化归思想在立几中的探究

1、化归思想在立几中的探究我们在解决代数问题时经常使用化归思想方法。数学解题过程实际上就是不断的进展化归的过程，化归是数学研究中普遍采用的一种思想，也是解决实际问题的关键，而这一思想的应用在立体几何的学习中尤为突出，不管是线线、线面、面面之间平行、垂直关系的转化，空间图形的证明与计算转化为平面图形的证明与计算，还是空间几何关系转化为向量的运算关系，几乎贯穿于立体几何的全部领域，而数学课堂上学生往往只注意了这些知识的学习，注意了新知识的增长，并未曾注意联想到这些知识的观点以及由此出发产生的解决问题的方法和策略，所以要增强学生对各种关系转化的意识是关键，而这一意识的培养、增强全靠教师在教学中帮助学生有

2、效地、有目的地进展化归，从而进步解题才能。不妨先从实例来作研究。一、题型的化归：1、化归为基此题型：立体几何中我们知道有一些基此题形是我们平时经常研究的，如：正方体、四个面全为直角的三棱锥中的问题等。棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的外表积与体积解：以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如下列图的正方体，那么该正四面体的外接球也就是正方体的外接球分析：联络正四面体，如图3，pa、pb、p两两成600，高p与棱pa所成的角即为图8中p与pa所成的角，而在正四面体中，p与pa所成角的正弦值为，故pe=。3、几何问题代数化如图4，在长方形中，为的中点，为线段端点除外上

3、一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，那么的取值范围是此题在解的过程中引进了变量，从而将求的范围问题转化为求关于函数值域问题。二、图形的化归1、化归为平面几何问题在立体几何中，一般求外表间隔 最短问题通常都转化为将此几何体按一定要求侧展，变空间问题为平面几何问题。如图6，在四面体pab中，papbp2，apbbpap30，一只蚂蚁从a点出发沿着四面体的外表绕一周，再回到a点。问：蚂蚁沿着怎样的途径爬行时路程最短，最短路程是多少？解：如右图，将四面体沿pa剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接aa分别交pb，p于e，f两点，那么当蚂蚁沿着aefa途径爬行时，路程最短在apa中

4、，apa90，papa2，aa22，即最短路程aa的长为22.2、化归为平面图形在立体几何中常将空间图形中的条件有目的地化归到几何体内的一个平面图形中去，再结合平面几何知识来解决这个问题。如图7，在正方体abda1b11d1中，棱长为a,e为棱1上的的动点1求证：a1ebd；2当e恰为棱1的中点时，求证：平面a1bd平面ebd.证明：1略，3、整体与局部的化归1补成整体：设p，a，b，是球外表上的四个点，pa、pb、p两两垂直，且，求球的体积与外表积。解：在球中构造一个正方体，使该正方体的棱长为1，那么此正方体中的某四个点必满足条件，故正方体的对角线长即为该球直径，所以有体积为，外表积为。将三

5、棱锥补成正方体，是解决该题的关键。2割成局部：如图8，平行六面体abda1b11d1的底面abd是菱形，且1b=1d=bd，证明：1bd；分析：假设我们从该图中仅观察三棱锥b1d，就可以研究上面问题。综上可见，运用化归法解立体几何题是一种很有力的工具，我们在解题当中，应当熟悉和掌握这一工具，并能自觉地运用这一工具。化归是一种重要的数学思想。实际上，中学数学中，化归方法的应用不仅表达在立体几何中，它无处不在。所以数学中注意化归思想的培养对学生学习数学，开展解题才能都无疑是至关重要的。化归方法之间彼此亲密联络，只是表现形式有所侧重，总的来说，化归方法就是把未知问题转化为问题，把陌生问题转化为熟悉问题，把繁杂问题转化为简单问题。而这里所说的转化，不是无目的活动，问题