD(已知)ABD-ABC=ACD-ACB(等式性质)即DBC=DCBDB=DC（等角对等边）AB=AC（已知）31DB=DC（已证）点A和点D都在线段BC的垂直平分线上

57、（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）AD是线段BC的垂直平分线。【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线举一反三：【变式】如图，P是MON的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为A、B求证：PO垂直平分ABOAPOBPOP=OP【答案】证明：OP是角平分线，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP

58、=90在AOP和BOP中AOPBOPAOPBOP（AAS）OA=OB.PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点求证：BE=CE32【答案与解析】证明：连结BCABAC，DBDC点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）AD是线段BC的垂直平分线，点E在AD上，BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）AEBCD【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会

59、灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线4、如图所示，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF【思路点拨】先根据ASA判定ACDCBF得到BF=CD，然后又因为D为BC中点，根据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出ABC=ABF，即BA是FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可【答案与解析】证明：连接DF，BCE+ACE=90，ACE+CA

60、E=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BF33CD=BD=12BC，BF=BDBFD为等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分线BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等举一反三：【变式】如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2