课件15信号与系统3

1、信号与线性系统线性时不变系统对复指数信号的响应连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间傅里叶级数的性质离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间傅里叶级数的性质滤波第三章 周期信号的傅里叶级数表示傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 傅里叶级数 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可表示为正弦信号的加权积分傅里叶的两个主要贡献： 拉格朗日(1736-1813) 拉普拉斯(1749-1827)1822 傅里叶(1768-1830) 正弦信号具有保真度 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都

2、有着广泛的应用信号的分解时域：分解的叠加的叠加频域：正弦信号的叠加傅里叶反变换正交分解傅里叶变换？时域：信号分解的原则： 分解成的基本信号应构成相当广泛的一类有用信号分解信号的分解信号基本信号的线性组合 LTI系统对每个基本信号的响应简单，以便输出信号容易 求得傅里叶分析：傅里叶变换，拉普拉斯变换Z变换1. 线性时不变系统对复指数信号的响应：LTI系统H(s), H(z)：称幅度因子，为复变量s或z的函数特征函数(eigenfunction): 一个信号，若系统对该信号的 输出响应仅是一个常数（可以是复数）乘以输 入，则该信号为系统的特征函数特征值(eigenvalue): 幅度因子H(s),

3、H(z)称系统的特征值 线性时不变系统对复指数信号的响应LTI系统连续系统：若积分收敛H(s)：复变函数，为复数s的函数复指数函数 为LTI系统的特征函数线性时不变系统对复指数信号的响应LTI系统离散系统：若级数收敛H(z)：复变函数，复数z的函数，离散LTI系统的特征值线性时不变系统对复指数信号的响应LTI系统分解若x(t)则输出分解若x(n)则输出2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示：周期信号基波周期：满足上式的最小非零正值 T谐波频率：w0的整数倍kw0,基波频率：指数傅里叶级数：基波分量： 合成频率为w0的基波分量k次谐波： 合成k次谐波 频谱系数且2. 连续时间周期信号的傅里叶级数

4、表示：指数傅里叶级数：三角傅里叶级数：其中综合式解析式其中频谱系数 当n时，谐波分量无限多，均方误差为0； 当n有限时，谐波分量有限，有误差。小结：周期为T的信号f(t)可展开成三角傅里叶级数，其物理意义是 将f(t)分解为许多分量：a0 直流分量，w0基波分量，2w0 二次谐波分量，nw0n次谐波分量，反之这些分量叠加起来 就得到原信号f(t) 。电子工程技术中的信号一般都满足狄里赫利条件 、在一个周期内绝对可积： 、在一个周期内极值数目有限； 、f(t) 在一个周期内或连续或有有限个第一类间断点（当t从较大和较小时间趋近与间断点时函数f(t)趋于不同的有限极值 f(t)须满足狄里赫利(Di

5、richlet)条件 例：将图示信号f(t)用傅里叶 级数表示。f(t) 周期延拓，使它成为一个周期信号低频决定轮廓高频修饰细节在间断点上会产生过冲，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。过冲量约为9%周期信号的频谱 频谱(图)振幅频谱相位频谱周期信号频谱的特点：1.离散性3.收敛性2.谐波性例：周期性矩形脉冲的频谱。称取样函数 取样函数 指数级数的频谱系数复指数振幅频谱. 能量主要集中的频率范围称信号的频(带)宽(度)（或带宽）信号的频(带)宽(度)频宽有多种定义方法，如以信号功率衰减到一半为准(半功率点)、 或0频率到频谱包络线第一次过0点的频率之间在信号处理中：一般取到基波幅度的十分之一

6、。1、线性2、时移性质时域的时移对应频域的相移3. 连续时间傅里叶级数的性质：3、时间反转4、尺度变换时域频域成反比3. 连续时间傅里叶级数的性质：5、相乘6、共轭及共轭对称3. 连续时间傅里叶级数的性质：推论：若x(t)为实数，则：7、连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理3. 连续时间傅里叶级数的性质：一个周期信号的总平均功率等于它全部谐波分量的平均功率之和4. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示：离散周期信号基波周期：满足上式的最小正整数N谐波频率：w0的整数倍kw0,基波频率：中只有N个信号是不同的： 周期序列x(n)表示为fk(n)的线性组合：4. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示：离散周期信号傅里叶级数表示：综合式解析式4. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示：即：或：频谱系数：LTI系统连续系统：若积分收敛H(s),H(z)为复数s的函数，称系统函数5. 傅里叶级数与离散线性时不变系统同理5. 傅里叶级数与离散线性时不变系统H(s),H(z)为复数s的函数，称系统函数连续系统离散系统频率响应幅频响应相频响应连续系统频率响应离散系统频率响应滤波：改变信号中各频率分量的大小或全部 消除某些频率分量的过程频率成形滤波器：改变频